Curva de Gosper

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A curva Gosper , também conhecido como Peano-Gosper Curva , [1] em homenagem a Bill Gosper , também conhecido como o flowsnake (um spoonerism de floco de neve ), é uma curva de enchimento de espaço , cujo conjunto limite é representante -7. É uma curva fractal semelhante em sua construção à curva do dragão e à curva de Hilbert .

A curva de Gosper também pode ser usada para clusterização e indexação hexagonal hierárquica eficiente. [2]

Algoritmo

Sistema Lindenmayer

A curva de Gosper pode ser representada usando um sistema L com as seguintes regras:

  • Ângulo: 60 °
  • Axioma:
  • Regras de substituição:

Neste caso, A e B significam avançar, + significa virar à esquerda 60 graus e - significa virar à direita 60 graus - usando um programa no estilo "tartaruga", como Logo .

Um programa de logotipo para desenhar a curva de Gosper usando gráficos de tartaruga ( versão online ):

a  rg  : st  : ln  make  "st: st - 1  make  " ln: ln / sqrt 7  se  : st  >  0  [ rg  : st  : ln  rt  60  gl  : st  : ln  rt  120  gl  : st  : ln  lt  60  rg  : st  : ln  lt  120  rg  : st  : ln  rg  : st  : ln  lt  60 gl  : st  : ln  rt  60 ]  if  : st  =  0  [ fd  : ln  rt  60  fd  : ln  rt  120  fd  : ln  lt  60  fd  : ln  lt  120  fd  : ln  fd  : ln  lt  60  fd  : ln  rt  60 ] fim para  gl  : st  : ln  make  "st: st - 1  make  " ln: ln / sqrt 7  se  : st  >  0  [ lt  60  rg  : st  : ln  rt  60  gl  : st  : ln  gl  : st  : ln  rt  120  gl  : st  : ln  rt  60  rg  : st  : ln  lt  120  rg  : st  : ln lt  60  gl  : st  : ln ]  if  : st  =  0  [ lt  60  fd  : ln  rt  60  fd  : ln  fd  : ln  rt  120  fd  : ln  rt  60  fd  : ln  lt  120  fd  : ln  lt  60  fd  : ln ] fim

O programa pode ser chamado, por exemplo, com rg 4 300ou alternativamente gl 4 300.

Pitão

Um programa Python , que usa as regras do L-System mencionadas acima, para desenhar a curva de Gosper usando gráficos de tartaruga ( versão online ):

 tartaruga de importaçãodef  gosper_curve ( ordem :  int ,  tamanho :  int ,  is_A :  bool  =  True )  ->  Nenhum :  "" "Desenhe a curva Gosper." ""  se  ordem  ==  0 :  tartaruga . forward ( size )  return  for  op  em  "AB - B + A ++ AA + B-"  if  is_A  else  "+ A-BB - B-A ++ A + B" :  gosper_op_map [ op ] ( pedido  -  1 , tamanho )gosper_op_map  =  {  "A" :  lambda  o ,  tamanho :  gosper_curve ( o ,  tamanho ,  Verdadeiro ),  "B" :  lambda  o ,  tamanho :  gosper_curve ( o ,  tamanho ,  Falso ),  "-" :  lambda  o ,  tamanho :  tartaruga . direita ( 60 ),  "+" :  lambda  o ,  tamanho : tartaruga . esquerda ( 60 ), } tamanho  =  10 pedido  =  3 gosper_curva ( pedido ,  tamanho )

Propriedades

O espaço preenchido pela curva é chamado de ilha Gosper . As primeiras iterações dele são mostradas abaixo:

A Ilha Gosper pode colocar telhas do avião . Na verdade, sete cópias da ilha Gosper podem ser unidas para formar uma forma semelhante , mas ampliada por um fator de 7 em todas as dimensões. Como pode ser visto no diagrama abaixo, realizar esta operação com uma iteração intermediária da ilha leva a uma versão ampliada da próxima iteração. A repetição desse processo indefinidamente produz uma tesselação do plano. A própria curva também pode ser estendida a uma curva infinita preenchendo todo o plano.

Veja também

  • Lista de fractais por dimensão de Hausdorff
  • MC Escher

Referências

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Peano-Gosper Curve" . MathWorld . Retirado em 31 de outubro de 2013 .
  2. ^ "Hierarchical Hexagonal Clustering and Indexing", 2019, https://doi.org/10.3390/sym11060731

links externos

  • https://web.archive.org/web/20060112165112/http://kilin.u-shizuoka-ken.ac.jp/museum/gosperex/343-024.pdf
  • http://kilin.clas.kitasato-u.ac.jp/museum/gosperex/343-024.pdf
  • http://www.mathcurve.com/fractals/gosper/gosper.shtml (em francês)
  • http://mathworld.wolfram.com/GosperIsland.html
  • http://logo.twentygototen.org/mJjiNzK0
  • https://larryriddle.agnesscott.org/ifs/ksnow/flowsnake.htm
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