Comprimento do arco

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Quando retificada, a curva fornece um segmento de linha reta com o mesmo comprimento que o comprimento do arco da curva.
Comprimento do arco s de uma espiral logarítmica em função de seu parâmetro θ .

O comprimento do arco é a distância entre dois pontos ao longo de uma seção de uma curva .

A determinação do comprimento de um segmento de arco irregular também é chamada de retificação de uma curva. O advento do cálculo infinitesimal levou a uma fórmula geral que fornece soluções de forma fechada em alguns casos.

Abordagem geral [ editar ]

Aproximação por múltiplos segmentos lineares

Uma curva no plano pode ser aproximada conectando um número finito de pontos na curva usando segmentos de linha para criar um caminho poligonal . Como é simples calcular o comprimento de cada segmento linear (usando o teorema de Pitágoras no espaço euclidiano, por exemplo), o comprimento total da aproximação pode ser encontrado somando os comprimentos de cada segmento linear;essa aproximação é conhecida como distância cordal (cumulativa) . [1]

Se a curva ainda não for um caminho poligonal, o uso de um número progressivamente maior de segmentos de comprimentos menores resultará em melhores aproximações. Os comprimentos das aproximações sucessivas não diminuirão e podem continuar aumentando indefinidamente, mas para curvas suaves, eles tenderão a um limite finito à medida que os comprimentos dos segmentos se tornam arbitrariamente pequenos .

Para algumas curvas, há um menor número que é um limite superior no comprimento de qualquer aproximação poligonal. Essas curvas são chamadas retificáveis e o número é definido como o comprimento do arco .

Definição de uma curva suave [ editar ]

Let Ser uma função injetiva e continuamente diferenciável . O comprimento da curva definida por pode ser definido como o limite da soma dos comprimentos dos segmentos de linha para uma partição regular conforme o número de segmentos se aproxima do infinito. Isso significa

onde para Esta definição é equivalente à definição padrão do comprimento do arco como um integral:

A última igualdade acima é verdadeira devido ao seguinte: (i) pelo teorema do valor médio , onde [ duvidoso ] . (ii) a função é contínua, portanto, é uniformemente contínua , então há uma função real positiva de real positiva tal que implica Isto significa

tem valor absoluto menor que para Isso significa que no limite o termo esquerdo acima é igual ao termo direito, que é apenas a integral de Riemann de em. Esta definição de comprimento de arco mostra que o comprimento de uma curva continuamente diferenciável em é sempre finito. Em outras palavras, a curva é sempre retificável.

A definição do comprimento do arco de uma curva suave como a integral da norma da derivada é equivalente à definição

onde o supremo é assumido por todas as partições possíveis de [2]. Esta definição também é válida se for meramente contínua, não diferenciável.

Uma curva pode ser parametrizada de inúmeras maneiras. Deixe ser qualquer bijeção continuamente diferenciável . Em seguida, há outra parametrização continuamente diferenciável da curva originalmente definida por O comprimento do arco da curva é o mesmo, independentemente da parametrização usada para definir a curva:

Encontrar arco comprimentos integrando [ editar ]

Círculo de quarto

Se uma curva plana em é definida pela equação onde é continuamente diferenciável , então é simplesmente um caso especial de uma equação paramétrica onde e O comprimento do arco é então dado por:

Curvas com soluções de forma fechada para comprimento de arco incluem catenária , círculo , ciclóide , espiral logarítmica , parábola , parábola semicúbica e linha reta . A falta de uma solução de forma fechada para o comprimento do arco de um arco elíptico e hiperbólico levou ao desenvolvimento das integrais elípticas .

Integração numérica [ editar ]

Na maioria dos casos, incluindo até mesmo curvas simples, não há soluções de forma fechada para o comprimento do arco e a integração numérica é necessária. A integração numérica da integral do comprimento do arco é geralmente muito eficiente. Por exemplo, considere o problema de encontrar o comprimento de um quarto do círculo unitário integrando numericamente a integral do comprimento do arco. A metade superior do círculo unitário pode ser parametrizada como O intervalo corresponde a um quarto do círculo. Uma vez que e o comprimento de um quarto do círculo unitário é

A estimativa da regra de Gauss-Kronrod de 15 pontos para esta integral de1.570 796 326 808 177 difere do comprimento real de

de 1,3 × 10 −11 e a estimativa da regra da quadratura gaussiana de 16 pontos de1.570 796 326 794 727 difere do comprimento real apenas por1,7 × 10 −13 . Isso significa que é possível avaliar essa integral com quase precisão de máquina com apenas 16 avaliações de integrando.

Curva em uma superfície [ editar ]

Seja um mapeamento de superfície e seja uma curva nesta superfície. O integrando da integral do comprimento do arco é Avaliar a derivada requer a regra da cadeia para campos de vetor:

A norma quadrada deste vetor é (onde é o primeiro coeficiente de forma fundamental ), então o integrando da integral do comprimento do arco pode ser escrito como (onde e ).

Outros sistemas de coordenadas [ editar ]

Let Ser uma curva expressa em coordenadas polares. O mapeamento que se transforma de coordenadas polares em coordenadas retangulares é

O integrando da integral do comprimento do arco é A regra da cadeia para campos vetoriais mostra que Então o integrando quadrado da integral do comprimento do arco é

Portanto, para uma curva expressa em coordenadas polares, o comprimento do arco é

Agora seja uma curva expressa em coordenadas esféricas onde é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo e é o ângulo azimutal. O mapeamento que se transforma de coordenadas esféricas em coordenadas retangulares é

Usando a regra da cadeia novamente mostra que Todos os produtos escalares onde e diferem são zero, então a norma quadrada deste vetor é

Portanto, para uma curva expressa em coordenadas esféricas, o comprimento do arco é

Um cálculo muito semelhante mostra que o comprimento do arco de uma curva expressa em coordenadas cilíndricas é

Casos simples [ editar ]

Arcos de círculos [ editar ]

Comprimentos de arco são denotados por s , já que a palavra latina para comprimento (ou tamanho) é spatium .

Nas linhas a seguir, representa o raio de um círculo , é seu diâmetro , é sua circunferência , é o comprimento de um arco do círculo e é o ângulo que o arco subtende no centro do círculo. As distâncias e são expressas nas mesmas unidades.

  • que é o mesmo que esta equação é uma definição de π . {\displaystyle \pi .}
  • Se o arco for um semicírculo , então
  • Para um arco circular arbitrário:
    • Se estiver em radianos , esta é uma definição de radianos.
    • Se estiver em graus , então o que é o mesmo que
    • Se estiver em grads (100 grads, ou séries, ou grados são um ângulo reto ), então o que é o mesmo que
    • Se for em curvas (uma volta é uma rotação completa, ou 360 °, ou 400 grados ou radianos), então .

Arcos de grandes círculos na Terra [ editar ]

Duas unidades de comprimento, a milha náutica e o metro (ou quilômetro), foram originalmente definidas para que os comprimentos dos arcos de grandes círculos na superfície da Terra fossem simplesmente relacionados numericamente aos ângulos que eles subtendem em seu centro. A equação simples se aplica nas seguintes circunstâncias:

  • se estiver em milhas náuticas e em minutos de arco ( 160 graus), ou
  • se está em quilômetros e em centígrados ( 1100 grad ).

Os comprimentos das unidades de distância foram escolhidos para tornar a circunferência da Terra igual 40 000 quilómetros, ou21 600 milhas náuticas. Esses são os números das unidades de ângulo correspondentes em uma volta completa.

Essas definições de metro e milha náutica foram substituídas por outras mais precisas, mas as definições originais ainda são precisas o suficiente para fins conceituais e alguns cálculos. Por exemplo, eles implicam que um quilômetro é exatamente 0,54 milhas náuticas. Usando as definições modernas oficiais, uma milha náutica é exatamente 1.852 quilômetros, [3] o que implica que 1 quilômetro é cerca de0,539 956 80 milhas náuticas. [4] Esta proporção moderna difere daquela calculada a partir das definições originais em menos de uma parte em 10.000.

Comprimento de um arco de uma parábola [ editar ]

Métodos históricos [ editar ]

Antiguidade [ editar ]

Durante grande parte da história da matemática , mesmo os maiores pensadores consideraram impossível calcular o comprimento de um arco irregular. Embora Arquimedes tenha sido o pioneiro em encontrar a área abaixo de uma curva com seu " método de exaustão ", poucos acreditavam que fosse possível que as curvas tivessem comprimentos definidos, como acontece com as linhas retas. O primeiro terreno foi desbravado neste campo, como costuma acontecer no cálculo , por aproximação . As pessoas começaram a inscrever polígonosdentro das curvas e calcule o comprimento dos lados para uma medição um tanto precisa do comprimento. Usando mais segmentos e diminuindo o comprimento de cada segmento, eles foram capazes de obter uma aproximação cada vez mais precisa. Em particular, ao inscrever um polígono de muitos lados em um círculo, eles foram capazes de encontrar valores aproximados de π . [5] [6]

Século 17 [ editar ]

No século XVII, o método da exaustão levou à retificação por métodos geométricos de várias curvas transcendentais : a espiral logarítmica de Evangelista Torricelli em 1645 (algumas fontes dizem John Wallis na década de 1650), a ciclóide de Christopher Wren em 1658, e a catenária por Gottfried Leibniz em 1691.

Em 1659, Wallis creditou a descoberta de William Neile da primeira retificação de uma curva algébrica não trivial , a parábola semicúbica . [7] As figuras anexas aparecem na página 145. Na página 91, William Neile é mencionado como Gulielmus Nelius .

Forma integral [ editar ]

Antes do desenvolvimento formal completo do cálculo, a base para a forma integral moderna do comprimento do arco foi descoberta independentemente por Hendrik van Heuraet e Pierre de Fermat .

Em 1659, van Heuraet publicou uma construção mostrando que o problema de determinar o comprimento do arco poderia ser transformado no problema de determinar a área sob uma curva (isto é, uma integral). Como exemplo de seu método, ele determinou o comprimento do arco de uma parábola semicúbica, o que exigia encontrar a área sob uma parábola . [8] Em 1660, Fermat publicou uma teoria mais geral contendo o mesmo resultado em seu De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (dissertação geométrica sobre linhas curvas em comparação com linhas retas). [9]

Método de Fermat para determinar o comprimento do arco

Com base em seu trabalho anterior com tangentes, Fermat usou a curva

cuja tangente em x = a tinha uma inclinação de

então a linha tangente teria a equação

Em seguida, aumentou um por uma pequena quantidade de um + ε , tornando segmento AC uma relativamente boa aproximação para o comprimento da curva de uma a D . Para encontrar o comprimento do segmento AC , ele usou o teorema de Pitágoras :

que, quando resolvido, produz

Para aproximar o comprimento, Fermat resumiria uma sequência de segmentos curtos.

Curvas com comprimento infinito[ editar ]

A curva de Koch.
O gráfico de x sin (1 / x ).

Conforme mencionado acima, algumas curvas não são retificáveis. Ou seja, não há limite superior nos comprimentos de aproximações poligonais; o comprimento pode ser arbitrariamente grande . Informalmente, essas curvas têm comprimento infinito. Existem curvas contínuas nas quais cada arco (exceto um arco de ponto único) tem comprimento infinito. Um exemplo dessa curva é a curva de Koch . Outro exemplo de curva com comprimento infinito é o gráfico da função definida por f ( x ) =  x  sin (1 / x ) para qualquer conjunto aberto com 0 como um de seus delimitadores ef (0) = 0. Às vezes, o Hausdorff dimensão e medida de Hausdorff são usados ​​para quantificar o tamanho dessas curvas.

Generalização de (pseudo) variedades de Riemann [ editar ]

Seja uma variedade (pseudo-) Riemanniana , uma curva em e o tensor (pseudo-) métrico .

O comprimento de é definido como

onde é o vetor tangente de em O sinal na raiz quadrada é escolhido uma vez para uma dada curva, para garantir que a raiz quadrada seja um número real. O sinal positivo é escolhido para curvas semelhantes a espaços; em uma variedade pseudo-Riemanniana, o sinal negativo pode ser escolhido para curvas semelhantes ao tempo. Portanto, o comprimento de uma curva é um número real não negativo. Normalmente não são consideradas curvas parcialmente semelhantes ao espaço e parcialmente semelhantes ao tempo.

Na teoria da relatividade , o comprimento do arco das curvas semelhantes ao tempo ( linhas do mundo ) é o tempo apropriado decorrido ao longo da linha do mundo e o comprimento do arco de uma curva semelhante ao espaço é a distância adequada ao longo da curva.

Veja também [ editar ]

  • Arco (geometria)
  • Circunferência
  • Fórmula Crofton
  • Integral elíptica
  • Geodésica
  • Equação intrínseca
  • Aproximações integrais
  • Integral de linha
  • Arco meridiano
  • Cálculo multivariável
  • Sinuosidade

Referências [ editar ]

  1. ^ Ahlberg; Nilson (1967). A teoria das splines e suas aplicações . Academic Press. p. 51 . ISBN 9780080955452.
  2. ^ Rudin, Walter (1976). Princípios de Análise Matemática . McGraw-Hill, Inc. pp.  137 . ISBN 978-0-07-054235-8.
  3. ^ Suplee, Curt (2 de julho de 2009). "Publicação especial 811" . nist.gov .
  4. ^ CRC Handbook of Chemistry and Physics , p. F-254
  5. ^ Richeson, David (maio de 2015). "Raciocínio circular: quem primeiro provou que C dividido por d é uma constante?". The College Mathematics Journal . 46 (3): 162–171. doi : 10.4169 / college.math.j.46.3.162 . ISSN 0746-8342 . S2CID 123757069 .  
  6. ^ Coolidge, JL (fevereiro de 1953). "Os comprimentos das curvas". The American Mathematical Monthly . 60 (2): 89–93. doi : 10.2307 / 2308256 . JSTOR 2308256 . 
  7. ^ Wallis, John (1659). Tractatus Duo. Antes, De Cycloide et de Corporibus inde Genitis… . Imprensa da Universidade de Oxford. pp. 91–96.
  8. ^ van Heuraet, Hendrik (1659). "Epistola de transmutatione curvarum linearum in rectas [Carta sobre a transformação de linhas curvas em rectas]". Renati Des-Cartes Geometria (2ª ed.). Amsterdã: Louis e Daniel Elzevir. pp. 517–520.
  9. ^ MPEAS (pseudônimo de Fermat) (1660). De Linearum Curvarum cum Lineis Rectis Comparatione Dissertatio Geometrica . Toulouse: Arnaud Colomer.

Fontes [ editar ]

  • Farouki, Rida T. (1999). "Curvas de movimento, movimento de curvas". Em Laurent, P.-J .; Sablonniere, P .; Schumaker, LL (eds.). Curva e projeto de superfície: Saint-Malo 1999 . Vanderbilt Univ. Aperte. pp. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

Ligações externas [ editar ]

  • "Rectifiable curve" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
  • A História da Curvatura
  • Weisstein, Eric W. "Arc Length" . MathWorld .
  • Arc Length de Ed Pegg Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
  • Guia de estudo de cálculo - Comprimento do arco (retificação)
  • Índice de curvas famosas O arquivo MacTutor History of Mathematics
  • Aproximação do comprimento do arco por Chad Pierson, Josh Fritz e Angela Sharp, The Wolfram Demonstrations Project .
  • Comprimento de uma experiência de curva Ilustra a solução numérica para encontrar o comprimento de uma curva.