Ponto singular de uma variedade algébrica

No campo matemático da geometria algébrica , um ponto singular de uma variedade algébrica $V$ é um ponto $P$ que é "especial" (portanto, singular), no sentido geométrico de que neste ponto o espaço tangente na variedade pode não ser definido regularmente . No caso de variedades definidas sobre os reais, essa noção generaliza a noção de não planaridade local . Um ponto de uma variedade algébrica que não é singular é considerado regular . Uma variedade algébrica sem ponto singular é considerada não singular ou suave .

A curva algébrica plana (uma curva cúbica ) da equação

y 2 - x 2 (x + 1) = 0 se

cruza na origem

(0, 0)

. A origem é um ponto duplo desta curva. É singular porque uma única tangente pode não ser definida corretamente lá.

Definição

Uma curva plana definida por uma equação implícita

{\ displaystyle F (x, y) = 0}

,

onde $F$ é uma função suave, diz-se que é singular em um ponto se a série de Taylor de $F$ tem ordem de pelo menos $2$ neste ponto.

A razão para isso é que, no cálculo diferencial , a tangente no ponto $(x 0, y 0)$ de tal curva é definida pela equação

{\ displaystyle (x-x_ {0}) F '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) + (y-y_ {0}) F' _ {y} (x_ {0}, y_ {0}) = 0,}

cujo lado esquerdo é o termo de grau um da expansão de Taylor. Assim, se este termo for zero, a tangente pode não ser definida da forma padrão, seja porque não existe ou uma definição especial deve ser fornecida.

Em geral, para uma hipersuperfície

{\ displaystyle F (x, y, z, \ ldots) = 0}

os pontos singulares são aqueles em que todas as derivadas parciais desaparecem simultaneamente. Uma variedade algébrica geral $V$ sendo definida como os zeros comuns de vários polinômios , a condição em um ponto $P$ de $V$ para ser o ponto singular é que a matriz Jacobiana das derivadas parciais de primeira ordem dos polinômios tem uma classificação em $P$ inferior a a classificação em outros pontos da variedade.

Pontos de $V$ que não são singulares são chamados de não singulares ou regulares . É sempre verdade que quase todos os pontos são não singulares, no sentido de que os pontos não singulares formam um conjunto que é ao mesmo tempo aberto e denso na variedade (para a topologia de Zariski , bem como para a topologia usual, no caso de variedades definidas sobre os números complexos ). ^[1]

No caso de uma variedade real (isto é, o conjunto dos pontos com coordenadas reais de uma variedade definida por polinômios com coeficientes reais), a variedade é uma variedade próxima a cada ponto regular. Mas é importante notar que uma variedade real pode ser uma variedade e ter pontos singulares. Por exemplo, a equação $y 3 + 2 x 2 y - x 4 = 0$ define uma variedade analítica real , mas tem um ponto singular na origem. ^[2] Isso pode ser explicado dizendo que a curva tem dois ramos conjugados complexos que cortam o ramo real na origem.

Pontos singulares de mapeamentos suaves

Como a noção de pontos singulares é uma propriedade puramente local, a definição acima pode ser estendida para cobrir a classe mais ampla de mapeamentos suaves (funções de $M$ a $R n$ onde todas as derivadas existem). A análise desses pontos singulares pode ser reduzida ao caso da variedade algébrica, considerando os jatos do mapeamento. O $k$ th jacto é a série de Taylor do mapeamento truncado no grau $k$ e a exclusão do termo constante .

Nós

Na geometria algébrica clássica , certos pontos singulares especiais também eram chamados de nós . Um nó é um ponto singular onde a matriz Hessiana não é singular; isso implica que o ponto singular tem multiplicidade dois e o cone tangente não é singular fora de seu vértice.

Veja também

Mapa de Milnor
Resolução de singularidades
Ponto singular de uma curva
Teoria da singularidade
Esquema suave
Espaço tangente de Zariski

Referências

^ Hartshorne, Robin (1977). Geometria Algébrica . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . p. 33. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157 . Zbl 0367.14001 . CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )
^ Milnor, John (1969). Pontos singulares de hipersuperfícies complexas . Annals of Mathematics Studies. 61 . Princeton University Press . pp. 12–13. ISBN 0-691-08065-8. CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )

[1] Hartshorne, Robin (1977). Geometria Algébrica . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . p. 33. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157 . Zbl 0367.14001 . CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )

[2] Milnor, John (1969). Pontos singulares de hipersuperfícies complexas . Annals of Mathematics Studies. 61 . Princeton University Press . pp. 12–13. ISBN 0-691-08065-8. CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )

[1]