Massa

Massa
Um peso de ferro fundido de 2 kg (4,4 lb) usado para balanças
Símbolos comuns	m
Unidade SI	kg
Extensivo ?	sim
Conservado ?	sim

Parte de uma série sobre
Mecânica clássica
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Segunda lei do movimento
História Linha do tempo Livros didáticos
Galhos Aplicado Celestial Continuum Dinâmica Cinemática Cinética Statics Estatístico
Fundamentos Aceleração Momento angular Casal Princípio de D'Alembert Energia cinética potencial Força Quadro de Referência Quadro de referência inercial Impulso Inércia  / Momento de inércia Massa Poder mecânico Trabalho mecanico Momento Momentum Espaço Velocidade Tempo Torque Velocidade Trabalho virtual
Formulações Leis de movimento de Newton Mecânica analítica Mecânica Lagrangiana Mecânica hamiltoniana Mecânica rutiana Equação de Hamilton-Jacobi Equação de movimento de Appell Mecânica de Koopman-von Neumann
Tópicos centrais Taxa de amortecimento Deslocamento Equações de movimento Leis de movimento de Euler Força fictícia Atrito Oscilador harmônico Inercial  / quadro de referência não-inercial Mecânica do movimento das partículas planas Movimento  ( linear ) Lei da gravitação universal de Newton Leis de movimento de Newton Velocidade relativa Corpo rígido dinâmica Equações de Euler Movimento harmônico simples Vibração
Rotação Movimento circular Quadro de referência giratório Força centrípeta Força centrífuga reativo força de Coriolis Pêndulo Velocidade tangencial Velocidade de rotação Aceleração  / deslocamento angular  / frequência  / velocidade
Cientistas Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Categorias ► Mecânica clássica
v t e

A massa é uma propriedade de um corpo físico e uma medida de sua resistência à aceleração (taxa de variação da velocidade em relação ao tempo) quando uma força resultante é aplicada. ^[1] A massa de um objeto também determina a força de sua atração gravitacional por outros corpos.

A unidade básica de massa do SI é o quilograma (kg). Na física , massa não é o mesmo que peso , embora a massa seja freqüentemente determinada medindo o peso do objeto usando uma balança de mola , em vez de balança comparando-o diretamente com massas conhecidas. Um objeto na Lua pesaria menos do que na Terra por causa da gravidade mais baixa, mas ainda teria a mesma massa. Isso ocorre porque o peso é uma força, enquanto a massa é a propriedade que (junto com a gravidade) determina a força dessa força.

Fenômenos

Existem vários fenômenos distintos que podem ser usados ​​para medir a massa. Embora alguns teóricos tenham especulado que alguns desses fenômenos podem ser independentes uns dos outros, ^[2] os experimentos atuais não encontraram nenhuma diferença nos resultados, independentemente de como eles são medidos:

• A massa inercial mede a resistência de um objeto a ser acelerado por uma força (representada pela relação F = ma ).
• A massa gravitacional ativa determina a força do campo gravitacional gerado por um objeto.
• A massa gravitacional passiva mede a força gravitacional exercida sobre um objeto em um campo gravitacional conhecido.

A massa de um objeto determina sua aceleração na presença de uma força aplicada. A inércia e a massa inercial descrevem essa propriedade dos corpos físicos nos níveis qualitativo e quantitativo, respectivamente. De acordo com a segunda lei do movimento de Newton , se um corpo de massa fixa m é submetido a uma única força F , sua aceleração a é dada por F / m . A massa de um corpo também determina o grau em que ele é gerado e é afetado por um campo gravitacional . Se um primeiro corpo de massa m _A é colocado a uma distância r (centro de massa ao centro de massa) de um segundo corpo de massa m_B , cada corpo está sujeito a uma força atrativa F _g = Gm _A m _B / r ² , onde G =6,67 × 10 ⁻¹¹  N⋅kg ⁻² ⋅m ² é a " constante gravitacional universal". Isso às vezes é chamado de massa gravitacional. ^{[nota 1]} Experimentos repetidos desde o século 17 demonstraram que as massas inercial e gravitacional são idênticas; desde 1915, esta observação foi incorporada a priori no princípio de equivalência da relatividade geral .

Unidades de massa

A unidade de massa do Sistema Internacional de Unidades (SI) é o quilograma (kg). O quilograma é 1000 gramas (g) e foi definido pela primeira vez em 1795 como a massa de um decímetro cúbico de água no ponto de derretimento do gelo. No entanto, porque a medição precisa de um decímetro cúbico de água na temperatura e pressão especificadas era difícil, em 1889 o quilograma foi redefinido como a massa de um objeto de metal e, portanto, tornou-se independente do metro e das propriedades da água, sendo este um protótipo de cobre da sepultura em 1793, o Kilogram des Archives de platina em 1799 e o Protótipo Internacional do Quilograma de platina-irídio (IPK) em 1889.

No entanto, descobriu-se que a massa do IPK e suas cópias nacionais variam com o tempo. A redefinição do quilograma e várias outras unidades entraram em vigor em 20 de maio de 2019, após uma votação final pela CGPM em novembro de 2018. ^[3] A nova definição usa apenas quantidades invariáveis ​​da natureza: a velocidade da luz , o césio frequência hiperfina , a constante de Planck e a carga elementar . ^[4]

As unidades não SI aceitas para uso com unidades SI incluem:

• a tonelada (t) (ou "tonelada métrica"), igual a 1000 kg
• o elétron- volt (eV), uma unidade de energia , usada para expressar a massa em unidades de eV / c ² por meio da equivalência massa-energia
• o dalton (Da), igual a 1/12 da massa de um átomo de carbono-12 livre , aproximadamente1,66 × 10 ⁻²⁷  kg . ^{[nota 2]}

Fora do sistema SI, outras unidades de massa incluem:

• a lesma (sl), uma unidade imperial de massa (cerca de 14,6 kg)
• a libra (lb), uma unidade de massa (cerca de 0,45 kg), que é usada junto com a libra (força) de nome semelhante (cerca de 4,5 N), uma unidade de força ^{[nota 3]}
• a massa de Planck (cerca de2,18 × 10 ^-8  kg ), uma quantidade derivada de constantes fundamentais
• a massa solar ( M _☉ ), definida como a massa do Sol , usada principalmente em astronomia para comparar grandes massas, como estrelas ou galáxias (≈ 1,99 × 10 ³⁰  kg )
• a massa de uma partícula, conforme identificada com seu comprimento de onda Compton inverso ( 1 cm ⁻¹ ≘3,52 × 10 ⁻⁴¹  kg )
• a massa de uma estrela ou buraco negro , conforme identificado com seu raio de Schwarzschild ( 1 cm ≘6,73 × 10 ²⁴  kg ).

Definições

Na ciência física , pode-se distinguir conceitualmente entre pelo menos sete aspectos diferentes da massa , ou sete noções físicas que envolvem o conceito de massa . ^[5] Todos os experimentos até agora mostraram que esses sete valores são proporcionais e, em alguns casos, iguais, e essa proporcionalidade dá origem ao conceito abstrato de massa. Existem várias maneiras de a massa ser medida ou definida operacionalmente :

• Massa inercial é uma medida da resistência de um objeto à aceleração quando uma força é aplicada. É determinado aplicando uma força a um objeto e medindo a aceleração que resulta dessa força. Um objeto com pequena massa inercial irá acelerar mais do que um objeto com grande massa inercial quando atuado pela mesma força. Diz-se que o corpo de maior massa tem maior inércia .
• A massa gravitacional ativa ^{[nota 4]} é uma medida da força do fluxo gravitacional de um objeto (o fluxo gravitacional é igual à integral da superfície do campo gravitacional sobre uma superfície envolvente). O campo gravitacional pode ser medido permitindo que um pequeno "objeto de teste" caia livremente e medindo sua aceleração de queda livre . Por exemplo, um objeto em queda livre perto da Lua está sujeito a um campo gravitacional menor e, portanto, acelera mais lentamente do que o mesmo objeto faria se estivesse em queda livre perto da Terra. O campo gravitacional próximo à Lua é mais fraco porque a Lua tem menos massa gravitacional ativa.
• A massa gravitacional passiva é uma medida da força da interação de um objeto com um campo gravitacional . A massa gravitacional passiva é determinada dividindo o peso de um objeto por sua aceleração de queda livre. Dois objetos dentro do mesmo campo gravitacional experimentarão a mesma aceleração; entretanto, o objeto com uma massa gravitacional passiva menor experimentará uma força menor (menos peso) do que o objeto com uma massa gravitacional passiva maior.
• A energia também tem massa de acordo com o princípio da equivalência massa-energia . Essa equivalência é exemplificada em um grande número de processos físicos, incluindo produção de pares , fusão nuclear e curvatura gravitacional da luz . A produção de pares e a fusão nuclear são processos nos quais quantidades mensuráveis ​​de massa são convertidas em energia ou vice-versa. Na curvatura gravitacional da luz, os fótons de energia pura exibem um comportamento semelhante à massa gravitacional passiva.
• A curvatura do espaço - tempo é uma manifestação relativística da existência da massa. Essa curvatura é extremamente fraca e difícil de medir. Por esse motivo, a curvatura só foi descoberta depois de prevista pela teoria da relatividade geral de Einstein. Relógios atômicos extremamente precisos na superfície da Terra, por exemplo, são encontrados para medir menos tempo (funcionam mais devagar) quando comparados com relógios semelhantes no espaço. Essa diferença no tempo decorrido é uma forma de curvatura chamada dilatação do tempo gravitacional . Outras formas de curvatura foram medidas usando o satélite Gravity Probe B.
• A massa quântica se manifesta como uma diferença entre a frequência quântica de um objeto e seu número de onda . A massa quântica de uma partícula é proporcional ao comprimento de onda Compton inverso e pode ser determinada por meio de várias formas de espectroscopia . Na mecânica quântica relativística, a massa é um dos rótulos de representação irredutíveis do grupo de Poincaré.

Peso vs. massa

No uso diário, massa e " peso " são freqüentemente usados ​​alternadamente. Por exemplo, o peso de uma pessoa pode ser declarado como 75 kg. Em um campo gravitacional constante, o peso de um objeto é proporcional à sua massa, e não é problemático usar a mesma unidade para ambos os conceitos. Mas por causa de pequenas diferenças na força do campo gravitacional da Terra em diferentes lugares, a distinção torna-se importante para medições com uma precisão melhor do que alguns por cento, e para locais distantes da superfície da Terra, como no espaço ou em outro planetas. Conceitualmente, "massa" (medida em quilogramas ) se refere a uma propriedade intrínseca de um objeto, enquanto "peso" (medido em newtons) mede a resistência de um objeto em se desviar de seu curso natural de queda livre , que pode ser influenciado pelo campo gravitacional próximo. Por mais forte que seja o campo gravitacional, os objetos em queda livre não têm peso , embora ainda tenham massa. ^[6]

A força conhecida como "peso" é proporcional à massa e à aceleração em todas as situações em que a massa é acelerada desde a queda livre. Por exemplo, quando um corpo está em repouso em um campo gravitacional (ao invés de queda livre), ele deve ser acelerado por uma força de uma escala ou da superfície de um corpo planetário como a Terra ou a Lua. Essa força impede que o objeto entre em queda livre. O peso é a força oposta em tais circunstâncias e é, portanto, determinado pela aceleração da queda livre. Na superfície da Terra, por exemplo, um objeto com massa de 50 quilos pesa 491 newtons, o que significa que 491 newtons estão sendo aplicados para evitar que o objeto entre em queda livre. Em contraste, na superfície da Lua, o mesmo objeto ainda tem uma massa de 50 quilogramas, mas pesa apenas 81,5 newtons, porque apenas 81,5 newtons são necessários para evitar que esse objeto entre em queda livre na lua. Reafirmado em termos matemáticos, na superfície da Terra, o peso W de um objeto está relacionado à sua massa m por W = mg , onde g =9,80665 m / s ² é a aceleração devida ao campo gravitacional da Terra (expressa como a aceleração experimentada por um objeto em queda livre).

Para outras situações, como quando os objetos são submetidos a acelerações mecânicas de forças diferentes da resistência de uma superfície planetária, a força do peso é proporcional à massa de um objeto multiplicada pela aceleração total de queda livre, que é chamada de adequada aceleração . Por meio de tais mecanismos, objetos em elevadores, veículos, centrífugas e semelhantes podem sofrer forças de peso muitas vezes aquelas causadas pela resistência aos efeitos da gravidade em objetos, resultantes de superfícies planetárias. Nesses casos, a equação generalizada para o peso W de um objeto está relacionada à sua massa m pela equação W = - ma , onde aé a aceleração adequada do objeto causada por todas as influências além da gravidade. (Novamente, se a gravidade for a única influência, como ocorre quando um objeto cai livremente, seu peso será zero).

Massa inercial vs. gravitacional

Embora a massa inercial, a massa gravitacional passiva e a massa gravitacional ativa sejam conceitualmente distintas, nenhum experimento jamais demonstrou de forma inequívoca qualquer diferença entre elas. Na mecânica clássica , a terceira lei de Newton implica que a massa gravitacional ativa e passiva deve ser sempre idêntica (ou pelo menos proporcional), mas a teoria clássica não oferece nenhuma razão convincente para a massa gravitacional ter que ser igual à massa inercial. Isso é meramente um fato empírico.

Albert Einstein desenvolveu sua teoria geral da relatividade partindo do pressuposto de que as massas gravitacionais inerciais e passivas são as mesmas. Isso é conhecido como princípio de equivalência .

A equivalência particular freqüentemente referida como o "princípio de equivalência Galileana" ou o " princípio de equivalência fraca " tem a conseqüência mais importante para objetos em queda livre. Suponha que um objeto tenha massas inerciais e gravitacionais m e M , respectivamente. Se a única força que atua sobre o objeto vem de um campo gravitacional g , a força sobre o objeto é:

${\ displaystyle F = Mg.}$

Dada esta força, a aceleração do objeto pode ser determinada pela segunda lei de Newton:

${\ displaystyle F = ma.}$

Juntando tudo isso, a aceleração gravitacional é dada por:

uma = M m g . {\ displaystyle a = {\ frac {M} {m}} g.}

Isso diz que a razão entre a massa gravitacional e a massa inercial de qualquer objeto é igual a alguma constante K se e somente se todos os objetos caem na mesma taxa em um determinado campo gravitacional. Este fenômeno é conhecido como "universalidade da queda livre". Além disso, a constante K pode ser considerada como 1 definindo nossas unidades apropriadamente.

Os primeiros experimentos que demonstraram a universalidade da queda livre foram - de acordo com o 'folclore' científico - conduzidos por Galileu, obtidos por meio da queda de objetos da Torre Inclinada de Pisa . Isso é provavelmente apócrifo: é mais provável que ele tenha realizado seus experimentos com bolas rolando por planos inclinados quase sem atrito para diminuir o movimento e aumentar a precisão do tempo. Experimentos cada vez mais precisos têm sido realizados, como os realizados por Loránd Eötvös , ^[7] usando o pêndulo de equilíbrio de torção , em 1889. Em 2008 ^[atualizar], nenhum desvio da universalidade e, portanto, da equivalência galileana, foi encontrado, pelo menos até a precisão ^10-12. Esforços experimentais mais precisos ainda estão sendo realizados. ^{[ citação necessária ]}

A universalidade da queda livre só se aplica a sistemas nos quais a gravidade é a única força atuante. Todas as outras forças, especialmente o atrito e a resistência do ar , devem estar ausentes ou pelo menos desprezíveis. Por exemplo, se um martelo e uma pena forem lançados da mesma altura pelo ar na Terra, a pena levará muito mais tempo para chegar ao solo; a pena não está realmente em queda livre porque a força da resistência do ar para cima contra a pena é comparável à força da gravidade para baixo. Por outro lado, se o experimento for realizado no vácuo, em que não há resistência do ar, o martelo e a pena devem atingir o solo exatamente ao mesmo tempo (supondo que a aceleração de ambos os objetos um em direção ao outro, e do solo em direção a ambos os objetos, por sua vez, é desprezível) . Isso pode ser feito facilmente em um laboratório de escola secundária, jogando os objetos em tubos transparentes que têm o ar removido com uma bomba de vácuo. É ainda mais dramático quando feito em um ambiente que naturalmente tem um vácuo, como David Scott fez na superfície da Lua durante a Apollo 15 .

Uma versão mais forte do princípio de equivalência, conhecido como princípio de equivalência de Einstein ou princípio de equivalência forte , está no cerne da teoria geral da relatividade . O princípio de equivalência de Einstein afirma que, em regiões suficientemente pequenas do espaço-tempo, é impossível distinguir entre uma aceleração uniforme e um campo gravitacional uniforme. Assim, a teoria postula que a força que atua sobre um objeto massivo causada por um campo gravitacional é resultado da tendência do objeto de se mover em linha reta (ou seja, sua inércia) e, portanto, deve ser função de sua massa inercial e da força do campo gravitacional.

Origem

Na física teórica , um mecanismo de geração de massa é uma teoria que tenta explicar a origem da massa a partir das leis mais fundamentais da física . Até o momento, vários modelos diferentes foram propostos, os quais defendem diferentes visões da origem da massa. O problema é complicado pelo fato de que a noção de massa está fortemente relacionada à interação gravitacional, mas uma teoria desta última ainda não foi reconciliada com o modelo atualmente popular da física de partículas , conhecido como Modelo Padrão .

Conceitos pré-newtonianos

Peso como uma quantidade

O conceito de quantidade é muito antigo e antecede a história registrada . Os humanos, em alguma época inicial, perceberam que o peso de uma coleção de objetos semelhantes era diretamente proporcional ao número de objetos na coleção:

${\ displaystyle W_ {n} \ propto n,}$

onde W é o peso do conjunto de objectos semelhantes, e n é o número de objectos na colecção. Proporcionalidade, por definição, implica que dois valores têm uma razão constante :

${\ displaystyle {\ frac {W_ {n}} {n}} = {\ frac {W_ {m}} {m}}}$, ou equivalente ${\displaystyle {\frac {W_{n}}{W_{m}}}={\frac {n}{m}}.}$

Um dos primeiros usos dessa relação é uma escala de equilíbrio , que equilibra a força do peso de um objeto contra a força do peso de outro objeto. Os dois lados de uma escala de equilíbrio estão próximos o suficiente para que os objetos experimentem campos gravitacionais semelhantes. Portanto, se eles têm massas semelhantes, seus pesos também serão semelhantes. Isso permite que a escala, ao comparar pesos, também compare as massas.

Consequentemente, os padrões de peso históricos eram frequentemente definidos em termos de valores. Os romanos, por exemplo, usavam a semente de alfarroba ( quilate ou siliqua ) como padrão de medida. Se o peso de um objeto fosse equivalente a 1.728 sementes de alfarroba , dizia-se que o objeto pesava uma libra romana. Se, por outro lado, o peso do objeto era equivalente a 144 sementes de alfarroba , dizia-se que o objeto pesava uma onça romana (uncia). A libra e a onça romanas foram definidas em termos de coleções de tamanhos diferentes do mesmo padrão de massa comum, a semente de alfarroba. A proporção de uma onça romana (144 sementes de alfarroba) para uma libra romana (1728 sementes de alfarroba) era:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {ounce} }{\mathrm {pound} }}={\frac {W_{144}}{W_{1728}}}={\frac {144}{1728}}={\frac {1}{12}}.}$

Movimento planetário

Em 1600 DC, Johannes Kepler procurou emprego com Tycho Brahe , que tinha alguns dos dados astronômicos mais precisos disponíveis. Usando as observações precisas de Brahe do planeta Marte, Kepler passou os cinco anos seguintes desenvolvendo seu próprio método para caracterizar o movimento planetário. Em 1609, Johannes Kepler publicou suas três leis do movimento planetário, explicando como os planetas orbitam o sol. No modelo planetário final de Kepler, ele descreveu as órbitas planetárias como seguindo caminhos elípticos com o Sol em um ponto focal da elipse . Kepler descobriu que o quadrado do período orbital de cada planeta é diretamente proporcional ao cubo dosemi-eixo maior de sua órbita, ou equivalentemente, que a proporção desses dois valores é constante para todos os planetas do Sistema Solar . ^{[nota 5]}

Em 25 de agosto de 1609, Galileo Galilei demonstrou seu primeiro telescópio para um grupo de mercadores venezianos e, no início de janeiro de 1610, Galileu observou quatro objetos obscuros perto de Júpiter, que ele confundiu com estrelas. No entanto, após alguns dias de observação, Galileu percebeu que essas "estrelas" estavam de fato orbitando Júpiter. Esses quatro objetos (mais tarde chamados de luas galileanas em homenagem a seu descobridor) foram os primeiros corpos celestes observados a orbitarem algo diferente da Terra ou do Sol. Galileu continuou a observar essas luas durante os dezoito meses seguintes e, em meados de 1611, obteve estimativas notavelmente precisas para seus períodos.

Queda livre galileana

Algum tempo antes de 1638, Galileu voltou sua atenção para o fenômeno dos objetos em queda livre, tentando caracterizar esses movimentos. Galileu não foi o primeiro a investigar o campo gravitacional da Terra, nem foi o primeiro a descrever com precisão suas características fundamentais. No entanto, a confiança de Galileu na experimentação científica para estabelecer princípios físicos teria um efeito profundo nas futuras gerações de cientistas. Não está claro se esses foram apenas experimentos hipotéticos usados ​​para ilustrar um conceito, ou se foram experimentos reais realizados por Galileu, ^[8] mas os resultados obtidos com esses experimentos foram realistas e convincentes. Uma biografia do pupilo de Galileu, Vincenzo Viviani, afirmou que Galileu havia deixado cair bolasdo mesmo material, mas de massas diferentes, da Torre Inclinada de Pisa para demonstrar que seu tempo de descida foi independente de sua massa. ^{[nota 6]} Em apoio a esta conclusão, Galileu apresentou o seguinte argumento teórico: Ele perguntou se dois corpos de diferentes massas e diferentes taxas de queda são amarrados por um cordão, o sistema combinado cai mais rápido porque agora é mais massivo, ou o corpo mais leve em sua queda mais lenta retém o corpo mais pesado? A única solução convincente para essa questão é que todos os corpos devem cair na mesma proporção. ^[9]

Um experimento posterior foi descrito em Duas Novas Ciências de Galileu publicado em 1638. Um dos personagens fictícios de Galileu, Salviati, descreve um experimento usando uma bola de bronze e uma rampa de madeira. A rampa de madeira tinha "12 côvados de comprimento, meio côvado de largura e três dedos de espessura", com uma ranhura reta, lisa e polida . A ranhura era forrada com " pergaminho , também liso e polido quanto possível". E nesta ranhura foi colocada "uma bola de bronze dura, lisa e muito redonda". A rampa era inclinada em vários ângulospara diminuir a aceleração o suficiente para que o tempo decorrido pudesse ser medido. A bola foi deixada rolar uma distância conhecida descendo a rampa, e o tempo que a bola levou para se mover na distância conhecida foi medido. O tempo foi medido usando um relógio de água descrito a seguir:

“um grande vaso d'água colocado em posição elevada; ao fundo deste vaso foi soldado um cano de pequeno diâmetro dando um fino jato d'água, que coletamos em um pequeno copo durante o tempo de cada descida, seja para todo comprimento do canal ou parte de seu comprimento; a água assim coletada era pesada, após cada descida, em uma balança muito precisa; as diferenças e proporções desses pesos nos davam as diferenças e proporções dos tempos, e isso com tal precisão que, embora a operação tenha sido repetida muitas e muitas vezes, não houve discrepância apreciável nos resultados. " ^[10]

Galileu descobriu que para um objeto em queda livre, a distância que o objeto caiu é sempre proporcional ao quadrado do tempo decorrido:

${\displaystyle {\text{Distance}}\propto {{\text{Time}}^{2}}}$

Galileu mostrou que objetos em queda livre sob a influência do campo gravitacional da Terra têm uma aceleração constante, e o contemporâneo de Galileu, Johannes Kepler, mostrou que os planetas seguem caminhos elípticos sob a influência da massa gravitacional do Sol. No entanto, os movimentos de queda livre de Galileu e os movimentos planetários de Kepler permaneceram distintos durante a vida de Galileu.

Massa newtoniana

Robert Hooke publicou seu conceito de forças gravitacionais em 1674, afirmando que todos os corpos celestes têm uma atração ou poder gravitante em direção a seus próprios centros, e também atraem todos os outros corpos celestes que estão dentro da esfera de sua atividade. Ele afirmou ainda que a atração gravitacional aumenta quanto mais perto o corpo trabalhado está de seu próprio centro. ^[11] Em correspondência com Isaac Newton de 1679 e 1680, Hooke conjecturou que as forças gravitacionais poderiam diminuir de acordo com o dobro da distância entre os dois corpos. ^[12] Hooke incentivou Newton, que foi um pioneiro no desenvolvimento do cálculo, para trabalhar os detalhes matemáticos das órbitas Keplerianas para determinar se a hipótese de Hooke estava correta. As próprias investigações de Newton verificaram que Hooke estava correto, mas devido a diferenças pessoais entre os dois homens, Newton optou por não revelar isso a Hooke. Isaac Newton manteve silêncio sobre suas descobertas até 1684, quando disse a um amigo, Edmond Halley , que havia resolvido o problema das órbitas gravitacionais, mas havia extraviado a solução em seu escritório. ^[13] Depois de ser encorajado por Halley, Newton decidiu desenvolver suas idéias sobre a gravidade e publicar todas as suas descobertas. Em novembro de 1684, Isaac Newton enviou um documento para Edmund Halley, agora perdido, mas presumivelmente intitulado De motu corporum in gyrum(Latim para "Sobre o movimento dos corpos em uma órbita"). ^[14] Halley apresentou as descobertas de Newton à Royal Society of London, com a promessa de que uma apresentação mais completa se seguiria. Newton mais tarde registrou suas idéias em um conjunto de três livros, intitulado Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (latim: Princípios matemáticos da filosofia natural ). O primeiro foi recebido pela Royal Society em 28 de abril de 1685-86; a segunda em 2 de março de 1686-87; e o terceiro em 6 de abril de 1686-87. A Royal Society publicou toda a coleção de Newton às suas próprias custas em maio de 1686-87. ^{[15] : 31}

Isaac Newton preencheu a lacuna entre a massa gravitacional de Kepler e a aceleração gravitacional de Galileu, resultando na descoberta da seguinte relação que governava ambos:

${\displaystyle \mathbf {g} =-\mu {\frac {\hat {\mathbf {R} }}{|\mathbf {R} |^{2}}}}$

onde g é a aceleração aparente de um corpo conforme ele passa por uma região do espaço onde existem campos gravitacionais, μ é a massa gravitacional ( parâmetro gravitacional padrão ) do corpo causando campos gravitacionais e R é a coordenada radial (a distância entre o centros dos dois corpos).

Ao encontrar a relação exata entre a massa gravitacional de um corpo e seu campo gravitacional, Newton forneceu um segundo método para medir a massa gravitacional. A massa da Terra pode ser determinada usando o método de Kepler (da órbita da Lua da Terra) ou pode ser determinada medindo a aceleração gravitacional na superfície da Terra e multiplicando-a pelo quadrado do raio da Terra. A massa da Terra é de aproximadamente três milionésimos da massa do Sol. Até o momento, nenhum outro método preciso para medir a massa gravitacional foi descoberto. ^[16]

Bala de canhão de newton

A bala de canhão de Newton foi um experimento mental usado para preencher a lacuna entre a aceleração gravitacional de Galileu e as órbitas elípticas de Kepler. Apareceu no livro de Newton, de 1728, A Treatise of the System of the World. De acordo com o conceito de gravitação de Galileu, uma pedra caída cai com aceleração constante em direção à Terra. No entanto, Newton explica que quando uma pedra é atirada horizontalmente (ou seja, lateralmente ou perpendicular à gravidade da Terra), ela segue um caminho curvo. "Pois uma pedra projetada é forçada pela pressão de seu próprio peso para fora do caminho retilíneo, que apenas pela projeção ela deveria ter seguido, e feito para descrever uma linha curva no ar; e por esse caminho tortuoso é finalmente trazido para o chão. E quanto maior a velocidade com a qual ele é projetado, mais longe ele vai antes de cair na Terra. " ^{[15] : 513}Newton argumenta ainda que se um objeto fosse "projetado em uma direção horizontal do topo de uma alta montanha" com velocidade suficiente ", ele alcançaria finalmente muito além da circunferência da Terra e retornaria à montanha da qual foi projetado . " ^{[ citação necessária ]}

Massa gravitacional universal

Em contraste com as teorias anteriores (por exemplo, esferas celestes ), que afirmavam que os céus eram feitos de material totalmente diferente, a teoria da massa de Newton foi inovadora em parte porque introduziu a massa gravitacional universal : todo objeto tem massa gravitacional e, portanto, todo objeto gera uma massa gravitacional campo. Newton assumiu ainda que a força do campo gravitacional de cada objeto diminuiria de acordo com o quadrado da distância até aquele objeto. Se uma grande coleção de pequenos objetos fosse formada em um corpo esférico gigante, como a Terra ou o Sol, Newton calculou que a coleção criaria um campo gravitacional proporcional à massa total do corpo, ^{[15] : 397}e inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro do corpo. ^{[15] : 221 [nota 7]}

Por exemplo, de acordo com a teoria da gravitação universal de Newton, cada semente de alfarroba produz um campo gravitacional. Portanto, se alguém fosse reunir um imenso número de sementes de alfarroba e transformá-las em uma esfera enorme, então o campo gravitacional da esfera seria proporcional ao número de sementes de alfarroba na esfera. Portanto, deveria ser teoricamente possível determinar o número exato de sementes de alfarroba que seriam necessárias para produzir um campo gravitacional semelhante ao da Terra ou do Sol. Na verdade, por conversão de unidade é uma simples questão de abstração perceber que qualquer unidade de massa tradicional pode, teoricamente, ser usada para medir a massa gravitacional.

Medir a massa gravitacional em termos de unidades de massa tradicionais é simples em princípio, mas extremamente difícil na prática. De acordo com a teoria de Newton, todos os objetos produzem campos gravitacionais e é teoricamente possível coletar um imenso número de pequenos objetos e transformá-los em uma enorme esfera gravitante. No entanto, do ponto de vista prático, os campos gravitacionais de pequenos objetos são extremamente fracos e difíceis de medir. Os livros de Newton sobre gravitação universal foram publicados na década de 1680, mas a primeira medição bem-sucedida da massa da Terra em termos de unidades de massa tradicionais, o experimento Cavendish , não ocorreu até 1797, mais de cem anos depois. Henry Cavendishdescobriram que a densidade da Terra era 5,448 ± 0,033 vezes a da água. Em 2009, a massa da Terra em quilogramas era conhecida apenas por cerca de cinco dígitos de precisão, enquanto sua massa gravitacional era conhecida por mais de nove algarismos significativos. ^{[ esclarecimento necessário ]}

Dados dois objetos A e B, de massas M _A e M _B , separados por um deslocamento R _AB , a lei da gravitação de Newton afirma que cada objeto exerce uma força gravitacional sobre o outro, de magnitude

${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{AB}}=-GM_{\text{A}}M_{\text{B}}{\frac {{\hat {\mathbf {R} }}_{\text{AB}}}{|\mathbf {R} _{\text{AB}}|^{2}}}\ }$,

onde G é a constante gravitacional universal . A afirmação acima pode ser reformulada da seguinte maneira: se g é a magnitude em um determinado local em um campo gravitacional, então a força gravitacional em um objeto com massa gravitacional M é

${\displaystyle F=Mg}$.

Esta é a base pela qual as massas são determinadas por pesagem . Em balanças de molas simples , por exemplo, a força F é proporcional ao deslocamento da mola sob o prato de pesagem, conforme a lei de Hooke , e as balanças são calibradas para levar em conta g , permitindo a leitura da massa M. Assumindo que o campo gravitacional é equivalente em ambos os lados da balança, uma balança mede o peso relativo, fornecendo a massa gravitacional relativa de cada objeto.

Massa inercial

Massa inercial é a massa de um objeto medida por sua resistência à aceleração. Esta definição foi defendida por Ernst Mach ^{[17] [18]} e desde então foi desenvolvida na noção de operacionalismo por Percy W. Bridgman . ^{[19] [20]} A definição da mecânica clássica simples de massa é ligeiramente diferente da definição na teoria da relatividade especial , mas o significado essencial é o mesmo.

Na mecânica clássica, de acordo com a segunda lei de Newton , dizemos que um corpo tem massa m se, em qualquer instante do tempo, obedece à equação do movimento.

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$

onde F é a força resultante agindo sobre o corpo e a é a aceleração do centro de massa do corpo. ^{[nota 8]} Por enquanto, deixaremos de lado a questão do que realmente significa "força agindo sobre o corpo".

Esta equação ilustra como a massa se relaciona com a inércia de um corpo. Considere dois objetos com massas diferentes. Se aplicarmos uma força idêntica a cada um, o objeto com uma massa maior experimentará uma aceleração menor, e o objeto com uma massa menor experimentará uma aceleração maior. Podemos dizer que a massa maior exerce uma "resistência" maior para mudar seu estado de movimento em resposta à força.

No entanto, essa noção de aplicar forças "idênticas" a objetos diferentes nos traz de volta ao fato de que não definimos realmente o que é uma força. Podemos contornar essa dificuldade com a ajuda da terceira lei de Newton , que afirma que, se um objeto exercer uma força sobre um segundo objeto, ele experimentará uma força igual e oposta. Para ser mais preciso, suponhamos que tem dois objectos de massas de incia constantes m ₁ e m ₂ . Isolamos os dois objetos de todas as outras influências físicas, de modo que as únicas forças presentes são a força exercida em m ₁ por m ₂ , que denotamos F ₁₂ , e a força exercida em m ₂por m ₁ , que denotamos F ₂₁ . A segunda lei de Newton afirma que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F_{12}} &=m_{1}\mathbf {a} _{1},\\\mathbf {F_{21}} &=m_{2}\mathbf {a} _{2},\end{aligned}}}$

onde um ₁ e um ₂ são as acelerações de m ₁ e m ₂ , respectivamente. Suponha que essas acelerações sejam diferentes de zero, de modo que as forças entre os dois objetos sejam diferentes de zero. Isso ocorre, por exemplo, se os dois objetos estão em processo de colisão um com o outro. A terceira lei de Newton afirma que

F 12 = − F 21 ; {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21};}

e assim

${\displaystyle m_{1}=m_{2}{\frac {|\mathbf {a} _{2}|}{|\mathbf {a} _{1}|}}\!.}$

If | a ₁ | é diferente de zero, a fração é bem definida, o que nos permite medir a massa inercial de m ₁ . Nesse caso, m ₂ é nosso objeto de "referência" e podemos definir sua massa m como (digamos) 1 quilograma. Então, podemos medir a massa de qualquer outro objeto no universo colidindo-o com o objeto de referência e medindo as acelerações.

Além disso, a massa relaciona o momento p de um corpo à sua velocidade linear v :

p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } ,

e a energia cinética do corpo K para sua velocidade:

K = 1 2 m | v | 2 {\displaystyle K={\dfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}} .

A principal dificuldade com a definição de massa de Mach é que ela falha em levar em consideração a energia potencial (ou energia de ligação ) necessária para trazer duas massas suficientemente próximas uma da outra para realizar a medição da massa. ^[18] Isso é demonstrado de forma mais vívida comparando a massa do próton no núcleo do deutério com a massa do próton no espaço livre (que é maior em cerca de 0,239% - isso se deve à energia de ligação do deutério). Assim, por exemplo, se o peso de referência m ₂é considerada a massa do nêutron no espaço livre, e as acelerações relativas para o próton e nêutron no deutério são calculadas, então a fórmula acima superestima a massa m ₁ (em 0,239%) para o próton no deutério. Na melhor das hipóteses, a fórmula de Mach só pode ser usada para obter razões de massas, ou seja, como m ₁  /  m ₂ = | a ₂ | / | a ₁ |. Uma dificuldade adicional foi apontada por Henri Poincaré, que é que a medição da aceleração instantânea é impossível: ao contrário da medição do tempo ou da distância, não há como medir a aceleração com uma única medição; deve-se fazer várias medições (de posição, tempo, etc.) e realizar um cálculo para obter a aceleração. Poincaré definiu isso como uma "falha intransponível" na definição de massa de Mach. ^[21]

Massas atômicas

Normalmente, a massa dos objetos é medida em termos de quilograma, que desde 2019 é definido em termos de constantes fundamentais da natureza. A massa de um átomo ou outra partícula pode ser comparada de forma mais precisa e conveniente à de outro átomo, e assim os cientistas desenvolveram o dalton (também conhecido como unidade de massa atômica unificada). Por definição, 1 Da (um dalton ) é exatamente um duodécimo da massa de um átomo de carbono-12 e, portanto, um átomo de carbono-12 tem uma massa de exatamente 12 Da.

Na relatividade

Relatividade especial

Em algumas estruturas da relatividade especial , os físicos usaram diferentes definições do termo. Nessas estruturas, dois tipos de massa são definidos: massa de repouso ( massa invariante), ^{[nota 9]} e massa relativística (que aumenta com a velocidade). A massa de repouso é a massa newtoniana medida por um observador que se move junto com o objeto. Massa relativística é a quantidade total de energia em um corpo ou sistema dividido por c ² . Os dois estão relacionados pela seguinte equação:

${\displaystyle m_{\mathrm {relative} }=\gamma (m_{\mathrm {rest} })\!}$

onde está o fator de Lorentz :${\displaystyle \gamma }$

γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}

A massa invariante dos sistemas é a mesma para observadores em todos os referenciais inerciais, enquanto a massa relativística depende do referencial do observador . Para formular as equações da física de modo que os valores de massa não mudem entre os observadores, é conveniente usar a massa de repouso. A massa de repouso de um corpo também está relacionada à sua energia E e à magnitude de seu momento p pela equação relativística de energia-momento :

( m r e s t ) c 2 = E t o t a l 2 − ( | p | c ) 2 . {\displaystyle (m_{\mathrm {rest} })c^{2}={\sqrt {E_{\mathrm {total} }^{2}-(|\mathbf {p} |c)^{2}}}.\!}

Enquanto o sistema estiver fechado em relação à massa e energia, os dois tipos de massa são conservados em qualquer sistema de referência. A conservação da massa se mantém mesmo quando alguns tipos de partículas são convertidos em outros. Partículas de matéria (como átomos) podem ser convertidas em partículas não-materiais (como fótons de luz), mas isso não afeta a quantidade total de massa ou energia. Embora coisas como o calor possam não ser matéria, todos os tipos de energia continuam a exibir massa. ^{[nota 10] [22]} Assim, massa e energia não se transformam na relatividade; antes, ambos são nomes para a mesma coisa, e nem massa nem energia aparecem sem a outra.

Tanto a massa de repouso quanto a massa relativística podem ser expressas como uma energia aplicando-se a conhecida relação E  = mc 2 , gerando energia de repouso e "energia relativística" (energia total do sistema), respectivamente:

E r e s t = ( m r e s t ) c 2 {\displaystyle E_{\mathrm {rest} }=(m_{\mathrm {rest} })c^{2}\!}

E t o t a l = ( m r e l a t i v e ) c 2 {\displaystyle E_{\mathrm {total} }=(m_{\mathrm {relative} })c^{2}\!}

Os conceitos "relativísticos" de massa e energia estão relacionados às suas contrapartes de "repouso", mas não têm o mesmo valor que suas contrapartes de repouso em sistemas onde há um momento líquido. Como a massa relativística é proporcional à energia , ela gradualmente caiu em desuso entre os físicos. ^[23] Há desacordo sobre se o conceito permanece útil pedagogicamente . ^{[24] [25] [26]}

Em sistemas ligados, a energia de ligação deve frequentemente ser subtraída da massa do sistema não ligado, porque a energia de ligação geralmente deixa o sistema no momento em que é ligado. A massa do sistema muda neste processo simplesmente porque o sistema não foi fechado durante o processo de ligação, então a energia escapou. Por exemplo, a energia de ligação dos núcleos atômicos é freqüentemente perdida na forma de raios gama quando os núcleos são formados, deixando nuclídeos com menos massa do que as partículas livres ( núcleons ) de que são compostos.

A equivalência massa-energia também é válida em sistemas macroscópicos. ^[27] Por exemplo, se alguém pega exatamente um quilograma de gelo e aplica calor, a massa da água derretida resultante será maior do que um quilograma: incluirá a massa da energia térmica ( calor latente ) usada para derreter o gelo; isso decorre da conservação de energia . ^[28] Este número é pequeno, mas não desprezível: cerca de 3,7 nanogramas. É dado pelo calor latente do gelo derretido (334 kJ / kg) dividido pela velocidade da luz ao quadrado ( c ² ≈9 × 10 ¹⁶  m ² / s ² ).

Relatividade geral

Na relatividade geral , o princípio de equivalência é a equivalência da massa gravitacional e inercial . No cerne desta afirmação está a ideia de Albert Einstein de que a força gravitacional experimentada localmente enquanto está em um corpo maciço (como a Terra) é a mesma que a pseudo-força experimentada por um observador em um ambiente não inercial (ou seja, acelerado) quadro de Referência.

No entanto, verifica-se que é impossível encontrar uma definição geral objetiva para o conceito de massa invariante na relatividade geral. No cerne do problema está a não linearidade das equações do campo de Einstein , tornando impossível escrever a energia do campo gravitacional como parte do tensor tensão-energia de uma forma que seja invariável para todos os observadores. Para um determinado observador, isso pode ser alcançado pelo pseudotensor tensão-energia-momento . ^[29]

Na física quântica

Na mecânica clássica , a massa inerte de uma partícula aparece na equação de Euler-Lagrange como um parâmetro m :

d d t   ( ∂ L ∂ x ˙ i )   =   m x ¨ i {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ =\ m\,{\ddot {x}}_{i}} .

Após a quantização, substituindo o vetor posição x por uma função de onda , o parâmetro m aparece no operador de energia cinética :

i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) ) Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right)\Psi (\mathbf {r} ,\,t)} .

Na equação de Dirac ostensivamente covariante (invariante relativisticamente) , e em unidades naturais , isso se torna:

( − i γ μ ∂ μ + m ) ψ = 0 {\displaystyle (-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\psi =0\,}

onde o parâmetro de " massa " m agora é simplesmente uma constante associada ao quantum descrito pela função de onda ψ.

No modelo padrão da física de partículas desenvolvido na década de 1960, esse termo surge do acoplamento do campo ψ a um campo adicional Φ, o campo de Higgs . No caso dos férmions, o mecanismo de Higgs resulta na substituição do termo m ψ no Lagrangeano por . Isso muda o explanandum do valor da massa de cada partícula elementar para o valor da constante de acoplamento desconhecida G _ψ .${\displaystyle G_{\psi }{\overline {\psi }}\phi \psi }$

Partículas taquiônicas e massa imaginária (complexa)

Um campo taquiônico , ou simplesmente tachyon , é um campo quântico com uma massa imaginária . ^[30] Embora os táquions ( partículas que se movem mais rápido que a luz ) sejam um conceito puramente hipotético que geralmente não existe, ^{[30] [31]} campos com massa imaginária passaram a desempenhar um papel importante na física moderna ^{[32] [33] [34]} e são discutidos em livros populares de física. ^{[30] [35]}Sob nenhuma circunstância as excitações se propagam mais rápido do que a luz em tais teorias - a presença ou ausência de uma massa taquiônica não tem efeito algum sobre a velocidade máxima dos sinais (não há violação de causalidade ). ^[36] Embora o campo possa ter massa imaginária, quaisquer partículas físicas não têm; a "massa imaginária" mostra que o sistema se torna instável e elimina a instabilidade ao passar por um tipo de transição de fase chamada condensação de tachyon (intimamente relacionada às transições de fase de segunda ordem) que resulta na quebra de simetria nos modelos atuais da física de partículas .

O termo " tachyon " foi cunhado por Gerald Feinberg em um artigo de 1967, ^[37] mas logo se percebeu que o modelo de Feinberg de fato não permitia velocidades superluminais . ^[36] Em vez disso, a massa imaginária cria uma instabilidade na configuração: - qualquer configuração na qual uma ou mais excitações de campo são taquiônicas decairá espontaneamente, e a configuração resultante não contém táquions físicos. Este processo é conhecido como condensação de táquions. Exemplos bem conhecidos incluem a condensação do bóson de Higgs na física de partículas e o ferromagnetismo na física da matéria condensada .

Embora a noção de uma massa imaginária taquiônica possa parecer preocupante porque não há uma interpretação clássica de uma massa imaginária, a massa não é quantizada. Em vez disso, o campo escalar é; mesmo para campos quânticos taquiônicos , os operadores de campo em pontos separados como espaços ainda comutam (ou anticomutadores) , preservando assim a causalidade. Portanto, a informação ainda não se propaga mais rápido do que a luz, ^[37] e as soluções crescem exponencialmente, mas não superluminalmente (não há violação da causalidade ). Condensação de Tachyonconduz um sistema físico que atingiu um limite local e pode-se ingenuamente esperar que produza tachyons físicos, a um estado estável alternativo onde não existem tachyons físicos. Uma vez que o campo taquiônico atinge o mínimo do potencial, seus quanta não são mais táquions, mas sim partículas comuns com uma massa quadrada positiva. ^[38]

Este é um caso especial da regra geral, em que partículas massivas instáveis ​​são formalmente descritas como tendo uma massa complexa , com a parte real sendo sua massa no sentido usual, e a parte imaginária sendo a taxa de decaimento em unidades naturais . ^[38] No entanto, na teoria quântica de campos , uma partícula (um "estado de uma partícula") é aproximadamente definida como um estado que é constante ao longo do tempo; ou seja, um autovalor do hamiltoniano . Uma partícula instávelé um estado que é apenas aproximadamente constante ao longo do tempo; Se existir o tempo suficiente para ser medido, pode ser formalmente descrito como tendo uma massa complexa, com a parte real da massa maior do que sua parte imaginária. Se ambas as partes são da mesma magnitude, isso é interpretado como uma ressonância aparecendo em um processo de espalhamento ao invés de uma partícula, pois é considerada não existir por tempo suficiente para ser medida independentemente do processo de espalhamento. No caso de um tachyon, a parte real da massa é zero e, portanto, nenhum conceito de partícula pode ser atribuído a ele.

Em uma teoria invariante de Lorentz , as mesmas fórmulas que se aplicam a partículas comuns mais lentas que a luz (às vezes chamadas de " bradyons " em discussões sobre tachyons) também devem ser aplicadas a tachyons. Em particular, a relação energia-momento :

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\;}$

(onde p é o momento relativístico do bradyon e m é sua massa de repouso ) ainda deve se aplicar, junto com a fórmula para a energia total de uma partícula:

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Esta equação mostra que a energia total de uma partícula (bradyon ou tachyon) contém uma contribuição de sua massa de repouso (a "massa-energia de repouso") e uma contribuição de seu movimento, a energia cinética. Quando v é maior que c , o denominador na equação da energia é "imaginário" , pois o valor sob o radical é negativo. Como a energia total deve ser real , o numerador também deve ser imaginário: isto é, a massa restante m deve ser imaginária, pois um número imaginário puro dividido por outro número imaginário puro é um número real.

Veja também

• Massa versus peso
• Massa efetiva (sistema de massa-mola)
• Massa efetiva (física do estado sólido)
• Extensão (metafísica)
• Sistema Internacional de Quantidades
• 2019 redefinição de unidades de base SI

Notas

Referências

links externos

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O Wikisource contém o texto do artigo " Mass " do The New Student's Reference Work .

• Francisco Flores (6 de fevereiro de 2012). "A Equivalência de Massa e Energia" . Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Gordon Kane (27 de junho de 2005). “Os Mistérios da Missa” . Scientific American . Arquivado do original em 10 de outubro de 2007.
• LB Okun (2002). "Fótons, relógios, gravidade e o conceito de massa". Nuclear Physics B: Proceedings Supplements . 110 : 151–155. arXiv : física / 0111134 . Bibcode : 2002NuPhS.110..151O . doi : 10.1016 / S0920-5632 (02) 01472-X . S2CID  16733517 .
• Frank Wilczek (13 de maio de 2001). "A origem da massa e a fraqueza da gravidade" (vídeo). Vídeo do MIT.
• John Baez ; et al. (2012). "A massa muda com a velocidade?" .
• John Baez ; et al. (2008). "Qual é a massa de um fóton?" .
• David R. Williams (12 de fevereiro de 2008). "A queda do martelo-pena da Apollo 15" . NASA.