Variedade pseudo-riemanniana

Manifolds

Na geometria diferencial , uma variedade diferenciável é um espaço localmente semelhante a um espaço euclidiano . Em um espaço euclidiano n- dimensional, qualquer ponto pode ser especificado por n números reais. Essas são chamadas de coordenadas do ponto.

Uma variedade diferenciável n- dimensional é uma generalização do espaço euclidiano n- dimensional. Em um manifold, só pode ser possível definir as coordenadas localmente . Isso é obtido definindo patches de coordenadas : subconjuntos da variedade que podem ser mapeados no espaço euclidiano n- dimensional.

Consulte Manifold , manifold diferenciável , patch de coordenada para obter mais detalhes.

Espaços tangentes e tensores métricos

Associado a cada ponto ${\ displaystyle p}$ em um ${\ displaystyle n}$variedade diferenciável dimensional ${\ displaystyle M}$é um espaço tangente (denotado${\ displaystyle T_ {p} M}$) Isto é um${\ displaystyle n}$espaço vetorial dimensional cujos elementos podem ser pensados ​​como classes de equivalência de curvas que passam pelo ponto${\ displaystyle p}$.

Um tensor métrico é um mapa não degenerado , suave, simétrico e bilinear que atribui um número real a pares de vetores tangentes em cada espaço tangente da variedade. Denotando o tensor métrico por${\ displaystyle g}$ podemos expressar isso como

${\ displaystyle g: T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to \ mathbb {R}.}$

O mapa é simétrico e bilinear, então se ${\ displaystyle X, Y, Z \ in T_ {p} M}$ são vetores tangentes em um ponto ${\ displaystyle p}$ para o múltiplo ${\ displaystyle M}$ então nós temos

• ${\ displaystyle \, g (X, Y) = g (Y, X)}$
• ${\ displaystyle \, g (aX + Y, Z) = ag (X, Z) + g (Y, Z)}$

para qualquer número real ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$.

Que ${\ displaystyle g}$é não degenerado significa que não há nenhum diferente de zero${\ displaystyle X \ in T_ {p} M}$ de tal modo que ${\ displaystyle \, g (X, Y) = 0}$ para todos ${\ displaystyle Y \ in T_ {p} M}$.

Assinaturas métricas

Dado um tensor métrico g em uma variedade real n- dimensional, a forma quadrática q ( x ) = g ( x , x ) associada ao tensor métrico aplicado a cada vetor de qualquer base ortogonal produz n valores reais. Pela lei da inércia de Sylvester , o número de cada valor positivo, negativo e zero produzido dessa maneira são invariantes do tensor métrico, independente da escolha da base ortogonal. A assinatura ( p , q , r ) do tensor métrico fornece esses números, mostrados na mesma ordem. Um tensor métrico não degenerado tem r = 0 e a assinatura pode ser denotada ( p , q ), onde p + q = n .

Uma variedade pseudo-Riemanniana ${\ displaystyle (M, g)}$é uma variedade diferenciável ${\ displaystyle M}$equipado com um tensor métrico simétrico liso e não degenerado em todos os lugares ${\ displaystyle g}$.

Essa métrica é chamada de métrica pseudo-Riemanniana . Aplicado a um campo vetorial, o valor do campo escalar resultante em qualquer ponto da variedade pode ser positivo, negativo ou zero.

A assinatura de uma métrica pseudo-Riemanniana é ( p ,  q ) , onde p e q são não negativos. A condição de não degenerescência junto com a continuidade implica que p e q permanecem inalterados em toda a variedade (assumindo que ela esteja conectada).

Assim como o espaço euclidiano ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$pode ser pensado como o modelo de variedade Riemanniana , espaço de Minkowski ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1,1}}$com a métrica plana de Minkowski está a variedade Lorentziana do modelo. Da mesma forma, o espaço do modelo para uma variedade pseudo-Riemanniana de assinatura ( p ,  q ) é${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q}}$ com a métrica

${\ displaystyle g = dx_ {1} ^ {2} + \ cdots + dx_ {p} ^ {2} -dx_ {p + 1} ^ {2} - \ cdots -dx_ {p + q} ^ {2} }$

Alguns teoremas básicos da geometria Riemanniana podem ser generalizados para o caso pseudo-Riemanniano. Em particular, o teorema fundamental da geometria Riemanniana é verdadeiro para variedades pseudo-Riemannianas também. Isso permite falar da conexão Levi-Civita em uma variedade pseudo-Riemanniana junto com o tensor de curvatura associado . Por outro lado, existem muitos teoremas na geometria Riemanniana que não são válidos no caso generalizado. Por exemplo, é não verdade que cada colector suave admite uma métrica pseudo-Riemannianos de uma dada assinatura; existem certas obstruções topológicas . Além disso, uma subvariedade nem sempre herda a estrutura de uma variedade pseudo-Riemanniana; por exemplo, o tensor métrico torna-se zero em qualquer curva semelhante a luz . O toro de Clifton-Pohl fornece um exemplo de uma variedade pseudo-Riemanniana que é compacta, mas não completa, uma combinação de propriedades que o teorema de Hopf-Rinow não permite para variedades Riemannianas. ^[3]

• Condições de causalidade
• Variedade globalmente hiperbólica
• Equação diferencial parcial hiperbólica
• Variedade orientável
• Espaço-tempo

• Benn, IM; Tucker, RW (1987), Uma introdução a Spinors and Geometry with Applications in Physics (publicado pela primeira vez na edição de 1987), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3
• Bispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Chen, Bang-Yen (2011), Pseudo-Riemannian Geometry, [delta] -invariants and Applications , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
• O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity , Pure and Applied Mathematics, 103 , Academic Press, ISBN 9780080570570
• Vrănceanu, G .; Roşca, R. (1976), Introdução à Relatividade e Geometria Pseudo-Riemanniana , Bucareste: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

• Mídia relacionada às variedades Lorentzianas no Wikimedia Commons