Função logística

Uma função logística ou curva logística é uma curva em forma de S comum ( curva sigmóide ) com equação

Função sigmóide logística padrão onde

{\ displaystyle L = 1, k = 1, x_ {0} = 0}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {L} {1 + e ^ {- k (x-x_ {0})}}},}

Onde

{\ displaystyle x_ {0}}

, a

{\ displaystyle x}

valor do ponto médio do sigmóide;

{\ displaystyle L}

, o valor máximo da curva;

{\ displaystyle k}

, a taxa de crescimento logístico ou inclinação da curva. ^[1]

Para valores de ${\ displaystyle x}$ no domínio dos números reais de ${\ displaystyle - \ infty}$ para ${\ displaystyle + \ infty}$ , a curva S mostrada à direita é obtida, com o gráfico de ${\ displaystyle f}$ Aproximando ${\ displaystyle L}$ como ${\ displaystyle x}$ aproximações ${\ displaystyle + \ infty}$ e se aproximando de zero como ${\ displaystyle x}$ aproximações ${\ displaystyle - \ infty}$ .

A função logística encontra aplicações em uma variedade de campos, incluindo biologia (especialmente ecologia ), biomatemática , química , demografia , economia , geociência , psicologia matemática , probabilidade , sociologia , ciência política , linguística , estatística e redes neurais artificiais . A generalização da função logística é a função hyperbolastic do tipo I .

História

Imagem original de uma curva logística, contrastada com uma curva logarítmica

A função logística foi introduzida em uma série de três artigos de Pierre François Verhulst entre 1838 e 1847, que a idealizou como um modelo de crescimento populacional por meio do ajuste do modelo de crescimento exponencial , sob a orientação de Adolphe Quetelet . ^[2] Verhulst concebeu a função pela primeira vez em meados da década de 1830, publicando uma breve nota em 1838, ^[1] então apresentou uma análise expandida e nomeou a função em 1844 (publicado em 1845); ^[a]^[3] o terceiro artigo ajustou o termo de correção em seu modelo de crescimento da população belga. ^[4]

O estágio inicial de crescimento é aproximadamente exponencial (geométrico); então, quando a saturação começa, o crescimento desacelera para linear (aritmética) e, na maturidade, o crescimento para. Verhulst não explicou a escolha do termo "logístico" (francês: logistique ), mas é presumivelmente em contraste com a curva logarítmica , ^[5]^[b] e por analogia com aritmética e geométrica. Seu modelo de crescimento é precedido por uma discussão de crescimento aritmético e crescimento geométrico (cuja curva ele chama de curva logarítmica , em vez do termo moderno curva exponencial ) e, portanto, "crescimento logístico" é presumivelmente denominado por analogia, logístico sendo do grego antigo : λογῐστῐκός , romanizado : logistikós , uma divisão tradicional da matemática grega . ^[c] O termo não está relacionado com o termo militar e de gestão logística , que em vez disso vem do francês : logis "alojamentos", embora alguns acreditem que o termo grego também influenciou a logística ; consulte Logística § Origem para obter detalhes.

Propriedades matemáticas

O função logística padrão é a função logística com parâmetros ${\ displaystyle k = 1}$ , ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ , ${\ displaystyle L = 1}$ , que produz

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {x}} {e ^ {x} +1}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right).}

Na prática, devido à natureza da função exponencial ${\ displaystyle e ^ {- x}}$ , muitas vezes é suficiente calcular a função logística padrão para ${\ displaystyle x}$ em uma pequena faixa de números reais, como uma faixa contida em [−6, +6], pois converge rapidamente para muito perto de seus valores de saturação de 0 e 1.

A função logística tem a propriedade de simetria que

{\ displaystyle 1-f (x) = f (-x).}

Desse modo, ${\ displaystyle x \ mapsto f (x) -1/2}$ é uma função estranha .

A função logística é uma função tangente hiperbólica escalonada e compensada :

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right),}

ou

{\ displaystyle \ tanh (x) = 2f (2x) -1.}

Isso segue de

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ tanh (x) & = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = { \ frac {e ^ {x} \ cdot \ left (1-e ^ {- 2x} \ right)} {e ^ {x} \ cdot \ left (1 + e ^ {- 2x} \ right)}} \ \ & = f (2x) - {\ frac {e ^ {- 2x}} {1 + e ^ {- 2x}}} = f (2x) - {\ frac {e ^ {- 2x} + 1-1 } {1 + e ^ {- 2x}}} = 2f (2x) -1. \ End {alinhado}}}

Derivado

A função logística padrão tem uma derivada facilmente calculada . A derivada é conhecida como distribuição logística :

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {x}} {1 + e ^ {x}}},}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f (x) = {\ frac {e ^ {x} \ cdot (1 + e ^ {x}) - e ^ {x} \ cdot e ^ {x}} {(1 + e ^ {x}) ^ {2}}} = {\ frac {e ^ {x}} {(1 + e ^ {x}) ^ { 2}}} = f (x) {\ big (} 1-f (x) {\ big)}}

Integrante

Por outro lado, sua antiderivada pode ser calculada pela substituição ${\ displaystyle u = 1 + e ^ {x}}$ , Desde a ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {e ^ {x}} {1 + e ^ {x}}} = {\ frac {u '} {u}}}$ , então (eliminando a constante de integração )

{\ displaystyle \ int {\ frac {e ^ {x}} {1 + e ^ {x}}} \, dx = \ int {\ frac {1} {u}} \, du = \ ln u = \ ln (1 + e ^ {x}).}

Em redes neurais artificiais , isso é conhecido como função softplus e (com escalonamento) é uma aproximação suave da função de rampa , assim como a função logística (com escalonamento) é uma aproximação suave da função escalonada de Heaviside .

Equação diferencial logística

A função logística padrão é a solução da equação diferencial ordinária não linear simples de primeira ordem

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} f (x) = f (x) {\ big (} 1-f (x) {\ big)}}

com condição de limite ${\ displaystyle f (0) = 1/2}$ . Esta equação é a versão contínua do mapa logístico . Observe que a função logística recíproca é a solução para uma simples equação diferencial ordinária linear de primeira ordem . ^[6]

O comportamento qualitativo é facilmente compreendido em termos da linha de fase : a derivada é 0 quando a função é 1; e a derivada é positiva para ${\ displaystyle f}$ entre 0 e 1, e negativo para ${\ displaystyle f}$ acima de 1 ou menor que 0 (embora as populações negativas geralmente não estejam de acordo com um modelo físico). Isso produz um equilíbrio instável em 0 e um equilíbrio estável em 1 e, portanto, para qualquer valor de função maior que 0 e menor que 1, ele cresce para 1.

A equação logística é um caso especial da equação diferencial de Bernoulli e tem a seguinte solução:

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {e ^ {x}} {e ^ {x} + C}}.}

Escolhendo a constante de integração ${\ displaystyle C = 1}$ dá a outra forma bem conhecida de definição da curva logística:

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {e ^ {x}} {e ^ {x} +1}} = {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}}.}

Mais quantitativamente, como pode ser visto a partir da solução analítica, a curva logística mostra o crescimento exponencial inicial para o argumento negativo, que desacelera para o crescimento linear da inclinação 1/4 para um argumento próximo a 0, então se aproxima de 1 com uma lacuna exponencialmente decrescente.

A função logística é o inverso da função logit natural e, portanto, pode ser usada para converter o logaritmo das probabilidades em probabilidade . Em notação matemática, a função logística é algumas vezes escrita como expit ^[7] da mesma forma que logit . A conversão da razão de verossimilhança logarítmica de duas alternativas também assume a forma de uma curva logística.

A equação diferencial derivada acima é um caso especial de uma equação diferencial geral que apenas modela a função sigmóide para ${\ displaystyle x> 0}$ . Em muitas aplicações de modelagem, a forma mais geral ^[8]

{\ displaystyle {\ frac {df (x)} {dx}} = {\ frac {k} {a}} f (x) {\ big (} af (x) {\ big)}, \ quad f ( 0) = a / (1 + e ^ {kr})}

pode ser desejável. Sua solução é o sigmóide deslocado e escalado ${\ displaystyle aS {\ big (} k (xr) {\ big)}}$ .

A relação hiperbólica-tangente leva a outra forma de derivada da função logística:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} f (x) = {\ frac {1} {4}} \ operatorname {sech} ^ {2} \ left ({\ frac {x} {2}} \direito),}

que vincula a função logística à distribuição logística .

Simetria rotacional sobre (0, 1/2)

A soma da função logística e seu reflexo sobre o eixo vertical, ${\ displaystyle f (-x)}$ , é

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + e ^ {- x}}} + {\ frac {1} {1 + e ^ {- (- x)}}} = {\ frac {e ^ {x }} {e ^ {x} +1}} + {\ frac {1} {e ^ {x} +1}} = 1.}

A função logística é, portanto, rotacionalmente simétrica em relação ao ponto (0, 1/2). ^[9]

Formulários

Link ^[10] criou uma extensão da teoria de análise sequencial de Wald para uma acumulação livre de distribuição de variáveis aleatórias até que um limite positivo ou negativo seja primeiro igualado ou excedido. Link ^[11] deriva a probabilidade de primeiro igualar ou exceder o limite positivo como ${\ displaystyle (1 + e ^ {- \ theta A})}$ , a função Logística. Esta é a primeira prova de que a função Logística pode ter como base um processo estocástico. Link ^[12] fornece um século de exemplos de resultados experimentais "Logísticos" e uma nova relação derivada entre esta probabilidade e o tempo de absorção nas fronteiras.

Em ecologia: modelagem de crescimento populacional

Pierre-François Verhulst (1804-1849)

Uma aplicação típica da equação logística é um modelo comum de crescimento populacional (ver também dinâmica populacional ), originalmente devido a Pierre-François Verhulst em 1838, onde a taxa de reprodução é proporcional à população existente e à quantidade de recursos disponíveis, todo o resto sendo igual. A equação de Verhulst foi publicado após Verhulst tinha lido Thomas Malthus ' Ensaio sobre o Princípio da População , que descreve o modelo de crescimento malthusiano de simples crescimento exponencial (sem restrições). Verhulst derivou sua equação logística para descrever o crescimento autolimitado de uma população biológica . A equação foi redescoberta em 1911 por AG McKendrick para o crescimento de bactérias em caldo e testada experimentalmente usando uma técnica para estimativa de parâmetros não lineares. ^[13] A equação também é às vezes chamada de equação de Verhulst-Pearl após sua redescoberta em 1920 por Raymond Pearl (1879–1940) e Lowell Reed (1888–1966) da Universidade Johns Hopkins . ^[14] Outro cientista, Alfred J. Lotka derivou a equação novamente em 1925, chamando-a de lei do crescimento populacional .

De locação ${\ displaystyle P}$ representam o tamanho da população ( ${\ displaystyle N}$ é frequentemente usado na ecologia) e ${\ displaystyle t}$ representam o tempo, este modelo é formalizado pela equação diferencial :

{\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = rP \ left (1 - {\ frac {P} {K}} \ right),}

onde a constante ${\ displaystyle r}$ define a taxa de crescimento e ${\ displaystyle K}$ é a capacidade de carga .

Na equação, a taxa de crescimento inicial e desimpedida é modelada pelo primeiro termo ${\ displaystyle + rP}$ . O valor da taxa ${\ displaystyle r}$ representa o aumento proporcional da população ${\ displaystyle P}$ em uma unidade de tempo. Mais tarde, conforme a população cresce, o módulo do segundo termo (que se multiplicou é ${\ displaystyle -rP ^ {2} / K}$ ) torna-se quase tão grande quanto o primeiro, pois alguns membros da população ${\ displaystyle P}$ interferem uns com os outros competindo por algum recurso crítico, como comida ou espaço vital. Esse efeito antagônico é chamado de gargalo e é modelado pelo valor do parâmetro ${\ displaystyle K}$ . A competição diminui a taxa de crescimento combinada, até o valor de ${\ displaystyle P}$ cessa de crescer (isso se chama maturidade da população). A solução para a equação (com ${\ displaystyle P_ {0}}$ sendo a população inicial) é

{\ displaystyle P (t) = {\ frac {KP_ {0} e ^ {rt}} {K + P_ {0} \ left (e ^ {rt} -1 \ right)}} = {\ frac {K } {1+ \ left ({\ frac {K-P_ {0}} {P_ {0}}} \ right) e ^ {- rt}}},}

Onde

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} P (t) = K.}

O que quer dizer que ${\ displaystyle K}$ é o valor limite de ${\ displaystyle P}$ : o maior valor que a população pode atingir em um tempo infinito (ou chegar perto de atingir em um tempo finito). É importante ressaltar que a capacidade de carga é alcançada assintoticamente, independentemente do valor inicial ${\ displaystyle P (0)> 0}$ , e também no caso de ${\ displaystyle P (0)> K}$ .

Em ecologia, as espécies às vezes são chamadas de r {\ displaystyle r} -estrategista ou K {\ displaystyle K} -estrategista, dependendo dos processos seletivos que moldaram suas estratégias de história de vida . Escolher as dimensões variáveis para que ${\ displaystyle n}$ mede a população em unidades de capacidade de suporte, e ${\ displaystyle \ tau}$ mede o tempo em unidades de ${\ displaystyle 1 / r}$ , dá a equação diferencial adimensional

{\ displaystyle {\ frac {dn} {d \ tau}} = n (1-n).}

Capacidade de carga variável com o tempo

Uma vez que as condições ambientais influenciam a capacidade de suporte, como consequência, pode ser variável com o tempo, com ${\ displaystyle K (t)> 0}$ , levando ao seguinte modelo matemático:

{\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = rP \ cdot \ left (1 - {\ frac {P} {K (t)}} \ right).}

Um caso particularmente importante é o da capacidade de carga que varia periodicamente com o período ${\ displaystyle T}$ :

{\ displaystyle K (t + T) = K (t).}

Pode ser mostrado ^{[ carece de fontes ]} que, em tal caso, independentemente do valor inicial ${\ displaystyle P (0)> 0}$ , ${\ displaystyle P (t)}$ tenderá a uma solução periódica única ${\ displaystyle P _ {*} (t)}$ , cujo período é ${\ displaystyle T}$ .

Um valor típico de ${\ displaystyle T}$ é um ano: nesse caso ${\ displaystyle K (t)}$ pode refletir variações periódicas das condições meteorológicas.

Outra generalização interessante é considerar que a capacidade de suporte ${\ displaystyle K (t)}$ é uma função da população em um momento anterior, capturando um atraso na maneira como a população modifica seu ambiente. Isso leva a uma equação de atraso logístico, ^[15] que tem um comportamento muito rico, com biestabilidade em alguma faixa de parâmetros, bem como um decaimento monotônico para zero, crescimento exponencial suave, crescimento ilimitado pontuado (ou seja, múltiplas formas em S), crescimento pontuado ou alternância para um nível estacionário, abordagem oscilatória para um nível estacionário, oscilações sustentáveis, singularidades em tempo finito, bem como morte em tempo finito.

Em estatística e aprendizado de máquina

As funções logísticas são usadas em várias funções nas estatísticas. Por exemplo, eles são a função de distribuição cumulativa da família logística de distribuições e são, um pouco simplificados, usados para modelar a chance que um jogador de xadrez tem de vencer seu oponente no sistema de classificação Elo . Seguem exemplos mais específicos.

Regressão logística

Funções logísticas são usadas em regressão logística para modelar como a probabilidade ${\ displaystyle p}$ de um evento pode ser afetado por uma ou mais variáveis explicativas : um exemplo seria ter o modelo

{\ displaystyle p = f (a + bx),}

Onde ${\ displaystyle x}$ é a variável explicativa, ${\ displaystyle a}$ e ${\ displaystyle b}$ são parâmetros do modelo a serem ajustados, e ${\ displaystyle f}$ é a função logística padrão.

A regressão logística e outros modelos log-lineares também são comumente usados no aprendizado de máquina . Uma generalização da função logística para múltiplas entradas é a função de ativação softmax , usada na regressão logística multinomial .

Outra aplicação da função logística é no modelo Rasch , utilizado na teoria de resposta ao item . Em particular, o modelo Rasch forma uma base para estimativa de máxima verossimilhança das localizações de objetos ou pessoas em um continuum , com base em coleções de dados categóricos, por exemplo, as habilidades das pessoas em um continuum com base em respostas que foram categorizadas como corretas e incorreta.

Redes neurais

As funções logísticas são freqüentemente usadas em redes neurais para introduzir a não linearidade no modelo ou para fixar sinais dentro de um intervalo especificado . Um elemento de rede neural popular calcula uma combinação linear de seus sinais de entrada e aplica uma função logística limitada como a função de ativação ao resultado; este modelo pode ser visto como uma variante "suavizada" do neurônio de limiar clássico .

Uma escolha comum para as funções de ativação ou "esmagamento", usada para cortar grandes magnitudes para manter a resposta da rede neural limitada ^[16] é

{\ displaystyle g (h) = {\ frac {1} {1 + e ^ {- 2 \ beta h}}},}

que é uma função logística.

Esses relacionamentos resultam em implementações simplificadas de redes neurais artificiais com neurônios artificiais . Os médicos alertam que as funções sigmoidais que são antissimétricas em relação à origem (por exemplo, a tangente hiperbólica ) levam a uma convergência mais rápida ao treinar redes com retropropagação . ^[17]

A própria função logística é a derivada de outra função de ativação proposta, o softplus .

Na medicina: modelagem de crescimento de tumores

Outra aplicação da curva logística é na medicina, onde a equação diferencial logística é usada para modelar o crescimento dos tumores. Esta aplicação pode ser considerada uma extensão do uso acima mencionado no âmbito da ecologia (ver também a curva logística generalizada , permitindo mais parâmetros). Denotando com ${\ displaystyle X (t)}$ o tamanho do tumor no momento ${\ displaystyle t}$ , sua dinâmica é governada por

{\ displaystyle X '= r \ left (1 - {\ frac {X} {K}} \ right) X,}

qual é do tipo

{\ displaystyle X '= F (X) X, \ quad F' (X) \ leq 0,}

Onde ${\ displaystyle F (X)}$ é a taxa de proliferação do tumor.

Se uma quimioterapia for iniciada com um efeito log-kill, a equação pode ser revisada para ser

{\ displaystyle X '= r \ left (1 - {\ frac {X} {K}} \ right) Xc (t) X,}

Onde ${\ displaystyle c (t)}$ é a taxa de mortalidade induzida pela terapia. No caso idealizado de terapia muito longa, ${\ displaystyle c (t)}$ pode ser modelado como uma função periódica (do período ${\ displaystyle T}$ ) ou (no caso de terapia de infusão contínua) como uma função constante, e um tem que

{\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} c (t) \, dt> r \ to \ lim _ {t \ to + \ infty} x (t) = 0,}

ou seja, se a taxa média de mortalidade induzida pela terapia for maior do que a taxa de proliferação da linha de base, haverá a erradicação da doença. Obviamente, este é um modelo simplificado demais do crescimento e da terapia (por exemplo, não leva em consideração o fenômeno da resistência clonal).

Na medicina: modelagem de uma pandemia

Um novo patógeno infeccioso para o qual uma população não tem imunidade geralmente se espalha exponencialmente nos estágios iniciais, enquanto o suprimento de indivíduos suscetíveis é abundante. O vírus SARS-CoV-2 que causa COVID-19 exibiu crescimento exponencial no início do curso da infecção em vários países no início de 2020. ^[18] Muitos fatores, variando desde a falta de suscetíveis (através da disseminação contínua da infecção até que ela passe o limite para imunidade de rebanho ou redução na acessibilidade de suscetíveis por meio de medidas de distanciamento físico), as curvas epidêmicas de aparência exponencial podem primeiro linearizar (replicando a transição "logarítmica" para "logística" observada pela primeira vez por Pierre-François Verhulst , conforme observado acima) e em seguida, alcance um limite máximo. ^[19]

Uma função logística ou funções relacionadas (por exemplo, a função de Gompertz ) são geralmente usadas de maneira descritiva ou fenomenológica porque se adaptam bem não apenas ao aumento exponencial inicial, mas ao eventual nivelamento da pandemia conforme a população desenvolve uma imunidade de rebanho . Isso contrasta com os modelos reais de pandemias que tentam formular uma descrição com base na dinâmica da pandemia (por exemplo, taxas de contato, tempos de incubação, distanciamento social, etc.). Alguns modelos simples foram desenvolvidos, no entanto, que fornecem uma solução logística. ^[20]^[21]^[22]

Função logística generalizada (curva de crescimento de Richards) na modelagem epidemiológica

Uma função logística generalizada , também chamada de curva de crescimento de Richards, é amplamente usada na modelagem das trajetórias de infecção por COVID-19 . ^[23] A trajetória da infecção é um conjunto de dados de série temporal diária para o número cumulativo de casos infectados para um assunto, como país, cidade, estado, etc. Existem outras parametrizações variantes na literatura: uma das formas mais utilizadas é

{\ displaystyle f (t; \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}, \ xi) = {\ frac {\ theta _ {1}} {[1+ \ xi \ exp (- \ theta _ {2} \ cdot (t- \ theta _ {3}))] ^ {1 / \ xi}}}}

Onde ${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}}$ são números reais, e ${\ displaystyle \ xi}$ é um número real positivo. A flexibilidade da curva ${\ displaystyle f}$ é devido ao parâmetro ${\ displaystyle \ xi}$ : (i) se ${\ displaystyle \ xi = 1}$ então a curva se reduz à função logística, e (ii) se ${\ displaystyle \ xi}$ converge para zero, então a curva converge para a função de Gompertz . Na modelagem epidemiológica, ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ , ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ , e ${\ displaystyle \ theta _ {3}}$ representam o tamanho final da epidemia, a taxa de infecção e a fase de latência, respectivamente. Veja o painel certo para uma trajetória de infecção exemplar quando ${\ displaystyle (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3})}$ são designados por ${\ displaystyle (10.000,0.2,40)}$ .

Trajetórias de infecção extrapoladas de 40 países severamente afetados por COVID-19 e grande (população) média até 14 de maio

Um dos benefícios de usar a função de crescimento, como a função logística generalizada na modelagem epidemiológica, é sua expansão relativamente fácil para a estrutura do modelo multinível , usando a função de crescimento para descrever as trajetórias de infecção de vários assuntos (países, cidades, estados, etc.). Essa estrutura de modelagem também pode ser amplamente chamada de modelo de efeito misto não linear ou modelo não linear hierárquico. Veja a figura acima. Um exemplo de uso da função logística generalizada no modelo multinível Bayesiano é o modelo hierárquico Bayesiano de Richards .

Em química: modelos de reação

A concentração de reagentes e produtos nas reações autocatalíticas seguem a função logística. A degradação do catalisador da reação de redução de oxigênio (ORR) livre de metal do grupo da platina (livre de PGM) em cátodos de células de combustível segue a função de decaimento logístico, ^[24] sugerindo um mecanismo de degradação autocatalítico.

Em física: distribuição Fermi-Dirac

A função logística determina a distribuição estatística dos férmions sobre os estados de energia de um sistema em equilíbrio térmico. Em particular, é a distribuição das probabilidades de que cada nível de energia possível seja ocupado por um férmion, de acordo com as estatísticas de Fermi-Dirac .

Em ciência de materiais: diagramas de fase

Consulte Ligação por difusão .

Em linguística: mudança de linguagem

Em linguística, a função logística pode ser usada para modelar a mudança de linguagem : ^[25] uma inovação que é inicialmente marginal começa a se espalhar mais rapidamente com o tempo, e então mais lentamente conforme se torna mais universalmente adotada.

Na agricultura: modelagem da resposta da cultura

A curva S logística pode ser usada para modelar a resposta da cultura às mudanças nos fatores de crescimento. Existem dois tipos de funções de resposta: curvas de crescimento positivas e negativas . Por exemplo, o rendimento da cultura pode aumentar com o aumento do valor do fator de crescimento até um certo nível (função positiva), ou pode diminuir com o aumento dos valores do fator de crescimento (função negativa devido a um fator de crescimento negativo), situação que requer uma inversão Curva S.

Modelo de curva S para produtividade da cultura versus profundidade do lençol freático . ^[26]

Modelo de curva S invertida para produtividade da cultura versus salinidade do solo . ^[27]

Em economia e sociologia: difusão de inovações

A função logística pode ser usada para ilustrar o progresso da difusão de uma inovação ao longo de seu ciclo de vida.

Em The Laws of Imitation (1890), Gabriel Tarde descreve o surgimento e a disseminação de novas ideias por meio de cadeias de imitação. Em particular, Tarde identifica três etapas principais pelas quais as inovações se propagam: a primeira corresponde aos difíceis inícios, durante os quais a ideia deve lutar em um ambiente hostil repleto de hábitos e crenças opostas; o segundo corresponde à decolagem propriamente exponencial da ideia, com ${\ displaystyle f (x) = 2 ^ {x}}$ ; finalmente, o terceiro estágio é logarítmico, com ${\ displaystyle f (x) = \ log (x)}$ , e corresponde ao momento em que o impulso da ideia diminui gradualmente enquanto, simultaneamente, novas ideias oponentes aparecem. A situação que se segue interrompe ou estabiliza o progresso da inovação, que se aproxima de uma assíntota.

Em um estado soberano , as unidades subnacionais ( estados ou cidades constituintes) podem usar empréstimos para financiar seus projetos. No entanto, essa fonte de financiamento está geralmente sujeita a regras legais rígidas, bem como a restrições de escassez da economia , especialmente os recursos que os bancos podem emprestar (devido ao seu patrimônio ou aos limites de Basiléia ). Essas restrições, que representam um nível de saturação, junto com uma corrida exponencial em uma competição econômica por dinheiro, criam uma difusão de pedidos de crédito nas finanças públicas e a resposta nacional agregada é uma curva sigmóide . ^[28]

Na história da economia, quando novos produtos são introduzidos, há uma intensa quantidade de pesquisa e desenvolvimento que leva a melhorias dramáticas na qualidade e reduções nos custos. Isso leva a um período de rápido crescimento da indústria. Alguns dos exemplos mais famosos são: ferrovias, lâmpadas incandescentes, eletrificação , automóveis e viagens aéreas. Eventualmente, oportunidades dramáticas de melhoria e redução de custos se esgotam, o produto ou processo é amplamente utilizado, com poucos clientes em potencial remanescentes e os mercados ficam saturados.

A análise logística foi usada em artigos de vários pesquisadores do International Institute of Applied Systems Analysis ( IIASA ). Estes artigos tratam da difusão de várias inovações, infraestruturas e substituições de fontes de energia e o papel do trabalho na economia e também no longo ciclo económico. Longos ciclos econômicos foram investigados por Robert Ayres (1989). ^[29] Cesare Marchetti publicou sobre longos ciclos econômicos e sobre difusão de inovações. ^[30]^[31] O livro de Arnulf Grübler (1990) dá um relato detalhado da difusão de infraestruturas, incluindo canais, ferrovias, rodovias e companhias aéreas, mostrando que sua difusão seguiu curvas de formato logístico. ^[32]

Carlota Perez usou uma curva logística para ilustrar o longo ciclo de negócios ( Kondratiev ) com os seguintes rótulos: início de uma era tecnológica como irrupção , a ascensão como frenesi , a rápida construção como sinergia e a conclusão como maturidade . ^[33]

Veja também

Crescimento exponencial
Crescimento hiperbólico
Difusão de inovações
Função logística generalizada
Curva de Gompertz
Função de etapa de Heaviside
Curva de Hubbert
Distribuição Logística
Mapa logístico
Regressão logística
Modelo logístico de transmissão suave
Logit
Razão de log-verossimilhança
Modelo de crescimento malthusiano
Dinâmica populacional
teoria de seleção r / K
Distribuição deslocada de Gompertz
Ponto de viragem (sociologia)
Retificador (redes neurais)
Fluido cruzado
Equação de Hill (bioquímica)
Equação de Michaelis-Menten

Notas

^ O artigo foi apresentado em 1844 e publicado em 1845: "(Lu à la séance du 30 novembre 1844)." "(Leia na sessão de 30 de novembro de 1844).", P. 1
^ Verhulst primeiro refere-se a aritmética progressão e geométrico progressão , e refere-se a curva de crescimento geométrico como um logarítmica curva (forma confusa, o termo moderno é em vez exponencial da curva, que é o inverso). Ele então chama sua curva de logística , em contraste com logarítmica , e compara a curva logarítmica e a curva logística na figura de seu papel.
^ Na Grécia Antiga, λογῐστῐκός referia-se à computação prática e à contabilidade, em contraste com ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), o estudo teórico ou filosófico dos números. É confuso, em inglês, que aritmética se refere à computação prática, embora derive de ἀριθμητική , não λογῐστῐκός . Ver, por exemplo, Louis Charles Karpinski , Nicomachus of Gerasa: Introduction to Arithmetic (1926) p. 3: "A aritmética é fundamentalmente associada por leitores modernos, particularmente por cientistas e matemáticos, com a arte da computação. Para os gregos antigos depois de Pitágoras , no entanto, a aritmética era principalmente um estudo filosófico, não tendo nenhuma conexão necessária com questões práticas. Na verdade, os gregos deu um nome separado para a aritmética dos negócios, λογιστική [contabilidade ou logística prática] ... Em geral, os filósofos e matemáticos da Grécia, sem dúvida, consideravam abaixo de sua dignidade tratar deste ramo, que provavelmente fazia parte da instrução elementar de crianças."

Referências

^ a b Verhulst, Pierre-François (1838). "Notice sur la loi que la população flui dans son accroissement" (PDF) . Correspondance Mathématique et Physique . 10 : 113–121 . Retirado em 3 de dezembro de 2014 .
^ Cramer 2002 , pp. 3-5.
^ Verhulst, Pierre-François (1845). "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la população" [Pesquisas matemáticas sobre a lei do aumento do crescimento populacional]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles . 18 : 8 . Retirado em 18 de fevereiro de 2013 . Nous donnerons le nom de logistique à la courbe [Daremos o nome de logística à curva]
^ Verhulst, Pierre-François (1847). "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la população" . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique . 20 : 1-32 . Retirado em 18 de fevereiro de 2013 .
^ Shulman, Bonnie (1998). "Math-alive! Usando fontes originais para ensinar matemática em contexto social" . PRIMUS . 8 (março): 1-14. doi : 10.1080 / 10511979808965879 . O diagrama foi decisivo para mim: há duas curvas rotuladas "Logística" e "Logarítmica" são desenhadas nos mesmos eixos, e pode-se ver que há uma região onde elas correspondem quase exatamente e depois divergem.
Concluí que a intenção de Verhulst ao nomear a curva era de fato sugerir essa comparação, e que "logística" pretendia transmitir a qualidade "logarítmica" da curva.
^ Kocian, Alexander; Carmassi, Giulia; Cela, Fatjon; Incrocci, Luca; Milazzo, Paolo; Chessa, Stefano (7 de junho de 2020). "Previsão de série temporal do tipo sigmóide bayesiano com dados ausentes para culturas com efeito de estufa" . Sensores . 20 (11): 3246. doi : 10,3390 / s20113246 . PMC 7309099 . PMID 32517314 .
^ Documentação expit para o pacote clusterPower de R .
^ Kyurkchiev, Nikolay e Svetoslav Markov. "Funções sigmóides: alguns aspectos de aproximação e modelagem". LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken (2015).
^ Raul Rojas. Redes Neurais - Uma Introdução Sistemática (PDF) . Retirado em 15 de outubro de 2016 .
^ SW Link, Psychometrika, 1975, 40, 1, 77-105
^ SW Link, Attention and Performance VII, 1978, 619-630
^ SW Link, A teoria da diferença e semelhança das ondas (livro), Taylor e Francis, 1992
^ AG McKendricka; M. Kesava Paia1 (janeiro de 1912). "XLV.-A taxa de multiplicação de micro-organismos: um estudo matemático" . Proceedings of the Royal Society of Edinburgh . 31 : 649–653. doi : 10.1017 / S0370164600025426 .
^ Raymond Pearl e Lowell Reed (junho de 1920). "Sobre a Taxa de Crescimento da População dos Estados Unidos" (PDF) . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 6 (6). p. 275.
^ Yukalov, VI; Yukalova, EP; Sornette, D. (2009). “Evolução pontuada devido ao atraso na capacidade de carga”. Physica D: Nonlinear Phenomena . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Bibcode : 2009PhyD..238.1752Y . doi : 10.1016 / j.physd.2009.05.011 . S2CID 14456352 .
^ Gershenfeld 1999, p. 150
^ LeCun, Y .; Bottou, L .; Orr, G .; Muller, K. (1998). Orr, G .; Muller, K. (eds.). BackProp eficiente (PDF) . Redes Neurais: Truques do comércio . Springer. ISBN 3-540-65311-2.
^ Worldometer: COVID-19 CORONAVIRUS PANDEMIC
^ Villalobos-Arias, Mario (2020). "Usando regressão logística generalizada para prever a população infectada por Covid-19". arXiv : 2004.02406 [ q-bio.PE ].
^ Postnikov, Eugene B. (junho de 2020). "Estimativa da dinâmica do COVID-19" no verso do envelope ": O modelo SIR mais simples fornece parâmetros quantitativos e previsões?" . Caos, Solitons & Fractals . 135 : 109841. doi : 10.1016 / j.chaos.2020.109841 . PMC 7252058 . PMID 32501369 .
^ Saito, Takesi (junho de 2020). "Uma curva logística no modelo SIR e sua aplicação aos óbitos pelo COVID-19 no Japão" . MedRxiv . doi : 10.1101 / 2020.06.25.20139865 . S2CID 220068969 . Página visitada em 20 de julho de 2020 .
^ Reiser, Paul A. (2020). "Modified SIR Model Yielding a Logistic Solution". arXiv : 2006.01550 [ q-bio.PE ].
^ Lee, Se Yoon; Lei, Bowen; Mallick, Bani (2020). "Estimativa das curvas de propagação do COVID-19 integrando dados globais e informações de empréstimo" . PLOS ONE . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Bibcode : 2020PLoSO..1536860L . doi : 10.1371 / journal.pone.0236860 . PMC 7390340 . PMID 32726361 .
^ Yin, Xi; Zelenay, Piotr (13 de julho de 2018). "Modelos cinéticos para os mecanismos de degradação de catalisadores ORR livres de PGM" . Transações ECS . 85 (13): 1239–1250. doi : 10.1149 / 08513.1239ecst . OSTI 1471365 .
^ Bod, Hay, Jennedy (eds.) 2003, pp. 147-156
^ Recolha de dados sobre a produção agrícola e profundidade do lençol freático no solo de vários autores. On-line: [1]
^ Recolha de dados sobre a produção agrícola e salinidade do solo de vários autores. On-line: [2]
^ Rocha, Leno S .; Rocha, Frederico SA; Souza, Thársis TP (5 de outubro de 2017). “O setor público do seu país é difusor mutuário? Evidências empíricas do Brasil” . PLOS ONE . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Bibcode : 2017PLoSO..1285257R . doi : 10.1371 / journal.pone.0185257 . ISSN 1932-6203 . PMC 5628819 . PMID 28981532 .
^ Ayres, Robert (1989). "Transformações Tecnológicas e Ondas Longas" (PDF) . Citar diário requer |journal=( ajuda )
^ Marchetti, Cesare (1996). "Pervasive Long Waves: Is Society Cyclotymic" (PDF) . Arquivado do original (PDF) em 5 de março de 2012. Citar diário requer |journal=( ajuda )
^ Marchetti, Cesare (1988). "Kondratiev revisitado - após um ciclo" (PDF) . Citar diário requer |journal=( ajuda )
^ Grübler, Arnulf (1990). A ascensão e queda das infraestruturas: Dinâmica da evolução e mudança tecnológica nos transportes (PDF) . Heidelberg e New York: Physica-Verlag.
^ Perez, Carlota (2002). Revoluções tecnológicas e capital financeiro: a dinâmica das bolhas e da idade de ouro . Reino Unido: Edward Elgar Publishing Limited. ISBN 1-84376-331-1.

Cramer, JS (2002). As origens da regressão logística (PDF) (Relatório técnico). 119 . Instituto Tinbergen. pp. 167-178. doi : 10.2139 / ssrn.360300 .
- Publicado como: Cramer, JS (2004). "As primeiras origens do modelo logit". Estudos em História e Filosofia da Ciência Parte C: Estudos em História e Filosofia das Ciências Biológicas e Biomédicas . 35 (4): 613–626. doi : 10.1016 / j.shpsc.2004.09.003 .
Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer (2003). Lingüística probabilística . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-52338-8.
Gershenfeld, Neil A. (1999). The Nature of Mathematical Modeling . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57095-4.
Kingsland, Sharon E. (1995). Modelando a natureza: episódios na história da ecologia populacional . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-43728-0.
Weisstein, Eric W. "Logistic Equation" . MathWorld .

links externos

LJ Linacre, Por que ogiva logística e não curva autocatalítica? , acessado em 12/09/2009.
https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html
Weisstein, Eric W. "Sigmoid Function" . MathWorld .
Experimentos online com JSXGraph
Esses estão por toda parte.
Ver a curva em S é tudo.
Crescimento logarítmico restrito com injeção

[3] O artigo foi apresentado em 1844 e publicado em 1845: "(Lu à la séance du 30 novembre 1844)." "(Leia na sessão de 30 de novembro de 1844).", P. 1

[7] Verhulst primeiro refere-se a aritmética progressão e geométrico progressão , e refere-se a curva de crescimento geométrico como um logarítmica curva (forma confusa, o termo moderno é em vez exponencial da curva, que é o inverso). Ele então chama sua curva de logística , em contraste com logarítmica , e compara a curva logarítmica e a curva logística na figura de seu papel.

[8] Na Grécia Antiga, λογῐστῐκός referia-se à computação prática e à contabilidade, em contraste com ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), o estudo teórico ou filosófico dos números. É confuso, em inglês, que aritmética se refere à computação prática, embora derive de ἀριθμητική , não λογῐστῐκός . Ver, por exemplo, Louis Charles Karpinski , Nicomachus of Gerasa: Introduction to Arithmetic (1926) p. 3: "A aritmética é fundamentalmente associada por leitores modernos, particularmente por cientistas e matemáticos, com a arte da computação. Para os gregos antigos depois de Pitágoras , no entanto, a aritmética era principalmente um estudo filosófico, não tendo nenhuma conexão necessária com questões práticas. Na verdade, os gregos deu um nome separado para a aritmética dos negócios, λογιστική [contabilidade ou logística prática] ... Em geral, os filósofos e matemáticos da Grécia, sem dúvida, consideravam abaixo de sua dignidade tratar deste ramo, que provavelmente fazia parte da instrução elementar de crianças."

[verhulst1838-1] Verhulst, Pierre-François (1838). "Notice sur la loi que la população flui dans son accroissement" (PDF) . Correspondance Mathématique et Physique . 10 : 113–121 . Retirado em 3 de dezembro de 2014 .

[FOOTNOTECramer20023–5-2] Cramer 2002 , pp. 3-5.

[4] Verhulst, Pierre-François (1845). "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la população" [Pesquisas matemáticas sobre a lei do aumento do crescimento populacional]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles . 18 : 8 . Retirado em 18 de fevereiro de 2013 . Nous donnerons le nom de logistique à la courbe [Daremos o nome de logística à curva]

[5] Verhulst, Pierre-François (1847). "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la população" . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique . 20 : 1-32 . Retirado em 18 de fevereiro de 2013 .

[6] Shulman, Bonnie (1998). "Math-alive! Usando fontes originais para ensinar matemática em contexto social" . PRIMUS . 8 (março): 1-14. doi : 10.1080 / 10511979808965879 . O diagrama foi decisivo para mim: há duas curvas rotuladas "Logística" e "Logarítmica" são desenhadas nos mesmos eixos, e pode-se ver que há uma região onde elas correspondem quase exatamente e depois divergem.
Concluí que a intenção de Verhulst ao nomear a curva era de fato sugerir essa comparação, e que "logística" pretendia transmitir a qualidade "logarítmica" da curva.

[9] Kocian, Alexander; Carmassi, Giulia; Cela, Fatjon; Incrocci, Luca; Milazzo, Paolo; Chessa, Stefano (7 de junho de 2020). "Previsão de série temporal do tipo sigmóide bayesiano com dados ausentes para culturas com efeito de estufa" . Sensores . 20 (11): 3246. doi : 10,3390 / s20113246 . PMC 7309099 . PMID 32517314 .

[10] Documentação expit para o pacote clusterPower de R .

[11] Kyurkchiev, Nikolay e Svetoslav Markov. "Funções sigmóides: alguns aspectos de aproximação e modelagem". LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken (2015).

[12] Raul Rojas. Redes Neurais - Uma Introdução Sistemática (PDF) . Retirado em 15 de outubro de 2016 .

[A_sequential_theory_of_psychological_discrimination-13] SW Link, Psychometrika, 1975, 40, 1, 77-105

[The_Relative_Judgment_Theory_of_the_Psychometric_Function-14] SW Link, Attention and Performance VII, 1978, 619-630

[The_wave_theory_of_difference_and_similarity-15] SW Link, A teoria da diferença e semelhança das ondas (livro), Taylor e Francis, 1992

[McKendric_Logistic-16] AG McKendricka; M. Kesava Paia1 (janeiro de 1912). "XLV.-A taxa de multiplicação de micro-organismos: um estudo matemático" . Proceedings of the Royal Society of Edinburgh . 31 : 649–653. doi : 10.1017 / S0370164600025426 .

[17] Raymond Pearl e Lowell Reed (junho de 1920). "Sobre a Taxa de Crescimento da População dos Estados Unidos" (PDF) . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 6 (6). p. 275.

[delay_carrying-18] Yukalov, VI; Yukalova, EP; Sornette, D. (2009). “Evolução pontuada devido ao atraso na capacidade de carga”. Physica D: Nonlinear Phenomena . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Bibcode : 2009PhyD..238.1752Y . doi : 10.1016 / j.physd.2009.05.011 . S2CID 14456352 .

[Gershenfeld-1999-19] Gershenfeld 1999, p. 150

[LeCun-1998-20] LeCun, Y .; Bottou, L .; Orr, G .; Muller, K. (1998). Orr, G .; Muller, K. (eds.). BackProp eficiente (PDF) . Redes Neurais: Truques do comércio . Springer. ISBN 3-540-65311-2.

[21] Worldometer: COVID-19 CORONAVIRUS PANDEMIC

[22] Villalobos-Arias, Mario (2020). "Usando regressão logística generalizada para prever a população infectada por Covid-19". arXiv : 2004.02406 [ q-bio.PE ].

[23] Postnikov, Eugene B. (junho de 2020). "Estimativa da dinâmica do COVID-19" no verso do envelope ": O modelo SIR mais simples fornece parâmetros quantitativos e previsões?" . Caos, Solitons & Fractals . 135 : 109841. doi : 10.1016 / j.chaos.2020.109841 . PMC 7252058 . PMID 32501369 .

[24] Saito, Takesi (junho de 2020). "Uma curva logística no modelo SIR e sua aplicação aos óbitos pelo COVID-19 no Japão" . MedRxiv . doi : 10.1101 / 2020.06.25.20139865 . S2CID 220068969 . Página visitada em 20 de julho de 2020 .

[Reiser2020-25] Reiser, Paul A. (2020). "Modified SIR Model Yielding a Logistic Solution". arXiv : 2006.01550 [ q-bio.PE ].

[26] Lee, Se Yoon; Lei, Bowen; Mallick, Bani (2020). "Estimativa das curvas de propagação do COVID-19 integrando dados globais e informações de empréstimo" . PLOS ONE . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Bibcode : 2020PLoSO..1536860L . doi : 10.1371 / journal.pone.0236860 . PMC 7390340 . PMID 32726361 .

[27] Yin, Xi; Zelenay, Piotr (13 de julho de 2018). "Modelos cinéticos para os mecanismos de degradação de catalisadores ORR livres de PGM" . Transações ECS . 85 (13): 1239–1250. doi : 10.1149 / 08513.1239ecst . OSTI 1471365 .

[probabilistic_linguistics-28] Bod, Hay, Jennedy (eds.) 2003, pp. 147-156

[29] Recolha de dados sobre a produção agrícola e profundidade do lençol freático no solo de vários autores. On-line: [1]

[30] Recolha de dados sobre a produção agrícola e salinidade do solo de vários autores. On-line: [2]

[31] Rocha, Leno S .; Rocha, Frederico SA; Souza, Thársis TP (5 de outubro de 2017). “O setor público do seu país é difusor mutuário? Evidências empíricas do Brasil” . PLOS ONE . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Bibcode : 2017PLoSO..1285257R . doi : 10.1371 / journal.pone.0185257 . ISSN 1932-6203 . PMC 5628819 . PMID 28981532 .

[32] Ayres, Robert (1989). "Transformações Tecnológicas e Ondas Longas" (PDF) . Citar diário requer |journal=( ajuda )

[33] Marchetti, Cesare (1996). "Pervasive Long Waves: Is Society Cyclotymic" (PDF) . Arquivado do original (PDF) em 5 de março de 2012. Citar diário requer |journal=( ajuda )

[34] Marchetti, Cesare (1988). "Kondratiev revisitado - após um ciclo" (PDF) . Citar diário requer |journal=( ajuda )

[Grubler1990-35] Grübler, Arnulf (1990). A ascensão e queda das infraestruturas: Dinâmica da evolução e mudança tecnológica nos transportes (PDF) . Heidelberg e New York: Physica-Verlag.

[Perez2002-36] Perez, Carlota (2002). Revoluções tecnológicas e capital financeiro: a dinâmica das bolhas e da idade de ouro . Reino Unido: Edward Elgar Publishing Limited. ISBN 1-84376-331-1.

[1]