Cálculo vetorial

Campos escalares

Um campo escalar associa um valor escalar a cada ponto em um espaço. O escalar é um número matemático que representa uma quantidade física . Exemplos de campos escalares em aplicações incluem a distribuição de temperatura por todo o espaço, a distribuição de pressão em um fluido e campos quânticos de spin zero (conhecidos como bósons escalares ), como o campo de Higgs . Esses campos são o assunto da teoria de campo escalar .

Campos vetoriais

Um campo vetorial é uma atribuição de um vetor a cada ponto em um espaço . ^[1] Um campo vetorial no plano, por exemplo, pode ser visualizado como uma coleção de setas com uma dada magnitude e direção, cada uma ligada a um ponto no plano. Os campos vetoriais são frequentemente usados ​​para modelar, por exemplo, a velocidade e direção de um fluido em movimento através do espaço, ou a força e direção de alguma força , como a força magnética ou gravitacional , conforme muda de ponto a ponto. Isso pode ser usado, por exemplo, para calcular o trabalho feito em uma linha.

Vetores e pseudovetores

Em tratamentos mais avançados, um ainda distingue campos pseudovetores e campos pseudoescalar , que são idênticos aos campos vetoriais e escalares, exceto que eles mudam o sinal em um mapa de orientação reversa: por exemplo, a curvatura de um campo vetorial é um campo pseudovetor, e se refletirmos um campo vetorial, a ondulação aponta na direção oposta. Esta distinção é esclarecida e elaborada em álgebra geométrica , conforme descrito abaixo.

As operações algébricas (não diferenciais) no cálculo vetorial são chamadas de álgebra vetorial , sendo definidas para um espaço vetorial e então aplicadas globalmente a um campo vetorial. As operações algébricas básicas consistem em: ^[2]

Notações em cálculo vetorial

Operação	Notação	Descrição
Adição de vetor	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {v} _ {2}}$	Adição de dois vetores, resultando em um vetor.
Multiplicação escalar	${\ displaystyle a \ mathbf {v}}$	Multiplicação de um escalar e um vetor, resultando em um vetor.
Produto interno	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$	Multiplicação de dois vetores, resultando em um escalar.
Produto cruzado	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ mathbf {v} _ {2}}$	Multiplicação de dois vetores em ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$, produzindo um (pseudo) vetor.

Também comumente usados ​​são os dois produtos triplos :

Produtos triplos de cálculo vetorial

Operação	Notação	Descrição
Produto escalar triplo	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	O produto escalar do produto vetorial de dois vetores.
Produto triplo de vetor	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	O produto vetorial do produto cruzado de dois vetores.

Operadores diferenciais

O cálculo vetorial estuda vários operadores diferenciais definidos em campos escalares ou vetoriais, que são normalmente expressos em termos do operador del (${\ displaystyle \ nabla}$), também conhecido como "nabla". Os três operadores vetoriais básicos são: ^{[3] [4]}

Operadores diferenciais em cálculo vetorial

Operação	Notação	Descrição	Analogia notacional	Domínio / intervalo
Gradiente	${\ displaystyle \ operatorname {grad} (f) = \ nabla f}$	Mede a taxa e a direção da mudança em um campo escalar.	Multiplicação escalar	Mapeia campos escalares para campos vetoriais.
Divergência	${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$	Mede o escalar de uma fonte ou dreno em um determinado ponto em um campo vetorial.	Produto interno	Mapeia campos de vetor para campos escalares.
Ondulação	${\ displaystyle \ operatorname {curl} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ times \ mathbf {F}}$	Mede a tendência de girar em torno de um ponto em um campo vetorial em ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$.	Produto cruzado	Mapeia campos vetoriais para campos (pseudo) vetoriais.
f denota um campo escalar e F denota um campo vetorial

Também comumente usados ​​são os dois operadores Laplace:

Operadores de Laplace em cálculo vetorial

Operação	Notação	Descrição	Domínio / intervalo
Laplaciano	${\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$	Mede a diferença entre o valor do campo escalar com sua média em bolas infinitesimais.	Mapas entre campos escalares.
Laplaciano vetorial	${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {F} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {F})}$	Mede a diferença entre o valor do campo vetorial com sua média em bolas infinitesimais.	Mapas entre campos vetoriais.
f denota um campo escalar e F denota um campo vetorial

Uma quantidade chamada matriz Jacobiana é útil para estudar funções quando o domínio e o intervalo da função são multivariáveis, como uma mudança de variáveis durante a integração.

Teoremas integrais

Os três operadores vetoriais básicos têm teoremas correspondentes que generalizam o teorema fundamental do cálculo para dimensões superiores:

Teoremas integrais do cálculo vetorial

Teorema	Demonstração	Descrição
Teorema do gradiente	${\ displaystyle \ int _ {L \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} \! \! \! \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r} \ = \ \ varphi \ left (\ mathbf {q } \ right) - \ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) \ \ {\ text {para}} \ \ L = L [p \ to q]}$	A integral de linha do gradiente de um campo escalar sobre uma curva L é igual à mudança no campo escalar entre os pontos finais p e q da curva.
Teorema da divergência	${\ displaystyle \ underbrace {\ int \! \ cdots \! \ int _ {V \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}} _ {n} (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \, dV \ = \ \ underbrace {\ oint \! \ cdots \! \ oint _ {\ parcial V}} _ {n-1} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {S}}$	A integral da divergência de um campo vetorial sobre um sólido V n- dimensional é igual ao fluxo do campo vetorial através da superfície limite fechada ( n- 1) -dimensional do sólido.
Teorema de Curl (Kelvin-Stokes)	${\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma \, \ subset \ mathbb {R} ^ {3}} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot d \ mathbf {\ Sigma} \ = \ \ oint _ { \! \! \! \ partial \ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}}$	A integral da curva de um campo vetorial sobre uma superfície Σ em${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ é igual à circulação do campo vetorial em torno da curva fechada que delimita a superfície.
${\ displaystyle \ varphi}$denota um campo escalar e F denota um campo vetorial

Em duas dimensões, os teoremas da divergência e do curl reduzem-se ao teorema de Green:

Teorema de Green do cálculo vetorial

Teorema	Demonstração	Descrição
Teorema de Green	${\ displaystyle \ iint _ {A \, \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial L} {\ parcial y}} \ direita) dA \ = \ \ oint _ {\ parcial A} \ esquerda (L \, dx + M \, dy \ direita)}$	A integral da divergência (ou curvatura) de um campo vetorial sobre alguma região A em${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ é igual ao fluxo (ou circulação) do campo vetorial sobre a curva fechada que delimita a região.
Para divergência, F = ( M , - L ) . Para curl, F = ( L , M , 0) . L e M são funções de ( x , y ) .

Aproximações lineares

As aproximações lineares são usadas para substituir funções complicadas por funções lineares que são quase iguais. Dada uma função diferenciável f ( x , y ) com valores reais, pode-se aproximar f ( x , y ) para ( x , y ) próximo a ( a , b ) pela fórmula

${\ displaystyle f (x, y) \ \ approx \ f (a, b) + {\ tfrac {\ partial f} {\ partial x}} (a, b) \, (xa) + {\ tfrac {\ parcial f} {\ parcial y}} (a, b) \, (yb).}$

O lado direito é a equação do plano tangente ao gráfico de z = f ( x , y ) em ( a , b ) .

Otimização

Para uma função continuamente diferenciável de várias variáveis ​​reais , um ponto P (ou seja, um conjunto de valores para as variáveis ​​de entrada, que é visto como um ponto em R ⁿ ) é crítico se todas as derivadas parciais da função forem zero em P , ou, equivalentemente, se seu gradiente for zero. Os valores críticos são os valores da função nos pontos críticos.

Se a função for suave , ou, pelo menos duas vezes continuamente diferenciável, um ponto crítico pode ser um máximo local , um mínimo local ou um ponto de sela . Os diferentes casos podem ser distinguidos considerando os autovalores da matriz Hessiana das segundas derivadas.

Pelo teorema de Fermat , todos os máximos e mínimos locais de uma função diferenciável ocorrem em pontos críticos. Portanto, para encontrar os máximos e mínimos locais, é suficiente, teoricamente, calcular os zeros do gradiente e os autovalores da matriz Hessiana nesses zeros.

Física e engenharia

O cálculo vetorial é particularmente útil para estudar:

• Centro de massa
• Teoria de campo
• Cinemática
• Equações de Maxwell

Diferentes 3-manifolds

O cálculo vetorial é inicialmente definido para o espaço 3 euclidiano ,${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3},}$que tem estrutura adicional além de ser simplesmente um espaço vetorial real tridimensional, a saber: uma norma (dando uma noção de comprimento) definida por meio de um produto interno (o produto escalar ), que por sua vez, dá uma noção de ângulo e uma orientação , que dá uma noção de canhoto e destro. Essas estruturas dão origem a uma forma de volume e também ao produto vetorial, que é amplamente usado no cálculo vetorial.

O gradiente e a divergência exigem apenas o produto interno, enquanto o curl e o produto vetorial também exigem que a destreza do sistema de coordenadas seja levada em consideração (consulte o produto vetorial e a destreza para obter mais detalhes).

O cálculo vetorial pode ser definido em outros espaços vetoriais reais tridimensionais se eles tiverem um produto interno (ou mais geralmente uma forma simétrica não degenerada ) e uma orientação; observe que isso é menos dados do que um isomorfismo para o espaço euclidiano, pois não requer um conjunto de coordenadas (um quadro de referência), o que reflete o fato de que o cálculo vetorial é invariante sob rotações (o grupo ortogonal especial SO (3)) .

Mais geralmente, o cálculo vetorial pode ser definido em qualquer variedade Riemanniana orientada tridimensional ou, mais geralmente, variedade pseudo-Riemanniana . Esta estrutura significa simplesmente que o espaço tangente em cada ponto tem um produto interno (mais geralmente, uma forma simétrica não degenerada) e uma orientação, ou mais globalmente que há um tensor métrico simétrico não degenerado e uma orientação, e funciona porque o cálculo vetorial é definido em termos de vetores tangentes em cada ponto.

Outras dimensões

A maioria dos resultados analíticos são facilmente compreendidos, de uma forma mais geral, usando o mecanismo da geometria diferencial , da qual o cálculo vetorial forma um subconjunto. Grad e div generalizam imediatamente para outras dimensões, assim como o teorema do gradiente, o teorema da divergência e o Laplaciano (rendendo análise harmônica ), enquanto o curl e o produto cruzado não generalizam tão diretamente.

De um ponto de vista geral, os vários campos no cálculo vetorial (tridimensional) são vistos uniformemente como sendo campos de vetores k : campos escalares são campos de 0 vetor, campos de vetor são campos de 1 vetor, campos de pseudovetor são campos de 2 vetores campos e campos pseudoescalar são campos de 3 vetores. Em dimensões superiores, existem tipos adicionais de campos (escalar / vetorial / pseudovetor / pseudoescalar correspondente a 0/1 / n −1 / n dimensões, que é exaustivo na dimensão 3), portanto, não se pode trabalhar apenas com (pseudo) escalares e ( pseudo) vetores.

Em qualquer dimensão, assumindo uma forma não degenerada, grad de uma função escalar é um campo vetorial, e div de um campo vetorial é uma função escalar, mas apenas na dimensão 3 ou 7 ^[5] (e, trivialmente, na dimensão 0 ou 1 ) é o enrolamento de um campo vetorial, um campo vetorial, e apenas em 3 ou 7 dimensões um produto vetorial pode ser definido (generalizações em outras dimensionalidades exigem${\ displaystyle n-1}$vetores para produzir 1 vetor, ou são álgebras de Lie alternativas , que são produtos bilineares anti-simétricos mais gerais). A generalização de grad e div, e como curl pode ser generalizado é elaborada em Curl: Generalizations ; em resumo, o enrolamento de um campo vetorial é um campo bivetor , que pode ser interpretado como a álgebra de Lie ortogonal especial de rotações infinitesimais; no entanto, isso não pode ser identificado com um campo vetorial porque as dimensões diferem - existem 3 dimensões de rotações em 3 dimensões, mas 6 dimensões de rotações em 4 dimensões (e de forma mais geral${\ displaystyle \ textstyle {{\ binom {n} {2}} = {\ frac {1} {2}} n (n-1)}}$dimensões das rotações em n dimensões).

Existem duas generalizações alternativas importantes do cálculo vetorial. O primeiro, álgebra geométrica , usa campos de vetor k em vez de campos de vetor (em 3 ou menos dimensões, todo campo de vetor k pode ser identificado com uma função escalar ou campo de vetor, mas isso não é verdade em dimensões superiores). Isso substitui o produto vetorial, que é específico para 3 dimensões, tomando em dois campos vetoriais e dando como saída um campo vetorial, com o produto exterior , que existe em todas as dimensões e leva em dois campos vetoriais, dando como saída um bivetor (2 -vector). Este produto produz álgebras de Clifford como a estrutura algébrica em espaços vetoriais (com uma orientação e forma não degenerada). A álgebra geométrica é usada principalmente em generalizações da física e outros campos aplicados para dimensões superiores.

A segunda generalização usa formas diferenciais ( campos k -covetores) em vez de campos vetoriais ou campos k -vetoriais, e é amplamente usada em matemática, particularmente em geometria diferencial , topologia geométrica e análise harmônica , em particular rendendo a teoria de Hodge sobre pseudo- Variedades Riemannianas. Deste ponto de vista, grad, curl e div correspondem à derivada exterior das formas 0, formas 1 e formas 2, respectivamente, e os teoremas-chave do cálculo vetorial são todos casos especiais da forma geral de Stokes 'teorema .

Do ponto de vista de ambas as generalizações, o cálculo vetorial identifica implicitamente objetos matematicamente distintos, o que torna a apresentação mais simples, mas a estrutura matemática subjacente e as generalizações menos claras. Do ponto de vista da álgebra geométrica, o cálculo vetorial identifica implicitamente os campos k -vetoriais com campos vetoriais ou funções escalares: 0-vetores e 3-vetores com escalares, 1-vetores e 2-vetores com vetores. Do ponto de vista das formas diferenciais, o cálculo vetorial identifica implicitamente as formas k com campos escalares ou campos vetoriais: formas 0 e 3 formas com campos escalares, formas 1 e 2 formas com campos vetoriais. Assim, por exemplo, o curl toma naturalmente como entrada um campo vetorial ou forma 1, mas naturalmente tem como saída um campo vetorial ou forma 2 (daí o campo pseudovetor), que é então interpretado como um campo vetorial, em vez de tomar diretamente um campo vetorial para um campo vetorial; isso se reflete na curvatura de um campo vetorial em dimensões superiores não tendo como saída um campo vetorial.

Citações

Origens

• "Vector analysis" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Vector algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Uma pesquisa sobre o uso impróprio de ∇ na análise vetorial (1994) Tai, Chen-To
• Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (baseado nas palestras de Willard Gibbs ) por Edwin Bidwell Wilson , publicado em 1902.
• Usos mais antigos conhecidos de algumas palavras da matemática: análise vetorial