Número real

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Um símbolo para o conjunto de números reais

Em matemática , um número real é um valor de uma quantidade contínua que pode representar uma distância ao longo de uma linha (ou, alternativamente, uma quantidade que pode ser representada como uma expansão decimal infinita ). O adjetivo real neste contexto foi introduzido no século 17 por René Descartes , que distinguiu entre raízes reais e imaginárias de polinômios . Os números reais incluem todos os números racionais , como o inteiro −5 e a fração 4/3, e todos os números irracionais , como√ 2 (1,41421356 ..., a raiz quadrada de 2 , um número algébrico irracional ). Incluídos nos irracionais estão os números transcendentais reais , como π (3,14159265 ...). ^[1] Além de medir a distância, os números reais podem ser usados ​​para medir quantidades como tempo , massa , energia , velocidade e muito mais. O conjunto de números reais é denotado pelo símbolo R ou ^{[2] [3]} e às vezes é chamado de "os reais". ^[4]${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Os números reais podem ser considerados pontos em uma linha infinitamente longa chamada de linha numérica ou linha real , onde os pontos correspondentes a inteiros são igualmente espaçados. Qualquer número real pode ser determinado por uma representação decimal possivelmente infinita , como a de 8,632, onde cada dígito consecutivo é medido em unidades um décimo do tamanho do anterior. A linha real pode ser considerada como parte do plano complexo e os números reais como parte dos números complexos .

Essas descrições dos números reais não são suficientemente rigorosas para os padrões modernos da matemática pura. A descoberta de uma definição adequadamente rigorosa dos números reais - na verdade, a compreensão de que uma definição melhor era necessária - foi um dos desenvolvimentos mais importantes da matemática do século XIX. A definição axiomática padrão atual é que os números reais formam o campo ordenado completo de Dedekind único (  ; +; ·; <), até um isomorfismo , ^[a] enquanto as definições construtivas populares de números reais incluem declará-los como classes de equivalência de sequências de Cauchy (de números racionais), cortes de Dedekind , ou infinito ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ representações decimais , junto com interpretações precisas para as operações aritméticas e a relação de ordem. Todas essas definições satisfazem a definição axiomática e são, portanto, equivalentes.

O conjunto de todos os números reais é incontável , no sentido de que, embora o conjunto de todos os números naturais e o conjunto de todos os números reais sejam conjuntos infinitos , não pode haver nenhuma função um-para-um dos números reais aos naturais . Na verdade, a cardinalidade do conjunto de todos os números reais, denotada por e chamada de cardinalidade do continuum , ^[2] é estritamente maior do que a cardinalidade do conjunto de todos os números naturais (denotada , 'aleph-nada' ^[2] ) ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

A afirmação de que não há subconjunto dos reais com cardinalidade estritamente maior e estritamente menor do que é conhecida como hipótese do contínuo (CH). É sabido que não pode ser provado nem refutado usando os axiomas da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel, incluindo o axioma da escolha (ZFC) - o fundamento padrão da matemática moderna. Na verdade, alguns modelos de ZFC satisfazem o CH, enquanto outros o violam.${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$

História [ editar ]

Os números reais incluem os números racionais , que incluem os inteiros , que por sua vez incluem os números naturais${\ displaystyle (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N})}$

Frações simples foram usadas pelos egípcios por volta de 1000 aC; os " Shulba Sutras " védicos ("As regras dos acordes") em, c. 600 AC , inclui o que pode ser o primeiro "uso" de números irracionais . O conceito de irracionalidade foi aceito implicitamente pelos primeiros matemáticos indianos , como Manava ( c. 750-690 aC) , que estavam cientes de que as raízes quadradas de certos números, como 2 e 61, não podiam ser determinadas com exatidão. ^[5] Por volta de 500 aC, os matemáticos gregos liderados por Pitágoras percebeu a necessidade de números irracionais, em particular a irracionalidade da raiz quadrada de 2 .

A Idade Média trouxe a aceitação de zero , números negativos , inteiros e números fracionários , primeiro por matemáticos indianos e chineses , e depois por matemáticos árabes , que também foram os primeiros a tratar números irracionais como objetos algébricos (o último sendo possível pelo desenvolvimento da álgebra). ^[6] Os matemáticos árabes fundiram os conceitos de " número " e " magnitude " em uma ideia mais geral de números reais. ^[7] O matemático egípcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam ( c.850–930) foi o primeiro a aceitar números irracionais como soluções para equações quadráticas ou como coeficientes em uma equação (frequentemente na forma de raízes quadradas, raízes cúbicas e quartas raízes ). ^[8]

No século 16, Simon Stevin criou a base para a notação decimal moderna e insistiu que não há diferença entre números racionais e irracionais a esse respeito.

No século 17, Descartes introduziu o termo "real" para descrever as raízes de um polinômio, distinguindo-as das "imaginárias".

Nos séculos 18 e 19, houve muito trabalho com números irracionais e transcendentais . Johann Heinrich Lambert (1761) deu a primeira prova falha de que π não pode ser racional; Adrien-Marie Legendre (1794) completou a prova, ^[9] e mostrou que π não é a raiz quadrada de um número racional. ^[10] Paolo Ruffini (1799) e Niels Henrik Abel (1842) ambos construíram provas do teorema de Abel-Ruffini : que a quíntica geral ou equações superiores não podem ser resolvidas por uma fórmula geral envolvendo apenas operações aritméticas e raízes.

Évariste Galois (1832) desenvolveu técnicas para determinar se uma determinada equação poderia ser resolvida por radicais, o que deu origem ao campo da teoria de Galois . Joseph Liouville (1840) mostrou que nem e nem e ² podem ser uma raiz de uma equação quadrática inteira , e então estabeleceu a existência de números transcendentais; Georg Cantor (1873) estendeu e simplificou muito essa prova. ^[11] Charles Hermite (1873) provou pela primeira vez que e é transcendental, e Ferdinand von Lindemann (1882), mostrou que πé transcendental. A prova de Lindemann foi muito simplificada por Weierstrass (1885), ainda mais por David Hilbert (1893), e foi finalmente tornada elementar por Adolf Hurwitz ^[12] e Paul Gordan . ^[13]

O desenvolvimento do cálculo no século XVIII utilizou todo o conjunto de números reais sem tê-los definido com rigor. A primeira definição rigorosa foi publicada por Georg Cantor em 1871. Em 1874, ele mostrou que o conjunto de todos os números reais é infinitamente infinito , mas o conjunto de todos os números algébricos é infinito . Ao contrário das crenças amplamente aceitas, seu primeiro método não foi seu famoso argumento diagonal , que publicou em 1891. Para mais informações, consulte a primeira prova de incontáveis ​​de Cantor .

Definição [ editar ]

O sistema de números reais pode ser definido axiomaticamente até um isomorfismo , que é descrito a seguir. Existem também muitas maneiras de construir "o" sistema de número real, e uma abordagem popular envolve começar com números naturais, definir números racionais algebricamente e, finalmente, definir números reais como classes de equivalência de suas sequências de Cauchy ou como cortes de Dedekind , o que é certo subconjuntos de números racionais. Outra abordagem é começar de alguma axiomatização rigorosa da geometria euclidiana (digamos de Hilbert ou de Tarski) e, em seguida, definir o sistema de números reais geometricamente. Todas essas construções dos números reais têm se mostrado equivalentes, no sentido de que os sistemas numéricos resultantes são${\ displaystyle (\ mathbb {R}; {} + {}; {} \ cdot {}; {} <{})}$isomórfico .

Abordagem axiomática [ editar ]

Vamos denotar o conjunto de todos os números reais, então:${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• O conjunto é um campo , o que significa que a adição e a multiplicação são definidas e possuem as propriedades usuais.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• O campo é ordenado , o que significa que existe uma ordem total ≥ tal que para todos os números reais x , y e z :${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
  • se x ≥ y , então x + z ≥ y + z ;
  • se x ≥ 0 ey ≥ 0, então xy ≥ 0.
• A ordem é Dedekind-complete , o que significa que cada subconjunto não vazio S de com um limite superior em tem um limite superior mínimo (também conhecido como supremum) em .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

A última propriedade é o que diferencia os reais dos racionais (e de outros campos ordenados mais exóticos ). Por exemplo, tem um limite superior racional (por exemplo, 1,42), mas não menos limite superior racional, porque não é racional.${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} <2 \}}$ 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}

Essas propriedades implicam na propriedade Arquimediana (que não está implícita em outras definições de completude), que afirma que o conjunto de inteiros não tem limite superior nos reais. Na verdade, se isso fosse falso, os inteiros teriam um limite superior mínimo N ; em seguida, N - 1 não seria um limite superior, e não seria um número inteiro n tal que n > N - 1 , e, portanto, n + 1> N , o que é uma contradição com a propriedade limite superior de N .

Os números reais são especificados exclusivamente pelas propriedades acima. Mais precisamente, dados quaisquer dois campos ordenados completos de Dedekind e , existe um isomorfismo de campo único de a . Essa singularidade nos permite pensar neles como essencialmente o mesmo objeto matemático.${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R_ {2}}}$

Para outra axiomatização de , veja a axiomatização dos reais de Tarski .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Construção dos números racionais [ editar ]

Os números reais podem ser construídos como uma complementação dos números racionais, de tal forma que uma sequência definida por uma expansão decimal ou binária como (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) converge para um único número real —Neste caso, π . Para obter detalhes e outras construções de números reais, consulte a construção dos números reais .

Propriedades [ editar ]

Propriedades básicas [ editar ]

• Qualquer número real diferente de zero é negativo ou positivo .
• A soma e o produto de dois números reais não negativos é novamente um número real não negativo, ou seja, eles são fechados sob essas operações e formam um cone positivo , dando origem a uma ordem linear dos números reais ao longo de um número linha .
• Os números reais constituem um conjunto infinito de números que não podem ser mapeados injetivamente para o conjunto infinito de números naturais , ou seja, há incontáveis infinitos números reais, enquanto os números naturais são chamados de infinitos contáveis . Isso estabelece que, em certo sentido, existem mais números reais do que elementos em qualquer conjunto contável.
• Existe uma hierarquia de subconjuntos contáveis ​​infinitos dos números reais, por exemplo, os inteiros , os racionais , os números algébricos e os números computáveis , cada conjunto sendo um subconjunto próprio do próximo na sequência. Os complementos de todos esses conjuntos ( números reais irracionais , transcendentais e não computáveis) nos reais são conjuntos incontáveis ​​infinitos.
• Os números reais podem ser usados ​​para expressar medições de quantidades contínuas . Eles podem ser expressos por representações decimais , a maioria delas tendo uma seqüência infinita de dígitos à direita da vírgula decimal ; estes são frequentemente representados como 324,823122147 ..., onde as reticências (três pontos) indicam que ainda haveria mais dígitos por vir. Isso indica o fato de que podemos denotar precisamente apenas alguns números reais selecionados com um número finito de símbolos.

Mais formalmente, os números reais têm as duas propriedades básicas de ser um campo ordenado e ter a menor propriedade de limite superior . A primeira diz que os números reais compreendem um campo , com adição e multiplicação, bem como divisão por números diferentes de zero, que podem ser totalmente ordenados em uma reta numérica de forma compatível com adição e multiplicação. O segundo diz que, se um conjunto não vazio de números reais tem um limite superior , então ele tem um limite superior mínimo real. A segunda condição distingue os números reais dos números racionais: por exemplo, o conjunto de números racionais cujo quadrado é menor que 2 é um conjunto com um limite superior (por exemplo, 1,5), mas nenhum (racional) mínimo limite superior: daí os números racionais não satisfazem a propriedade de limite superior mínimo.

Completude [ editar ]

A principal razão para usar números reais é que muitas sequências têm limites . Mais formalmente, os reais são completos (no sentido de espaços métricos ou espaços uniformes , que é um sentido diferente da completude Dedekind da ordem na seção anterior):

Uma sequência ( x _n ) de números reais é chamada de sequência de Cauchy se para qualquer ε> 0 existe um inteiro N (possivelmente dependendo de ε) tal que a distância | x _n - x _m | é inferior a ε para todos os n e m , que são ambos maiores do que N . Essa definição, originalmente fornecida por Cauchy , formaliza o fato de que x _n eventualmente vêm e permanecem arbitrariamente próximos um do outro.

Uma sequência ( x _n ) converge para o limite x se seus elementos eventualmente vierem e permanecerem arbitrariamente próximos de x , ou seja, se para qualquer ε> 0 existe um inteiro N (possivelmente dependendo de ε) tal que a distância | x _n - x | é inferior a ε para n maior do que N .

Cada sequência convergente é uma sequência de Cauchy, e o inverso é verdadeiro para números reais, e isso significa que o espaço topológico dos números reais está completo.

O conjunto de números racionais não está completo. Por exemplo, a sequência (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...), onde cada termo adiciona um dígito da expansão decimal da raiz quadrada positiva de 2, é Cauchy, mas não converge para um número racional (nos números reais, ao contrário, converge para a raiz quadrada positiva de 2).

A propriedade de completude dos reais é a base sobre a qual o cálculo e, de forma mais geral, a análise matemática são construídos. Em particular, o teste de que uma sequência é uma sequência de Cauchy permite provar que uma sequência tem um limite, sem computá-lo e mesmo sem sabê-lo.

Por exemplo, a série padrão da função exponencial

${\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}$

converge para um número real para cada x , porque as somas

${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {M} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}$

pode ser arbitrariamente pequeno (independentemente de M ) escolhendo N suficientemente grande. Isso prova que a sequência é Cauchy, e portanto converge, mostrando que está bem definida para todo x .${\ displaystyle e ^ {x}}$

"O campo ordenou completa" [ editar ]

Os números reais são frequentemente descritos como "o campo ordenado completo", uma frase que pode ser interpretada de várias maneiras.

Primeiro, um pedido pode ser completo em rede . É fácil ver que nenhum campo ordenado pode ser reticulado completo, porque ele não pode ter nenhum elemento maior (dado qualquer elemento z , z + 1 é maior), então este não é o sentido que se quer dizer.

Além disso, um pedido pode ser Dedekind completo , conforme definido na seção Abordagem axiomática . O resultado de exclusividade no final dessa seção justifica o uso da palavra "o" na frase "campo ordenado completo" quando esse é o sentido de "completo" que se quer dizer. Essa sensação de completude está mais intimamente relacionada à construção dos reais a partir dos cortes de Dedekind, uma vez que essa construção começa a partir de um campo ordenado (os racionais) e então forma a completação Dedekind dele de uma forma padrão.

Essas duas noções de completude ignoram a estrutura do campo. No entanto, um grupo ordenado (neste caso, o grupo aditivo do campo) define uma estrutura uniforme , e estruturas uniformes têm uma noção de completude ; a descrição em § Completude é um caso especial. (Referimo-nos à noção de completude em espaços uniformes em vez da noção relacionada e mais conhecida para espaços métricos , uma vez que a definição de espaço métrico depende de já ter uma caracterização dos números reais.) Não é verdade que é o único uniformemente campo ordenado completo, mas é o único campo arquimediano uniformemente completo${\ displaystyle \ mathbb {R}}$e, de fato, muitas vezes se ouve a frase "campo arquimediano completo" em vez de "campo ordenado completo". Todo campo arquimediano uniformemente completo também deve ser Dedekind-completo (e vice-versa), justificando o uso de "o" na frase "o campo arquimediano completo". Essa sensação de completude está mais intimamente relacionada à construção dos reais a partir das sequências de Cauchy (a construção realizada na íntegra neste artigo), pois parte de um campo arquimediano (os racionais) e forma o preenchimento uniforme dele em um padrão. caminho.

Mas o uso original da frase "campo arquimediano completo" foi feito por David Hilbert , que quis dizer ainda outra coisa com ela. Ele quis dizer que os números reais formam o maior campo arquimediano no sentido de que todos os outros campos arquimedianos são um subcampo . Portanto, é "completo" no sentido de que nada mais pode ser adicionado a ele sem torná-lo um campo arquimediano. Essa sensação de completude está mais intimamente relacionada à construção dos reais a partir dos números surreais , uma vez que essa construção começa com uma classe própria que contém todos os campos ordenados (os surreais) e então seleciona a partir dela o maior subcampo arquimediano.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Propriedades avançadas [ editar ]

Os reais são incontáveis ; isto é, existem estritamente mais números reais do que números naturais , embora ambos os conjuntos sejam infinitos . Na verdade, a cardinalidade dos reais é igual à do conjunto de subconjuntos (isto é, o conjunto de potência) dos números naturais, e o argumento diagonal de Cantor afirma que a cardinalidade do último conjunto é estritamente maior do que a cardinalidade de . Como o conjunto de números algébricos é contável, quase todos os números reais são transcendentais . A inexistência de um subconjunto dos reais com cardinalidade estritamente entre os inteiros e os reais é conhecida como hipótese do contínuo${\displaystyle \mathbb {N} }$. A hipótese do continuum não pode ser provada nem refutada; é independente dos axiomas da teoria dos conjuntos .

Como um espaço topológico, os números reais são separáveis . Isso ocorre porque o conjunto de racionais, que é contável, é denso em números reais. Os números irracionais também são densos nos reais, porém são incontáveis ​​e possuem a mesma cardinalidade dos reais.

Os números reais formam um espaço métrico : a distância entre x e y é definido como o valor absoluto | x - y | . Por serem um conjunto totalmente ordenado , eles também carregam uma topologia de ordem ; a topologia que surge da métrica e a que surge da ordem são idênticas, mas produzem apresentações diferentes para a topologia - na topologia de ordem como intervalos ordenados, na topologia métrica como bolas épsilon. A construção de cortes Dedekind usa a apresentação da topologia de ordem, enquanto a construção de sequências de Cauchy usa a apresentação da topologia métrica. Os reais formam um contrato(portanto conectado e simplesmente conectado ), espaço métrico separável e completo de dimensão de Hausdorff  1. Os números reais são localmente compactos, mas não compactos . Existem várias propriedades que os especificam exclusivamente; por exemplo, todas as topologias de ordem ilimitada, conectada e separável são necessariamente homeomórficas aos reais.

Todo número real não negativo tem uma raiz quadrada em , embora nenhum número negativo tenha. Isso mostra que a ordem em é determinada por sua estrutura algébrica. Além disso, todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real: essas duas propriedades constituem o principal exemplo de um campo fechado real . Provar isso é a primeira metade de uma prova do teorema fundamental da álgebra .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Os reais carregam uma medida canônica , a medida de Lebesgue , que é a medida de Haar em sua estrutura como um grupo topológico normalizado de forma que o intervalo unitário [0; 1] tenha medida 1. Existem conjuntos de números reais que não são mensuráveis ​​de Lebesgue, por exemplo, conjuntos Vitali .

O axioma supremo dos reais se refere a subconjuntos dos reais e, portanto, é uma afirmação lógica de segunda ordem. Não é possível caracterizar os reais apenas com a lógica de primeira ordem : o teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe um subconjunto denso contável dos números reais que satisfazem exatamente as mesmas sentenças na lógica de primeira ordem que os próprios números reais. O conjunto de números hiperreais satisfaz as mesmas sentenças de primeira ordem que . Campos ordenados que satisfazem as mesmas sentenças de primeira ordem são chamados de modelos não padrão de . Isso é o que torna a análise fora do padrão${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$trabalhos; ao provar uma afirmação de primeira ordem em algum modelo não padrão (o que pode ser mais fácil do que prová-la ), sabemos que a mesma afirmação também deve ser verdadeira para .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

O campo dos números reais é um campo de extensão do campo dos números racionais e, portanto , pode ser visto como um espaço vetorial acabado . A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha garante a existência de uma base para este espaço vetorial: existe um conjunto B de números reais tal que cada número real pode ser escrito exclusivamente como uma combinação linear finita de elementos deste conjunto, usando coeficientes racionais apenas, e de modo que nenhum elemento de B${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$é uma combinação linear racional das outras. No entanto, este teorema da existência é puramente teórico, uma vez que tal base nunca foi explicitamente descrita.

A boa ordenação teorema implica que os números reais podem ser bem ordenada se o axioma da escolha é assumida: existe uma ordem total sobre com a propriedade de que cada não-vazia subconjunto de tem um mínimo elemento neste ordenação. (A ordenação padrão ≤ dos números reais não é uma boa ordenação, pois, por exemplo, um intervalo aberto não contém um elemento mínimo nesta ordenação.) Mais uma vez, a existência de tal ordenação é puramente teórica, uma vez que não foi descrito explicitamente. Se V = L é assumido além dos axiomas de ZF, uma boa ordenação dos números reais pode ser explicitamente definível por uma fórmula.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[14]

Um número real pode ser computável ou não computável ; ou algoritmicamente aleatório ou não; e aritmeticamente aleatório ou não.

Aplicações e ligações a outras áreas [ editar ]

Números reais e lógica [ editar ]

Os números reais são mais frequentemente formalizados usando a axiomatização de Zermelo-Fraenkel da teoria dos conjuntos, mas alguns matemáticos estudam os números reais com outros fundamentos lógicos da matemática. Em particular, os números reais também são estudados na matemática reversa e na matemática construtiva . ^[15]

Os números hiperreais desenvolvidos por Edwin Hewitt , Abraham Robinson e outros estendem o conjunto dos números reais ao introduzir números infinitesimais e infinitos, permitindo construir cálculos infinitesimais de uma forma mais próxima das intuições originais de Leibniz , Euler , Cauchy e outros.

Edward Nelson 's teoria conjunto interno enriquece o Zermelo-Fraenkel teoria conjunto sintacticamente através da introdução de um predicado unária 'padrão'. Nessa abordagem, os infinitesimais são elementos (não "padrão") do conjunto dos números reais (em vez de elementos de uma extensão deles, como na teoria de Robinson).

A hipótese do contínuo postula que a cardinalidade do conjunto dos números reais é ; ou seja, o menor número cardinal infinito após a cardinalidade dos inteiros. Paul Cohen provou em 1963 que é um axioma independente dos outros axiomas da teoria dos conjuntos; isto é: pode-se escolher a hipótese do contínuo ou sua negação como um axioma da teoria dos conjuntos, sem contradição.${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

Em física [ editar ]

Nas ciências físicas, a maioria das constantes físicas, como a constante gravitacional universal, e variáveis ​​físicas, como posição, massa, velocidade e carga elétrica, são modeladas usando números reais. Na verdade, as teorias físicas fundamentais como a mecânica clássica , eletromagnetismo , mecânica quântica , relatividade geral e o modelo padrão são descritas usando estruturas matemáticas, normalmente variedades suaves ou espaços de Hilbert , que são baseados em números reais, embora medições reais de quantidades físicas são de exatidão e precisão finitas .

Os físicos sugeriram ocasionalmente que uma teoria mais fundamental substituiria os números reais por quantidades que não formam um continuum, mas tais propostas permanecem especulativas. ^[16]

Em computação [ editar ]

Com algumas exceções , a maioria das calculadoras não opera com números reais. Em vez disso, eles trabalham com aproximações de precisão finita chamadas números de ponto flutuante . Na verdade, a maioria dos cálculos científicos usa aritmética de ponto flutuante. Os números reais satisfazem as regras usuais da aritmética , mas os números de ponto flutuante não .

Os computadores não podem armazenar diretamente números reais arbitrários com infinitos dígitos. A precisão alcançável é limitada pelo número de bits alocados para armazenar um número, seja como números de ponto flutuante ou números de precisão arbitrária . No entanto, os sistemas de álgebra de computador podem operar em quantidades irracionais exatamente pela manipulação de fórmulas para elas (como ou ) em vez de sua aproximação racional ou decimal. ^[17] Em geral, não é possível determinar se duas dessas expressões são iguais (o problema da constante ).${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle \arcsin(2/23),}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$

Um número real é denominado computável se existir um algoritmo que produza seus dígitos. Como existem apenas muitos algoritmos contáveis , ^[18] mas um número incontável de reais, quase todos os números reais deixam de ser computáveis. Além disso, a igualdade de dois números computáveis ​​é um problema indecidível . Alguns construtivistas aceitam a existência apenas daqueles reais que são computáveis. O conjunto de números definíveis é mais amplo, mas ainda assim apenas contável.

"Reais" na teoria dos conjuntos [ editar ]

Na teoria dos conjuntos , especificamente na teoria descritiva dos conjuntos , o espaço de Baire é usado como substituto para os números reais, uma vez que estes últimos possuem algumas propriedades topológicas (conectividade) que são um inconveniente técnico. Os elementos do espaço de Baire são chamados de "reais".

Vocabulário e notação [ editar ]

Os matemáticos usam o símbolo R , ou, alternativamente, a letra "R" em negrito do quadro-negro (codificado em Unicode como U + 211D ℝ DUPLO-STRUCK MAIÚSCULO R (HTML  · )), para representar o conjunto de todos os números reais. Como esse conjunto é naturalmente dotado da estrutura de um campo , o campo de expressão de números reais é freqüentemente usado quando suas propriedades algébricas estão sob consideração.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ℝ  ℝ, ℝ

Os conjuntos de números reais positivos e números reais negativos são freqüentemente notados e , ^[19] respectivamente; e também são usados. ^[20] Os números reais não negativos pode-se notar , mas um muitas vezes vê este conjunto observado ^[19] matemática em francês, os números reais positivos e números reais negativos geralmente incluem de zero , e estes conjuntos são conhecidos respectivamente e ^[20] Neste compreensão, os respectivos conjuntos sem zero são chamados de números reais estritamente positivos e números reais estritamente negativos, e são indicados e ^[20]${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$${\displaystyle \mathbb {R_{+}} }$${\displaystyle \mathbb {R_{-}} .}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}*}$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}*.}$

A notação se refere ao produto cartesiano de n cópias de , que é um espaço vetorial n - dimensional sobre o campo dos números reais; este espaço vetorial pode ser identificado ao espaço n - dimensional da geometria euclidiana assim que um sistema de coordenadas for escolhido na última. Por exemplo, um valor de consiste em uma tupla de três números reais e especifica as coordenadas de um ponto no espaço tridimensional.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Em matemática, real é usado como adjetivo, o que significa que o campo subjacente é o campo dos números reais (ou o campo real ). Por exemplo, verdadeira matriz , verdadeiro polinômio e verdadeira álgebra de Lie . A palavra também é usada como substantivo , significando um número real (como em "o conjunto de todos os reais").

Generalizações e extensões [ editar ]

Os números reais podem ser generalizados e estendidos em várias direções diferentes:

• Os números complexos contêm soluções para todas as equações polinomiais e, portanto, são um campo algebricamente fechado, ao contrário dos números reais. No entanto, os números complexos não são um campo ordenado .
• O sistema de número real afinamente estendido adiciona dois elementos + ∞ e −∞. É um espaço compacto . Não é mais um campo, nem mesmo um grupo aditivo, mas ainda tem uma ordem total ; além disso, é uma rede completa .
• A linha projetiva real adiciona apenas um valor ∞. É também um espaço compacto. Novamente, não é mais um campo, ou mesmo um grupo aditivo. No entanto, ele permite a divisão de um elemento diferente de zero por zero. Possui ordem cíclica descrita por uma relação de separação .
• A longa linha real cola ℵ ₁ * + ℵ ₁ cópias da linha real mais um único ponto (aqui ℵ ₁ * denota a ordem inversa de ℵ ₁ ) para criar um conjunto ordenado que é "localmente" idêntico aos números reais, mas de alguma forma mais; por exemplo, há uma incorporação de preservação de ordem de ℵ ₁ na linha real longa, mas não nos números reais. A longa linha real é o maior conjunto ordenado que é completo e localmente arquimediano. Como nos dois exemplos anteriores, este conjunto não é mais um campo ou grupo aditivo.
• Os campos ordenados que estendem os reais são os números hiperreais e os números surreais ; ambos contêm números infinitesimais e infinitamente grandes e, portanto, são campos ordenados não arquimedianos .
• Operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert (por exemplo, matrizes complexas quadradas auto-adjuntas ) generalizam os reais em muitos aspectos: eles podem ser ordenados (embora não totalmente ordenados), eles são completos, todos os seus autovalores são reais e eles formam um álgebra associativa real . Os operadores positivos definidos correspondem aos reais positivos e os operadores normais aos números complexos.

Veja também [ editar ]

• Completude dos números reais
• Fração contínua
• Números reais definíveis
• Números reais positivos
• Análise real

Notas [ editar ]

Referências [ editar ]

Citations [ editar ]

Fontes [ editar ]

Ligações externas [ editar ]

• "Real number" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]