Subconjunto

Se A e B são conjuntos e cada elemento de A também é um elemento de B , então:

• A é um subconjunto de B , denotado por${\ displaystyle A \ subseteq B,}$ ou equivalente
• B é um superconjunto de A , denotado por${\ displaystyle B \ supseteq A.}$^[1]

Se A é um subconjunto de B , mas A não é igual a B (ou seja , existe pelo menos um elemento de B que não é um elemento de A ), então:

• A é um subconjunto próprio (ou estrito ) de B , denotado por${\ displaystyle A \ subsetneq B}$ (ou ${\ displaystyle A \ subconjunto B}$^{[1] [ relatório circular? ] [2] [ melhor fonte necessária ]} ). Ou equivalente,
• B é um superconjunto próprio (ou estrito ) de A , denotado por${\ displaystyle B \ supsetneq A}$ (ou ${\ displaystyle B \ supset A}$^{[1] [ relatório circular? ]} ).
• O conjunto vazio , escrito {} ou ∅, é um subconjunto de qualquer conjunto X e um subconjunto apropriado de qualquer conjunto exceto ele mesmo.

Para qualquer conjunto S , a relação de inclusão ⊆ é uma ordem parcial no conjunto${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$(o conjunto de potência de S - o conjunto de todos os subconjuntos de S ^[3] ) definido por${\ displaystyle A \ leq B \ iff A \ subseteq B}$. Também podemos pedir parcialmente${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$ por inclusão de conjunto reverso, definindo ${\ displaystyle A \ leq B \ iff B \ subseteq A.}$

Quando quantificado, A ⊆ B é representado como ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) . ^[4]

Podemos provar a afirmação A ⊆ B aplicando uma técnica de prova conhecida como o argumento do elemento ^[5] :

Deixe os conjuntos A e B serem dados. Para provar que A ⊆ B ,

1. suponha que a seja um elemento particular, mas arbitrariamente escolhido de A,
2. mostram que um é um elemento de B .

A validade desta técnica pode ser vista como uma consequência da generalização universal : a técnica mostra c ∈ A → c ∈ B para um elemento c escolhido arbitrariamente . A generalização universal então implica ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) , que é equivalente a A ⊆ B , como afirmado acima.

• Um conjunto A é um subconjunto de B se e somente se sua interseção for igual a A.

Formalmente:

${\ displaystyle A \ subseteq B \ Leftrightarrow A \ cap B = A.}$

• Um conjunto A é um subconjunto de B se e somente se sua união for igual a B.

Formalmente:

${\ displaystyle A \ subseteq B \ Leftrightarrow A \ cup B = B.}$

• Um conjunto finito A é um subconjunto de B , se e somente se a cardinalidade de sua interseção for igual à cardinalidade de A.

Formalmente:

${\ displaystyle A \ subseteq B \ Leftrightarrow | A \ cap B | = | A |.}$

Alguns autores usam os símbolos ⊂ e ⊃ para indicar subconjunto e superconjunto, respectivamente; ou seja, com o mesmo significado e em vez dos símbolos, ⊆ e ⊇. ^[6] Por exemplo, para esses autores, é verdade de cada conjunto A que A ⊂ A .

Outros autores preferem usar os símbolos ⊂ e ⊃ para indicar o subconjunto adequado (também chamado de estrito) e o superconjunto adequado, respectivamente; ou seja, com o mesmo significado e em vez dos símbolos, ⊊ e ⊋. ^{[7] [1]} Este uso torna ⊆ e ⊂ análogos aos símbolos de desigualdade ≤ e <. Por exemplo, se x ≤ y , então x pode ou não ser igual a y , mas se x < y , então x definitivamente não é igual a y e é menor que y . Da mesma forma, usando a convenção que ⊂ é subconjunto próprio, se A ⊆ B , então A pode ou pode não ser igual B , mas se A ⊂ B , então A definitivamente não é igual a B .

Os polígonos regulares formam um subconjunto dos polígonos

• O conjunto A = {1, 2} é um subconjunto próprio de B = {1, 2, 3}, portanto, ambas as expressões A ⊆ B e A ⊊ B são verdadeiras.
• O conjunto D = {1, 2, 3} é um subconjunto (mas não um subconjunto próprio) de E = {1, 2, 3}, portanto, D ⊆ E é verdadeiro e D ⊊ E não é verdadeiro (falso).
• Qualquer conjunto é um subconjunto de si mesmo, mas não um subconjunto adequado. (X ⊆ X é verdadeiro e X ⊊ X é falso para qualquer conjunto X.)
• O conjunto { x : x é um número primo maior que 10} é um subconjunto apropriado de { x : x é um número ímpar maior que 10}
• O conjunto de números naturais é um subconjunto próprio do conjunto de números racionais ; da mesma forma, o conjunto de pontos em um segmento de linha é um subconjunto apropriado do conjunto de pontos em uma linha . Esses são dois exemplos em que o subconjunto e o conjunto inteiro são infinitos, e o subconjunto tem a mesma cardinalidade (o conceito que corresponde ao tamanho, isto é, o número de elementos, de um conjunto finito) como o todo; tais casos podem ir contra a intuição inicial de alguém.
• O conjunto de números racionais é um subconjunto adequado do conjunto de números reais . Neste exemplo, ambos os conjuntos são infinitos, mas o último conjunto tem uma cardinalidade (ou potência ) maior do que o primeiro.

Outro exemplo em um diagrama de Euler :

• 

  A é um subconjunto adequado de B

• 

  C é um subconjunto, mas não um subconjunto adequado de B

A ⊆ B e B ⊆ C implicam A ⊆ C

Inclusão é a ordem parcial canônica , no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado ( X ,${\ displaystyle \ preceq}$) é isomórfico a alguma coleção de conjuntos ordenados por inclusão. Os números ordinais são um exemplo simples: se cada ordinal n é identificado com o conjunto [ n ] de todos os ordinais menores ou iguais a n , então a ≤ b se e somente se [ a ] ⊆ [ b ].

Para o conjunto de energia ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$de um conjunto S , a ordem parcial de inclusão é - até um isomorfismo de ordem - o produto cartesiano de k = | S | (a cardinalidade de S ) cópias da ordem parcial em {0,1} para a qual 0 <1. Isso pode ser ilustrado pela enumeração de S = { s ₁ , s ₂ , ..., s _k } e associação com cada subconjunto T ⊆ s (ou seja, cada elemento de 2 ^s ) a k -tuple de {0,1} ^K , dos quais o i th coordenada é uma se e somente se s _i é um membro de T .

• Ordem de inclusão
• Região
• Problema de soma de subconjunto
• Contenção subsumptive
• Subconjunto total

• Jech, Thomas (2002). Teoria dos conjuntos . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

• Mídia relacionada a subconjuntos no Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Subset" . MathWorld .