Análise real

Construção dos números reais

Os teoremas da análise real dependem intimamente da estrutura da reta numérica real. O sistema de números reais consiste em um conjunto incontável (${\ displaystyle \ mathbb {R}}$), junto com duas operações binárias denotadas + e ⋅ , e uma ordem denotada < . As operações transformam os números reais em um campo e, junto com a ordem, em um campo ordenado . O sistema de número real é o campo ordenado completo único , no sentido de que qualquer outro campo ordenado completo é isomorfo a ele. Intuitivamente, completude significa que não há 'lacunas' nos números reais. Em particular, esta propriedade distingue os números reais de outros campos ordenados (por exemplo, os números racionais${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$) e é crítica para a prova de várias propriedades-chave de funções dos números reais. A integridade dos reais costuma ser convenientemente expressa como a propriedade de limite superior mínimo (veja abaixo).

Existem várias maneiras de formalizar a definição dos números reais . As abordagens modernas consistem em fornecer uma lista de axiomas e uma prova da existência de um modelo para eles, que tem as propriedades acima. Além disso, pode-se mostrar que quaisquer dois modelos são isomórficos , o que significa que todos os modelos têm exatamente as mesmas propriedades, e que se pode esquecer como o modelo é construído para usar números reais.

Propriedades da ordem dos números reais

Os números reais têm várias propriedades teóricas da rede que estão ausentes nos números complexos. Além disso, os números reais formam um campo ordenado , no qual as somas e produtos de números positivos também são positivos. Além disso, a ordem dos números reais é total , e os números reais têm a menor propriedade de limite superior :

Cada subconjunto não vazio de ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$que tem um limite superior tem um limite mínimo superior que também é um número real.

Essas propriedades teóricas da ordem levam a uma série de resultados fundamentais na análise real, como o teorema da convergência monótona , o teorema do valor intermediário e o teorema do valor médio .

No entanto, embora os resultados da análise real sejam declarados para números reais, muitos desses resultados podem ser generalizados para outros objetos matemáticos. Em particular, muitas idéias em análise funcional e teoria de operadores generalizam propriedades dos números reais - tais generalizações incluem as teorias de espaços de Riesz e operadores positivos . Além disso, os matemáticos consideram partes reais e imaginárias de sequências complexas ou por avaliação pontual de sequências de operadores .

Propriedades topológicas dos números reais

Muitos dos teoremas da análise real são consequências das propriedades topológicas da reta numérica real. As propriedades de ordem dos números reais descritos acima estão intimamente relacionadas a essas propriedades topológicas. Como um espaço topológico , os números reais têm uma topologia padrão , que é a topologia de ordem induzida por ordem${\ displaystyle <}$. Alternativamente, definindo a função métrica ou distância ${\ displaystyle d: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$usando a função de valor absoluto como${\ displaystyle d (x, y) = | xy |}$, os números reais se tornam o exemplo prototípico de um espaço métrico . A topologia induzida pela métrica${\ displaystyle d}$ acaba sendo idêntico à topologia padrão induzida por ordem ${\ displaystyle <}$. Teoremas como o teorema do valor intermediário que são essencialmente topológicos por natureza podem muitas vezes ser provados no cenário mais geral de espaços métricos ou topológicos, em vez de${\ displaystyle \ mathbb {R}}$só. Freqüentemente, tais provas tendem a ser mais curtas ou mais simples em comparação com as provas clássicas que aplicam métodos diretos.

Seqüências

Uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto contável e totalmente ordenado . O domínio é geralmente considerado como sendo os números naturais , ^[2] embora seja ocasionalmente conveniente considerar também sequências bidirecionais indexadas pelo conjunto de todos os inteiros, incluindo índices negativos.

De interesse na análise real, uma sequência de valor real , aqui indexada pelos números naturais, é um mapa${\ displaystyle a: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {R}: n \ mapsto a_ {n}}$. Cada${\ displaystyle a (n) = a_ {n}}$é referido como um termo (ou, menos comumente, um elemento ) da sequência. Uma sequência raramente é denotada explicitamente como uma função; em vez disso, por convenção, é quase sempre notado como se fosse uma ∞-tupla ordenada, com termos individuais ou um termo geral entre parênteses: ^[3]

$${\ displaystyle (a_ {n}) = (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dots).}$$

${\ textstyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}}$

${\ displaystyle (a_ {n})}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle | a_ {n} |$

${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle (a_ {n})}$

$${\ displaystyle a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq a_ {3} \ leq \ cdots}$$

$${\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq a_ {3} \ geq \ cdots}$$

${\ displaystyle \ leq}$

${\ displaystyle \ geq}$

Dada uma sequência ${\ displaystyle (a_ {n})}$, outra sequência ${\ displaystyle (b_ {k})}$é uma subsequência de${\ displaystyle (a_ {n})}$ E se ${\ displaystyle b_ {k} = a_ {n_ {k}}}$ para todos os inteiros positivos ${\ displaystyle k}$ e ${\ displaystyle (n_ {k})}$ é uma sequência estritamente crescente de números naturais.

Limites e convergência

Grosso modo, um limite é o valor que uma função ou sequência "se aproxima" conforme a entrada ou índice se aproxima de algum valor. ^[4] (Este valor pode incluir os símbolos${\ displaystyle \ pm \ infty}$ao abordar o comportamento de uma função ou sequência conforme a variável aumenta ou diminui sem limites.) A ideia de um limite é fundamental para o cálculo (e a análise matemática em geral) e sua definição formal é usada por sua vez para definir noções como continuidade , derivadas , e integrais . (Na verdade, o estudo do comportamento limitante tem sido usado como uma característica que distingue o cálculo e a análise matemática de outros ramos da matemática.)

O conceito de limite foi introduzido informalmente para funções por Newton e Leibniz , no final do século XVII, para a construção do cálculo infinitesimal . Para sequências, o conceito foi introduzido por Cauchy , e tornado rigoroso, no final do século 19 por Bolzano e Weierstrass , que deram a definição ε-δ moderna , que se segue.

Definição. Deixar${\ displaystyle f}$ ser uma função de valor real definida em ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R}}$. Nós dizemos isso${\ displaystyle f (x)}$ tende a ${\ displaystyle L}$ como ${\ displaystyle x}$ aproximações ${\ displaystyle x_ {0}}$, ou que o limite de${\ displaystyle f (x)}$ como ${\ displaystyle x}$ aproximações ${\ displaystyle x_ {0}}$ é ${\ displaystyle L}$ se, por qualquer ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$, existe ${\ displaystyle \ delta> 0}$ tal que para todos ${\ displaystyle x \ in E}$, ${\ displaystyle 0 <| x-x_ {0} | <\ delta}$ implica que ${\ displaystyle | f (x) -L | <\ varepsilon}$. Escrevemos isso simbolicamente como

$${\ displaystyle f (x) \ para L \ \ {\ text {as}} \ \ x \ para x_ {0},}$$

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = L.}$$

${\ displaystyle f (x) \ a L}$

${\ displaystyle x \ a x_ {0}}$

${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle 0 <| x-x_ {0} |}$

${\ textstyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = L}$

${\ displaystyle f (x_ {0})}$

${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle f}$

${\ textstyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x)}$

Em um contexto ligeiramente diferente, mas relacionado, o conceito de um limite se aplica ao comportamento de uma sequência ${\ displaystyle (a_ {n})}$ quando ${\ displaystyle n}$ torna-se grande.

Definição. Deixar${\ displaystyle (a_ {n})}$ser uma sequência com valor real. Nós dizemos isso${\ displaystyle (a_ {n})}$ converge para ${\ displaystyle a}$ se, por qualquer ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$, existe um número natural ${\ displaystyle N}$ de tal modo que ${\ displaystyle n \ geq N}$ implica que ${\ displaystyle | a-a_ {n} | <\ varepsilon}$. Escrevemos isso simbolicamente como

$${\ displaystyle a_ {n} \ para a \ \ {\ text {as}} \ \ n \ para \ infty,}$$

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = a;}$$

${\ displaystyle (a_ {n})}$

${\ displaystyle (a_ {n})}$

Generalizando para uma função de valor real de uma variável real, uma ligeira modificação desta definição (substituição de sequência ${\ displaystyle (a_ {n})}$ e termo ${\ displaystyle a_ {n}}$ por função ${\ displaystyle f}$ e valor ${\ displaystyle f (x)}$ e números naturais ${\ displaystyle N}$ e ${\ displaystyle n}$ por números reais ${\ displaystyle M}$ e ${\ displaystyle x}$, respectivamente) produz a definição do limite de${\ displaystyle f (x)}$ como ${\ displaystyle x}$aumenta sem limite , notado${\ textstyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x)}$. Invertendo a desigualdade${\ displaystyle x \ geq M}$ para ${\ displaystyle x \ leq M}$ dá a definição correspondente do limite de ${\ displaystyle f (x)}$ como ${\ displaystyle x}$ diminui sem limites ,${\ textstyle \ lim _ {x \ to - \ infty} f (x)}$.

Às vezes, é útil concluir que uma sequência converge, embora o valor para o qual ela converge seja desconhecido ou irrelevante. Nesses casos, o conceito de sequência de Cauchy é útil.

Definição. Deixar${\ displaystyle (a_ {n})}$ser uma sequência com valor real. Nós dizemos isso${\ displaystyle (a_ {n})}$é uma sequência de Cauchy se, para qualquer${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$, existe um número natural ${\ displaystyle N}$ de tal modo que ${\ displaystyle m, n \ geq N}$ implica que ${\ displaystyle | a_ {m} -a_ {n} | <\ varepsilon}$.

Pode-se mostrar que uma sequência de valor real é Cauchy se e somente se for convergente. Esta propriedade dos números reais é expressa dizendo que os números reais dotados da métrica padrão,${\ displaystyle (\ mathbb {R}, | \ cdot |)}$, é um espaço métrico completo . Em um espaço métrico geral, no entanto, uma sequência de Cauchy não precisa convergir.

Além disso, para sequências de valor real que são monotônicas, pode ser mostrado que a sequência é limitada se e somente se for convergente.

Convergência uniforme e pontual para sequências de funções

Além de sequências de números, também se pode falar de sequências de funções em ${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R}}$, isto é, famílias infinitas e ordenadas de funções ${\ displaystyle f_ {n}: E \ to \ mathbb {R}}$, denotado ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$, e suas propriedades de convergência. No entanto, no caso de sequências de funções, há dois tipos de convergência, conhecidos como convergência pontual e convergência uniforme , que precisam ser distinguidos.

Grosso modo, convergência pontual de funções ${\ displaystyle f_ {n}}$ para uma função limitante ${\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$, denotado ${\ displaystyle f_ {n} \ rightarrow f}$, simplesmente significa que dado qualquer ${\ displaystyle x \ in E}$, ${\ displaystyle f_ {n} (x) \ a f (x)}$ como ${\ displaystyle n \ to \ infty}$. Em contraste, a convergência uniforme é um tipo mais forte de convergência, no sentido de que uma sequência de funções uniformemente convergente também converge pontualmente, mas não inversamente. A convergência uniforme requer membros da família de funções,${\ displaystyle f_ {n}}$, cair em algum erro ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ de ${\ displaystyle f}$para cada valor de${\ displaystyle x \ in E}$, sempre que ${\ displaystyle n \ geq N}$, para algum inteiro ${\ displaystyle N}$. Para uma família de funções convergir uniformemente, às vezes denotado${\ displaystyle f_ {n} \ rightrightarrows f}$, esse valor de ${\ displaystyle N}$ deve existir para qualquer ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$dado, não importa o quão pequeno seja. Intuitivamente, podemos visualizar essa situação imaginando que, para um grande o suficiente${\ displaystyle N}$, As funções ${\ displaystyle f_ {N}, f_ {N + 1}, f_ {N + 2}, \ ldots}$ estão todos confinados em um 'tubo' de largura ${\ displaystyle 2 \ varepsilon}$ cerca de ${\ displaystyle f}$ (isto é, entre ${\ displaystyle f- \ varepsilon}$ e ${\ displaystyle f + \ varepsilon}$) para cada valor em seu domínio ${\ displaystyle E}$.

A distinção entre convergência pontual e uniforme é importante quando se deseja trocar a ordem de duas operações limitantes (por exemplo, tomar um limite, uma derivada ou integral): para que a troca seja bem comportada, muitos teoremas de análise real exigem para convergência uniforme. Por exemplo, uma sequência de funções contínuas (veja abaixo ) tem a garantia de convergir para uma função de limitação contínua se a convergência for uniforme, enquanto a função de limitação pode não ser contínua se a convergência for apenas pontual. Karl Weierstrass é geralmente creditado por definir claramente o conceito de convergência uniforme e investigar completamente suas implicações.

Compacidade

Compactação é um conceito da topologia geral que desempenha um papel importante em muitos dos teoremas da análise real. A propriedade de compactação é uma generalização da noção de um conjunto sendo fechado e limitado . (No contexto da análise real, essas noções são equivalentes: um conjunto no espaço euclidiano é compacto se e somente se for fechado e limitado.) Resumidamente, um conjunto fechado contém todos os seus pontos de fronteira , enquanto um conjunto é limitado se houver existe um número real tal que a distância entre quaisquer dois pontos do conjunto é menor que esse número. Dentro${\ displaystyle \ mathbb {R}}$, conjuntos que são fechados e limitados e, portanto, compactos, incluem o conjunto vazio, qualquer número finito de pontos, intervalos fechados e suas uniões finitas. No entanto, esta lista não é exaustiva; por exemplo, o conjunto${\ displaystyle \ {1 / n: n \ in \ mathbb {N} \} \ cup \ {0} \}$é um conjunto compacto; o conjunto ternário Cantor ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subset [0,1]}$é outro exemplo de um conjunto compacto. Por outro lado, o conjunto${\ displaystyle \ {1 / n: n \ in \ mathbb {N} \}}$não é compacto porque é limitado, mas não fechado, pois o ponto limite 0 não é um membro do conjunto. O conjunto${\ displaystyle [0, \ infty)}$ também não é compacto porque é fechado, mas não limitado.

Para subconjuntos de números reais, existem várias definições equivalentes de compactação.

Definição. Um conjunto${\ displaystyle E \ subset \ mathbb {R}}$ é compacto se for fechado e limitado.

Esta definição também se aplica ao espaço euclidiano de qualquer dimensão finita, ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$, mas não é válido para espaços métricos em geral. A equivalência da definição com a definição de compactação baseada em subcobertas, dada mais tarde nesta seção, é conhecida como teorema de Heine-Borel .

Uma definição mais geral que se aplica a todos os espaços métricos usa a noção de uma subsequência (veja acima).

Definição. Um conjunto${\ displaystyle E}$ em um espaço métrico é compacto se cada sequência em ${\ displaystyle E}$ tem uma subseqüência convergente.

Esta propriedade particular é conhecida como compactação subsequencial . Dentro${\ displaystyle \ mathbb {R}}$, um conjunto é subsequencialmente compacto se e somente se for fechado e limitado, tornando esta definição equivalente à dada acima. Compactação subsequente é equivalente à definição de compactação baseada em subcobertas para espaços métricos, mas não para espaços topológicos em geral.

A definição mais geral de compactação baseia-se na noção de tampas abertas e subcobertas , que é aplicável a espaços topológicos (e, portanto, a espaços métricos e${\ displaystyle \ mathbb {R}}$como casos especiais). Em resumo, uma coleção de conjuntos abertos${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$é dito ser uma capa aberta do conjunto${\ displaystyle X}$ se a união desses conjuntos for um superconjunto de ${\ displaystyle X}$. Esta cobertura aberta é considerada como tendo uma subcobertura finita se uma subcoleção finita do${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$ pode ser encontrado que também cobre ${\ displaystyle X}$.

Definição. Um conjunto${\ displaystyle X}$ em um espaço topológico é compacto se cada tampa aberta de ${\ displaystyle X}$ tem uma subcobertura finita.

Conjuntos compactos são bem comportados em relação a propriedades como convergência e continuidade. Por exemplo, qualquer sequência de Cauchy em um espaço métrico compacto é convergente. Como outro exemplo, a imagem de um espaço métrico compacto sob um mapa contínuo também é compacta.

Continuidade

Uma função do conjunto de números reais para os números reais pode ser representada por um gráfico no plano cartesiano ; tal função é contínua se, grosso modo, o gráfico for uma única curva contínua sem "buracos" ou "saltos".

Existem várias maneiras de tornar essa intuição matematicamente rigorosa. Várias definições de vários níveis de generalidade podem ser fornecidas. Nos casos em que duas ou mais definições são aplicáveis, elas são prontamente mostradas como equivalentes entre si, de modo que a definição mais conveniente pode ser usada para determinar se uma determinada função é contínua ou não. Na primeira definição dada abaixo,${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$ é uma função definida em um intervalo não degenerado ${\ displaystyle I}$do conjunto de números reais como seu domínio. Algumas possibilidades incluem${\ displaystyle I = \ mathbb {R}}$, todo o conjunto de números reais, um intervalo aberto ${\ displaystyle I = (a, b) = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a$ou um intervalo fechado ${\ displaystyle I = [a, b] = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a \ leq x \ leq b \}.}$ Aqui, ${\ displaystyle a}$ e ${\ displaystyle b}$ são números reais distintos, e excluímos o caso de ${\ displaystyle I}$ sendo vazio ou consistindo em apenas um ponto, em particular.

Definição. Se${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ é um intervalo não degenerado, dizemos que ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$é contínuo em ${\ displaystyle p \ in I}$ E se ${\ textstyle \ lim _ {x \ to p} f (x) = f (p)}$. Nós dizemos isso${\ displaystyle f}$é um mapa contínuo se${\ displaystyle f}$ é contínuo em todo ${\ displaystyle p \ in I}$.

Em contraste com os requisitos para ${\ displaystyle f}$ ter um limite em um ponto ${\ displaystyle p}$, que não restringem o comportamento de ${\ displaystyle f}$ no ${\ displaystyle p}$ em si, as seguintes duas condições, além da existência de ${\ textstyle \ lim _ {x \ to p} f (x)}$, também deve ser mantido em ordem para ${\ displaystyle f}$ ser contínuo em ${\ displaystyle p}$: (i) ${\ displaystyle f}$ deve ser definido em ${\ displaystyle p}$, ou seja, ${\ displaystyle p}$ está no domínio de ${\ displaystyle f}$; e (ii) ${\ displaystyle f (x) \ a f (p)}$ como ${\ displaystyle x \ a p}$. A definição acima realmente se aplica a qualquer domínio${\ displaystyle E}$que não contém um ponto isolado , ou equivalentemente,${\ displaystyle E}$ onde cada ${\ displaystyle p \ in E}$é um ponto limite de${\ displaystyle E}$. Uma definição mais geral aplicável a${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ com um domínio geral ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R}}$ é o seguinte:

Definição. Se${\ displaystyle X}$ é um subconjunto arbitrário de ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$, nós dizemos que ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$é contínuo em ${\ displaystyle p \ in X}$ se, por qualquer ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$, existe ${\ displaystyle \ delta> 0}$ tal que para todos ${\ displaystyle x \ in X}$, ${\ displaystyle | xp | <\ delta}$ implica que ${\ displaystyle | f (x) -f (p) | <\ varepsilon}$. Nós dizemos isso${\ displaystyle f}$é um mapa contínuo se${\ displaystyle f}$ é contínuo em todo ${\ displaystyle p \ in X}$.

Uma consequência desta definição é que ${\ displaystyle f}$é trivialmente contínuo em qualquer ponto isolado ${\ displaystyle p \ in X}$. Este tratamento um tanto não intuitivo de pontos isolados é necessário para garantir que nossa definição de continuidade para funções na linha real seja consistente com a definição mais geral de continuidade para mapas entre espaços topológicos (que inclui espaços métricos e${\ displaystyle \ mathbb {R}}$em particular como casos especiais). Esta definição, que se estende além do escopo de nossa discussão da análise real, é fornecida abaixo para ser completa.

Definição. Se${\ displaystyle X}$ e ${\ displaystyle Y}$ são espaços topológicos, dizemos que ${\ displaystyle f: X \ a Y}$é contínuo em ${\ displaystyle p \ in X}$ E se ${\ displaystyle f ^ {- 1} (V)}$é um bairro de${\ displaystyle p}$ dentro ${\ displaystyle X}$ para cada bairro ${\ displaystyle V}$ de ${\ displaystyle f (p)}$ dentro ${\ displaystyle Y}$. Nós dizemos isso${\ displaystyle f}$é um mapa contínuo se${\ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ está aberto em ${\ displaystyle X}$ para cada ${\ displaystyle U}$ aberto em ${\ displaystyle Y}$.

(Aqui, ${\ displaystyle f ^ {- 1} (S)}$refere-se à pré - imagem de${\ displaystyle S \ subset Y}$ sob ${\ displaystyle f}$.)

Continuidade uniforme

Definição. Se${\ displaystyle X}$é um subconjunto dos números reais , dizemos uma função${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$é uniformemente contínuo em ${\ displaystyle X}$ se, por qualquer ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$, existe um ${\ displaystyle \ delta> 0}$ tal que para todos ${\ displaystyle x, y \ in X}$, ${\ displaystyle | xy | <\ delta}$ implica que ${\ displaystyle | f (x) -f (y) | <\ varepsilon}$.

Explicitamente, quando uma função é uniformemente contínua em ${\ displaystyle X}$, a escolha de ${\ displaystyle \ delta}$necessário para cumprir a definição deve funcionar para todos ${\ displaystyle X}$ para um dado ${\ displaystyle \ varepsilon}$. Em contraste, quando uma função é contínua em todos os pontos${\ displaystyle p \ in X}$ (ou dito ser contínuo em ${\ displaystyle X}$), a escolha de ${\ displaystyle \ delta}$ pode depender de ambos ${\ displaystyle \ varepsilon}$ e ${\ displaystyle p}$. Em contraste com a continuidade simples, a continuidade uniforme é uma propriedade de uma função que só faz sentido com um domínio especificado; falar de continuidade uniforme em um único ponto${\ displaystyle p}$ não tem sentido.

Em um conjunto compacto, é facilmente mostrado que todas as funções contínuas são uniformemente contínuas. Se${\ displaystyle E}$ é um subconjunto não compacto limitado de ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$, então existe ${\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$que é contínuo, mas não uniformemente contínuo. Como um exemplo simples, considere${\ displaystyle f: (0,1) \ to \ mathbb {R}}$ definido por ${\ displaystyle f (x) = 1 / x}$. Ao escolher pontos próximos de 0, sempre podemos fazer${\ displaystyle | f (x) -f (y) |> \ varepsilon}$ para qualquer escolha de ${\ displaystyle \ delta> 0}$, para um dado ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$.

Continuidade absoluta

Definição. Deixar${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ser um intervalo na linha real . Uma função${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$é dito ser absolutamente contínuo em ${\ displaystyle I}$ se para cada número positivo ${\ displaystyle \ varepsilon}$, há um número positivo ${\ displaystyle \ delta}$de modo que sempre que uma sequência finita de subintervalos disjuntos aos pares${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), \ ldots, (x_ {n}, y_ {n})}$ de ${\ displaystyle I}$satisfaz ^[5]

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} (y_ {k} -x_ {k}) <\ delta}$

então

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) | <\ varepsilon.}$

Funções absolutamente contínuas são contínuas: considere o caso n = 1 nesta definição. A coleção de todas as funções absolutamente contínuas em I é denotada AC ( I ). A continuidade absoluta é um conceito fundamental na teoria da integração de Lebesgue, permitindo a formulação de uma versão generalizada do teorema fundamental do cálculo que se aplica à integral de Lebesgue.

Diferenciação

A noção de derivada de uma função ou diferenciabilidade origina-se do conceito de aproximar uma função perto de um determinado ponto usando a "melhor" aproximação linear. Esta aproximação, se existir, é única e é dada pela linha que é tangente à função no ponto dado${\ displaystyle a}$, e a inclinação da linha é a derivada da função em ${\ displaystyle a}$.

Uma função ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$é diferenciável em${\ displaystyle a}$se o limite

${\ displaystyle f '(a) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}}}$

existe. Este limite é conhecido como derivado de${\ displaystyle f}$ no ${\ displaystyle a}$, e a função ${\ displaystyle f '}$, possivelmente definido em apenas um subconjunto de ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$, é a derivada (ou função derivada ) de ${\ displaystyle f}$. Se a derivada existe em todos os lugares, a função é dita diferenciável .

Como uma simples consequência da definição, ${\ displaystyle f}$ é contínuo em ${\ displaystyle a}$se for diferenciável lá. Diferenciabilidade é, portanto, uma condição de regularidade mais forte (condição que descreve a "suavidade" de uma função) do que continuidade, e é possível que uma função seja contínua em toda a linha real, mas não diferenciável em qualquer lugar (ver função contínua diferenciável de Weierstrass em nenhum lugar ). É possível discutir a existência de derivadas de ordem superior também, encontrando a derivada de uma função derivada, e assim por diante.

Pode-se classificar as funções por sua classe de diferenciabilidade . A classe${\ displaystyle C ^ {0}}$ (as vezes ${\ displaystyle C ^ {0} ([a, b])}$para indicar o intervalo de aplicabilidade) consiste em todas as funções contínuas. A classe${\ displaystyle C ^ {1}}$consiste em todas as funções diferenciáveis cuja derivada é contínua; tais funções são chamadas continuamente diferenciáveis . Assim, um${\ displaystyle C ^ {1}}$ função é exatamente uma função cuja derivada existe e é de classe ${\ displaystyle C ^ {0}}$. Em geral, as aulas${\ displaystyle C ^ {k}}$pode ser definido recursivamente declarando${\ displaystyle C ^ {0}}$ para ser o conjunto de todas as funções contínuas e declarando ${\ displaystyle C ^ {k}}$ para qualquer número inteiro positivo ${\ displaystyle k}$ ser o conjunto de todas as funções diferenciáveis ​​cuja derivada está em ${\ displaystyle C ^ {k-1}}$. Em particular,${\ displaystyle C ^ {k}}$ está contido em ${\ displaystyle C ^ {k-1}}$ para cada ${\ displaystyle k}$, e há exemplos que mostram que essa contenção é rígida. Aula${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ é a intersecção dos conjuntos ${\ displaystyle C ^ {k}}$ como ${\ displaystyle k}$varia em relação aos inteiros não negativos e os membros desta classe são conhecidos como funções suaves . Aula${\ displaystyle C ^ {\ omega}}$consiste em todas as funções analíticas e está estritamente contido em${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$(consulte a função de aumento para uma função suave que não é analítica).

Series

Uma série formaliza a noção imprecisa de obter a soma de uma sequência infinita de números. A ideia de que tomar a soma de um número "infinito" de termos pode levar a um resultado finito era contra-intuitivo para os gregos antigos e levou à formulação de uma série de paradoxos por Zenão e outros filósofos. A noção moderna de atribuir um valor a uma série evita lidar com a noção mal definida de adicionar um número "infinito" de termos. Em vez disso, a soma finita do primeiro${\ displaystyle n}$ termos da sequência, conhecida como soma parcial, é considerada, e o conceito de limite é aplicado à sequência de somas parciais como ${\ displaystyle n}$cresce sem limites. A série recebe o valor deste limite, se existir.

Dada uma sequência (infinita) ${\ displaystyle (a_ {n})}$, podemos definir uma série associada como o objeto matemático formal${\ textstyle a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$, às vezes simplesmente escrito como${\ textstyle \ sum a_ {n}}$. As somas parciais de uma série${\ textstyle \ sum a_ {n}}$ são os números ${\ textstyle s_ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j}}$. Uma série${\ textstyle \ sum a_ {n}}$é considerada convergente se a sequência consistindo em suas somas parciais,${\ displaystyle (s_ {n})}$, é convergente; caso contrário, é divergente . A soma de uma série convergente é definida como o número${\ textstyle s = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n}}$.