Geometria euclidiana

Os Elementos são principalmente uma sistematização de conhecimentos anteriores de geometria. Sua melhora em relação aos tratamentos anteriores foi rapidamente reconhecida, com o resultado de que havia pouco interesse em preservar os anteriores, e agora eles estão quase todos perdidos.

Existem 13 livros nos Elementos :

Os livros I – IV e VI discutem a geometria plana. Muitos resultados sobre figuras planas são provados, por exemplo: "Em qualquer triângulo, dois ângulos tomados juntos de qualquer maneira são menos do que dois ângulos retos." (Livro I, proposição 17) e o teorema de Pitágoras "Em triângulos retos, o quadrado do lado subtendendo o ângulo reto é igual aos quadrados dos lados que contêm o ângulo reto." (Livro I, proposição 47)

Os livros V e VII-X tratam da teoria dos números , com os números tratados geometricamente como comprimentos de segmentos de linha ou áreas de regiões. Noções como números primos e números racionais e irracionais são introduzidas. Está provado que existem infinitos números primos.

Os livros XI – XIII tratam da geometria sólida . Um resultado típico é a proporção de 1: 3 entre o volume de um cone e um cilindro com a mesma altura e base. Os sólidos platônicos são construídos.

Axiomas

O postulado paralelo (Postulado 5): Se duas linhas cruzam uma terceira de tal forma que a soma dos ângulos internos de um lado seja menor do que dois ângulos retos, então as duas linhas inevitavelmente devem se cruzar naquele lado se estendidas muito suficiente.

A geometria euclidiana é um sistema axiomático , no qual todos os teoremas ("afirmações verdadeiras") são derivados de um pequeno número de axiomas simples. Até o advento da geometria não euclidiana , esses axiomas eram considerados obviamente verdadeiros no mundo físico, de modo que todos os teoremas seriam igualmente verdadeiros. No entanto, o raciocínio de Euclides das suposições às conclusões permanece válido independentemente de sua realidade física. ^[4]

Perto do início do primeiro livro dos Elementos , Euclides fornece cinco postulados (axiomas) para a geometria plana, declarados em termos de construções (conforme traduzido por Thomas Heath): ^[5]

Deixe o seguinte ser postulado:

1. Para desenhar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
2. Para produzir (estender) uma linha reta finita continuamente em uma linha reta.
3. Para descrever um círculo com qualquer centro e distância (raio).
4. Que todos os ângulos retos são iguais uns aos outros.
5. [O postulado paralelo ]: Se uma linha reta caindo em duas linhas retas torna os ângulos internos do mesmo lado menores que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, se encontram naquele lado em que os ângulos são menores do que dois ângulos retos.

Embora Euclides apenas afirme explicitamente a existência dos objetos construídos, em seu raciocínio eles são implicitamente considerados únicos.

Os Elementos também incluem as seguintes cinco "noções comuns":

1. Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais umas às outras (a propriedade transitiva de uma relação euclidiana ).
2. Se iguais forem somados a iguais, os todos serão iguais (propriedade de adição de igualdade).
3. Se iguais são subtraídos de iguais, então as diferenças são iguais (propriedade de subtração de igualdade).
4. Coisas que coincidem umas com as outras são iguais (propriedade reflexiva).
5. O todo é maior do que a parte.

Os estudiosos modernos concordam que os postulados de Euclides não fornecem a base lógica completa que Euclides exigiu para sua apresentação. ^[6] Os tratamentos modernos usam conjuntos mais extensos e completos de axiomas.

Postulado paralelo

Para os antigos, o postulado paralelo parecia menos óbvio do que os outros. Eles aspiravam a criar um sistema de proposições absolutamente certas, e para eles parecia que o postulado da linha paralela exigia prova de afirmações mais simples. Sabe-se agora que tal prova é impossível, uma vez que se pode construir sistemas consistentes de geometria (obedecendo aos outros axiomas) em que o postulado paralelo é verdadeiro e outros em que é falso. ^{[7] O} próprio Euclides parece tê-lo considerado qualitativamente diferente dos outros, como evidenciado pela organização dos Elementos : suas primeiras 28 proposições são aquelas que podem ser provadas sem ele.

Muitos axiomas alternativos podem ser formulados, os quais são logicamente equivalentes ao postulado paralelo (no contexto dos outros axiomas). Por exemplo, o axioma de Playfair afirma:

Em um plano , através de um ponto que não está em uma determinada linha reta, no máximo uma linha pode ser desenhada que nunca encontra a linha dada.

A cláusula "no máximo" é tudo o que é necessário, uma vez que pode ser provado a partir dos axiomas restantes que existe pelo menos uma linha paralela.

Uma prova de Euclid Elementos que, dado um segmento de linha, pode-se construir um triângulo equilátero, que inclui o segmento como um dos seus lados: de um ΑΒΓ triângulo equilátero é feita por desenho círculos Δ e Ε centrada nos pontos a e p, e tendo uma intersecção dos círculos como o terceiro vértice do triângulo.

A geometria euclidiana é construtiva . Os postulados 1, 2, 3 e 5 afirmam a existência e a singularidade de certas figuras geométricas, e essas afirmações são de natureza construtiva: isto é, não somos apenas informados de que certas coisas existem, mas também são fornecidos métodos para criá-las com não mais do que uma bússola e uma régua não marcada . ^[8] Nesse sentido, a geometria euclidiana é mais concreta do que muitos sistemas axiomáticos modernos, como a teoria dos conjuntos , que muitas vezes afirmam a existência de objetos sem dizer como construí-los, ou mesmo afirmam a existência de objetos que não podem ser construídos dentro da teoria . ^[9] Estritamente falando, as linhas no papel são modelos dos objetos definidos dentro do sistema formal, ao invés de instâncias desses objetos. Por exemplo, uma linha reta euclidiana não tem largura, mas qualquer linha real desenhada terá. Embora quase todos os matemáticos modernos considerem os métodos não construtivos tão sólidos quanto os construtivos, as provas construtivas de Euclides muitas vezes suplantaram as não construtivas falaciosas - por exemplo, algumas das provas pitagóricas que envolviam números irracionais, que geralmente exigiam uma declaração como "Encontre a maior medida comum de ... " ^[10]

Euclides costumava usar a prova por contradição . A geometria euclidiana também permite o método de sobreposição, no qual uma figura é transferida para outro ponto no espaço. Por exemplo, a proposição I.4, congruência lado-ângulo-lado de triângulos, é provada movendo um dos dois triângulos de modo que um de seus lados coincida com o lado igual do outro triângulo, e então provando que os outros lados também coincidem . Alguns tratamentos modernos acrescentam um sexto postulado, a rigidez do triângulo, que pode ser usado como alternativa à superposição. ^[11]

A geometria euclidiana possui dois tipos fundamentais de medidas: ângulo e distância . A escala do ângulo é absoluta e Euclides usa o ângulo reto como sua unidade básica, de modo que, por exemplo, um ângulo de 45 graus seria referido como a metade de um ângulo reto. A escala de distância é relativa; alguém escolhe arbitrariamente um segmento de linha com um certo comprimento diferente de zero como a unidade, e outras distâncias são expressas em relação a ele. A adição de distâncias é representada por uma construção na qual um segmento de linha é copiado no final de outro segmento de linha para estender seu comprimento e, da mesma forma, para subtração.

As medidas de área e volume são derivadas de distâncias. Por exemplo, um retângulo com largura 3 e comprimento 4 tem uma área que representa o produto, 12. Como essa interpretação geométrica da multiplicação era limitada a três dimensões, não havia uma maneira direta de interpretar o produto de quatro ou mais números, e Euclides evitou tais produtos, embora estejam implícitos, por exemplo, na prova do livro IX, proposição 20.

Um exemplo de congruência. As duas figuras à esquerda são congruentes, enquanto a terceira é semelhante a elas. A última figura não é nenhuma. As congruências alteram algumas propriedades, como localização e orientação, mas deixam outras inalteradas, como distância e ângulos . O último tipo de propriedades são chamados de invariantes e estudá-los é a essência da geometria.

Euclides se refere a um par de linhas, ou um par de figuras planas ou sólidas, como "iguais" (ἴσος) se seus comprimentos, áreas ou volumes forem iguais, respectivamente, e da mesma forma para ângulos. O termo mais forte " congruente " refere-se à ideia de que uma figura inteira tem o mesmo tamanho e forma de outra figura. Alternativamente, duas figuras são congruentes se uma puder ser movida em cima da outra para que corresponda exatamente a ela. (Invertê-lo é permitido.) Assim, por exemplo, um retângulo 2x6 e um retângulo 3x4 são iguais, mas não congruentes, e a letra R é congruente com sua imagem no espelho. Figuras que seriam congruentes, exceto por seus tamanhos diferentes, são chamadas de semelhantes . Os ângulos correspondentes em um par de formas semelhantes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais um ao outro.

Nomeação de pontos e figuras

Os pontos são normalmente nomeados com letras maiúsculas do alfabeto. Outras figuras, como linhas, triângulos ou círculos, são nomeadas listando um número suficiente de pontos para selecioná-los inequivocamente da figura relevante, por exemplo, o triângulo ABC normalmente seria um triângulo com vértices nos pontos A, B e C .

Ângulos complementares e suplementares

Ângulos cuja soma é um ângulo reto são chamados de complementares . Ângulos complementares são formados quando um raio compartilha o mesmo vértice e é apontado em uma direção que está entre os dois raios originais que formam o ângulo reto. O número de raios entre os dois raios originais é infinito.

Ângulos cuja soma é um ângulo reto são complementares . Ângulos suplementares são formados quando um raio compartilha o mesmo vértice e é apontado em uma direção que está entre os dois raios originais que formam o ângulo reto (ângulo de 180 graus). O número de raios entre os dois raios originais é infinito.

Versões modernas da notação de Euclides

Na terminologia moderna, os ângulos normalmente seriam medidos em graus ou radianos .

Os livros escolares modernos muitas vezes definem figuras separadas chamadas linhas (infinito), raios (semi-infinito) e segmentos de linha (de comprimento finito). Euclides, em vez de discutir um raio como um objeto que se estende ao infinito em uma direção, normalmente usaria locuções como "se a linha for estendida a um comprimento suficiente", embora ele ocasionalmente se referisse a "linhas infinitas". Uma "linha" em Euclides poderia ser reta ou curva, e ele usava o termo mais específico "linha reta" quando necessário.

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  O pons asinorum ou teorema da ponte de asses ' afirma que em um triângulo isósceles, α = β e γ = δ.

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  O teorema da soma dos ângulos do triângulo afirma que a soma dos três ângulos de qualquer triângulo, neste caso os ângulos α, β e γ, será sempre igual a 180 graus.

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  Os teorema de Pitágoras afirma que a soma das áreas dos dois quadrados nas pernas ( um e b ) de um triângulo retângulo é igual à área do quadrado da hipotenusa ( c ).

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  O teorema de Tales afirma que se AC é um diâmetro, então o ângulo em B é um ângulo reto.

Pons Asinorum

O pons asinorum ( ponte de burros ) afirma que em triângulos isósceles os ângulos na base são iguais e, se as linhas retas iguais são produzidas posteriormente, então os ângulos sob a base se igualam. ^[12] Seu nome pode ser atribuído ao seu papel frequente como o primeiro teste real nos Elementos da inteligência do leitor e como uma ponte para as proposições mais difíceis que se seguiram. Também pode receber esse nome por causa da semelhança da figura geométrica com uma ponte íngreme que apenas um burro de pés seguros poderia atravessar. ^[13]

Congruência de triângulos

A congruência dos triângulos é determinada especificando-se dois lados e o ângulo entre eles (SAS), dois ângulos e o lado entre eles (ASA) ou dois ângulos e um lado adjacente correspondente (AAS). Especificar dois lados e um ângulo adjacente (SSA), no entanto, pode produzir dois triângulos possíveis distintos, a menos que o ângulo especificado seja um ângulo reto.

Os triângulos são congruentes se tiverem todos os três lados iguais (SSS), dois lados e o ângulo entre eles iguais (SAS) ou dois ângulos e um lado igual (ASA) (Livro I, proposições 4, 8 e 26). Triângulos com três ângulos iguais (AAA) são semelhantes, mas não necessariamente congruentes. Além disso, triângulos com dois lados iguais e um ângulo adjacente não são necessariamente iguais ou congruentes.

Soma do ângulo do triângulo

A soma dos ângulos de um triângulo é igual a um ângulo reto (180 graus). ^[14] Isso faz com que um triângulo equilátero tenha três ângulos internos de 60 graus. Além disso, faz com que cada triângulo tenha pelo menos dois ângulos agudos e até um ângulo obtuso ou reto .

teorema de Pitágoras

O célebre teorema de Pitágoras (livro I, proposição 47) afirma que em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são as duas pernas (os dois lados que se encontram em um ângulo reto).

Teorema de Tales

O teorema de Tales , em homenagem a Tales de Mileto, afirma que se A, B e C são pontos em um círculo onde a linha AC é o diâmetro do círculo, então o ângulo ABC é um ângulo reto. Cantor supôs que Tales provou seu teorema por meio de Euclides Livro I, Prop. 32, à maneira de Euclides Livro III, Prop. 31. ^{[15] [16]}

Dimensionamento de área e volume

Na terminologia moderna, a área de uma figura plana é proporcional ao quadrado de qualquer uma de suas dimensões lineares, ${\ displaystyle A \ propto L ^ {2}}$, e o volume de um sólido para o cubo, ${\ displaystyle V \ propto L ^ {3}}$. Euclides provou esses resultados em vários casos especiais, como a área de um círculo ^[17] e o volume de um sólido paralelepipédico. ^[18] Euclides determinou algumas, mas não todas, das constantes relevantes de proporcionalidade. Por exemplo, foi seu sucessor Arquimedes quem provou que uma esfera tem 2/3 do volume do cilindro circunscrito. ^[19]

Por causa do status fundamental da geometria euclidiana em matemática, é impraticável fornecer aqui mais do que uma amostra representativa de aplicações.

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  Um topógrafo usa um nível

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  O empacotamento em esfera aplica-se a uma pilha de laranjas .

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  Um espelho parabólico traz raios de luz paralelos para um foco.

Como sugerido pela etimologia da palavra, uma das primeiras razões para o interesse em geometria foi o levantamento , ^[20] e certos resultados práticos da geometria euclidiana, como a propriedade do ângulo reto do triângulo 3-4-5, foram usados muito antes de serem provados formalmente. ^[21] Os tipos fundamentais de medidas na geometria euclidiana são distâncias e ângulos, sendo que ambos podem ser medidos diretamente por um topógrafo. Historicamente, as distâncias eram frequentemente medidas por correntes, como a corrente de Gunter , e os ângulos usando círculos graduados e, mais tarde, o teodolito .

Uma aplicação da geometria sólida euclidiana é a determinação de arranjos de empacotamento , como o problema de encontrar o empacotamento mais eficiente de esferas em n dimensões. Este problema tem aplicações na detecção e correção de erros .

A óptica geométrica usa a geometria euclidiana para analisar a focalização da luz por lentes e espelhos.

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  A geometria é usada na arte e na arquitetura.

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  A torre de água consiste em um cone, um cilindro e um hemisfério. Seu volume pode ser calculado usando geometria sólida.

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  A geometria pode ser usada para projetar origami.

A geometria é amplamente usada na arquitetura .

A geometria pode ser usada para projetar origami . Alguns problemas de construção clássicos de geometria são impossíveis usando bússola e régua , mas podem ser resolvidos usando origami . ^[22]

Muitos CAD (projeto auxiliado por computador) e CAM (manufatura auxiliada por computador) são baseados na geometria euclidiana. A geometria do projeto normalmente consiste em formas delimitadas por aviões, cilindros, cones, toros, etc. Nos dias atuais, CAD / CAM é essencial no projeto de quase tudo, incluindo carros, aviões, navios e smartphones. Algumas décadas atrás, desenhistas sofisticados aprenderam alguma geometria euclidiana bastante avançada, incluindo coisas como o teorema de Pascal e o teorema de Brianchon. Mas agora eles não precisam mais, porque as construções geométricas são todas feitas por programas CAD.

Euclides acreditava que seus axiomas eram afirmações evidentes sobre a realidade física. As provas de Euclides dependem de suposições talvez não óbvias nos axiomas fundamentais de Euclides, ^[23] em particular que certos movimentos das figuras não mudam suas propriedades geométricas, como o comprimento dos lados e ângulos internos, os chamados movimentos euclidianos , que incluem traduções, reflexos e rotações de figuras. ^[24] Tomado como uma descrição física do espaço, o postulado 2 (estendendo uma linha) afirma que o espaço não tem buracos ou limites; o postulado 4 (igualdade de ângulos retos) diz que o espaço é isotrópico e as figuras podem ser movidas para qualquer local, mantendo a congruência ; e postulado 5 (o postulado paralelo ) que o espaço é plano (não tem curvatura intrínseca ). ^[25]

Conforme discutido em mais detalhes abaixo, a teoria da relatividade de Albert Einstein modifica significativamente essa visão.

O caráter ambíguo dos axiomas originalmente formulados por Euclides torna possível que diferentes comentaristas discordem sobre algumas de suas outras implicações para a estrutura do espaço, como se ele é infinito ou não ^[26] (veja abaixo) e qual sua topologia é. As reformulações modernas e mais rigorosas do sistema ^[27] normalmente visam uma separação mais limpa dessas questões. Interpretando os axiomas de Euclides no espírito desta abordagem mais moderna, os axiomas 1-4 são consistentes com o espaço infinito ou finito (como na geometria elíptica ), e todos os cinco axiomas são consistentes com uma variedade de topologias (por exemplo, um plano, um cilindro , ou um toro para geometria euclidiana bidimensional).

Arquimedes e Apolônio

Uma esfera tem 2/3 do volume e da área de superfície de seu cilindro circunscrito. Uma esfera e um cilindro foram colocados no túmulo de Arquimedes a seu pedido.

Arquimedes (c. 287 AC - c. 212 AC), uma figura pitoresca sobre a qual muitas anedotas históricas são registradas, é lembrado junto com Euclides como um dos maiores matemáticos antigos. Embora as bases de sua obra tenham sido postas em prática por Euclides, acredita-se que sua obra, ao contrário de Euclides, tenha sido inteiramente original. ^[28] Ele provou equações para os volumes e áreas de várias figuras em duas e três dimensões, e enunciou a propriedade arquimediana dos números finitos.

Apolônio de Perga (c. 262 AEC - c. 190 AEC) é conhecido principalmente por sua investigação de seções cônicas.

René Descartes. Retrato segundo Frans Hals , 1648.

Século 17: Descartes

René Descartes (1596–1650) desenvolveu a geometria analítica , um método alternativo para formalizar a geometria que se concentrava em transformar a geometria em álgebra. ^[29]

Nesta abordagem, um ponto em um plano é representado por suas coordenadas cartesianas ( x , y ), uma linha é representada por sua equação e assim por diante.

Na abordagem original de Euclides, o teorema de Pitágoras segue dos axiomas de Euclides. Na abordagem cartesiana, os axiomas são os axiomas da álgebra, e a equação que expressa o teorema de Pitágoras é então uma definição de um dos termos dos axiomas de Euclides, que agora são considerados teoremas.

A equação

${\ displaystyle | PQ | = {\ sqrt {(p_ {x} -q_ {x}) ^ {2} + (p_ {y} -q_ {y}) ^ {2}}} \,}$

definir a distância entre dois pontos P = ( p _x , p _y ) e Q = ( q _x , q _y ) é então conhecido como a métrica euclidiana , e outras métricas definem geometrias não euclidianas .

Em termos de geometria analítica, a restrição da geometria clássica às construções de compasso e régua significa uma restrição às equações de primeira e segunda ordem, por exemplo, y = 2 x + 1 (uma linha), ou x ² + y ² = 7 ( um círculo).

Ainda no século XVII, Girard Desargues , motivado pela teoria da perspectiva , introduziu o conceito de pontos, linhas e planos idealizados no infinito. O resultado pode ser considerado como um tipo de geometria generalizada, geometria projetiva , mas também pode ser usado para produzir provas em geometria euclidiana comum em que o número de casos especiais é reduzido. ^[30]

Quadratura do círculo: as áreas deste quadrado e deste círculo são iguais. Em 1882, foi provado que esta figura não pode ser construída em um número finito de passos com um compasso e régua idealizados .

século 18

Os geômetras do século 18 lutaram para definir os limites do sistema euclidiano. Muitos tentaram em vão provar o quinto postulado dos quatro primeiros. Em 1763, pelo menos 28 provas diferentes foram publicadas, mas todas foram consideradas incorretas. ^[31]

Antes desse período, os geômetras também tentaram determinar quais construções poderiam ser realizadas na geometria euclidiana. Por exemplo, o problema de trissecar um ângulo com uma bússola e régua é aquele que ocorre naturalmente dentro da teoria, uma vez que os axiomas referem-se a operações construtivas que podem ser realizadas com essas ferramentas. No entanto, séculos de esforços não conseguiram encontrar uma solução para este problema, até que Pierre Wantzel publicou uma prova em 1837 de que tal construção era impossível. Outras construções que foram provadas impossíveis incluem dobrar o cubo e quadrar o círculo . No caso de dobrar o cubo, a impossibilidade de construção origina-se do fato de que o método bússola e régua envolvem equações cuja ordem é uma potência integral de dois, ^[32] enquanto dobrar um cubo requer a solução de uma equação de terceira ordem .

Euler discutiu uma generalização da geometria euclidiana chamada geometria afim , que mantém o quinto postulado inalterado enquanto enfraquece os postulados três e quatro de uma forma que elimina as noções de ângulo (de onde os triângulos retos tornam-se sem sentido) e de igualdade de comprimento dos segmentos de linha em geral ( onde os círculos tornam-se sem sentido), mantendo as noções de paralelismo como uma relação de equivalência entre linhas e igualdade de comprimento de segmentos de linha paralelos (então os segmentos de linha continuam a ter um ponto médio).

Geometria não euclidiana e do século 19

Comparação das geometrias elíptica, euclidiana e hiperbólica em duas dimensões

No início do século 19, Carnot e Möbius desenvolveram sistematicamente o uso de ângulos sinalizados e segmentos de linha como uma forma de simplificar e unificar os resultados. ^[33]

O desenvolvimento mais significativo do século em geometria ocorreu quando, por volta de 1830, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaram separadamente trabalhos sobre geometria não euclidiana , nos quais o postulado paralelo não é válido. ^[34] Uma vez que a geometria não-euclidiana é comprovadamente relativamente consistente com a geometria euclidiana, o postulado paralelo não pode ser provado a partir dos outros postulados.

No século 19, também se percebeu que os dez axiomas e noções comuns de Euclides não são suficientes para provar todos os teoremas declarados nos Elementos . Por exemplo, Euclides assumiu implicitamente que qualquer linha contém pelo menos dois pontos, mas essa suposição não pode ser provada a partir dos outros axiomas e, portanto, deve ser um axioma em si. A primeira prova geométrica nos Elementos, mostrada na figura acima, é que qualquer segmento de linha é parte de um triângulo; Euclides constrói isso da maneira usual, desenhando círculos ao redor de ambas as extremidades e tomando sua interseção como o terceiro vértice . Seus axiomas, entretanto, não garantem que os círculos realmente se cruzem, porque eles não afirmam a propriedade geométrica de continuidade, que em termos cartesianos é equivalente à propriedade de completude dos números reais. Começando com Moritz Pasch em 1882, muitos sistemas axiomáticos aprimorados para geometria foram propostos, sendo os mais conhecidos os de Hilbert , ^[35] George Birkhoff , ^[36] e Tarski . ^[37]

Século 20 e relatividade

Uma refutação da geometria euclidiana como uma descrição do espaço físico. Em um teste de 1919 da teoria da relatividade geral, estrelas (marcadas com linhas horizontais curtas) foram fotografadas durante um eclipse solar . Os raios da luz das estrelas foram curvados pela gravidade do Sol em seu caminho para a Terra. Isso é interpretado como evidência a favor da previsão de Einstein de que a gravidade causaria desvios da geometria euclidiana.

A teoria da relatividade especial de Einstein envolve um espaço-tempo quadridimensional , o espaço de Minkowski , que é não euclidiano . Isso mostra que as geometrias não euclidianas, introduzidas alguns anos antes para mostrar que o postulado paralelo não pode ser provado, também são úteis para descrever o mundo físico.

No entanto, a "parte espacial" tridimensional do espaço de Minkowski permanece o espaço da geometria euclidiana. Este não é o caso da relatividade geral , para a qual a geometria da parte espacial do espaço-tempo não é a geometria euclidiana. ^[38] Por exemplo, se um triângulo é construído com três raios de luz, então, em geral, os ângulos internos não somam 180 graus devido à gravidade. Um campo gravitacional relativamente fraco, como o da Terra ou do Sol, é representado por uma métrica que é aproximadamente, mas não exatamente, euclidiana. Até o século 20, não havia tecnologia capaz de detectar os desvios da geometria euclidiana, mas Einstein previu que tais desvios existiriam. Eles foram posteriormente verificados por observações como a ligeira curvatura da luz das estrelas pelo Sol durante um eclipse solar em 1919, e tais considerações agora são parte integrante do software que executa o sistema GPS . ^[39]

Objetos infinitos

Euclides às vezes distinguia explicitamente entre "linhas finitas" (por exemplo, Postulado 2) e " linhas infinitas " (livro I, proposição 12). No entanto, ele normalmente não fazia essas distinções, a menos que fossem necessárias. Os postulados não se referem explicitamente a linhas infinitas, embora, por exemplo, alguns comentadores interpretem o postulado 3, a existência de um círculo com qualquer raio, como implicando que o espaço é infinito. ^[26]

A noção de quantidades infinitesimais já havia sido discutida extensivamente pela Escola Eleática , mas ninguém tinha sido capaz de colocá-las em uma base lógica firme, com paradoxos como o de Zenão ocorrendo que não foram resolvidos para satisfação universal. Euclides usou o método da exaustão em vez dos infinitesimais. ^[40]

Mais tarde, comentaristas antigos, como Proclus (410-485 DC), trataram muitas questões sobre o infinito como questões que exigiam provas e, por exemplo, Proclus alegou provar a divisibilidade infinita de uma linha, com base em uma prova por contradição em que considerou os casos de números pares e ímpares de pontos que o constituem. ^[41]

Na virada do século 20, Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese e outros produziram trabalhos controversos sobre modelos não arquimedianos da geometria euclidiana, nos quais a distância entre dois pontos pode ser infinita ou infinitesimal, no Newton - Sentido Leibniz . ^[42] Cinquenta anos depois, Abraham Robinson forneceu uma base lógica rigorosa para o trabalho de Veronese. ^[43]

Processos infinitos

Uma razão pela qual os antigos tratavam o postulado paralelo como menos certo do que os outros é que verificá-lo fisicamente exigiria que inspecionássemos duas linhas para verificar se elas nunca se cruzaram, mesmo em algum ponto muito distante, e esta inspeção poderia potencialmente levar uma quantidade infinita de tempo. ^[44]

A formulação moderna da prova por indução não foi desenvolvida até o século 17, mas alguns comentaristas posteriores a consideram implícita em algumas das provas de Euclides, por exemplo, a prova da infinitude dos primos. ^[45]

Supostos paradoxos envolvendo séries infinitas, como o paradoxo de Zenão , são anteriores a Euclides. Euclides evitou tais discussões, dando, por exemplo, a expressão para as somas parciais da série geométrica em IX.35 sem comentar a possibilidade de deixar o número de termos tornar-se infinito.

Lógica clássica

Euclides freqüentemente usava o método da prova por contradição e, portanto, a apresentação tradicional da geometria euclidiana assume a lógica clássica , na qual toda proposição é verdadeira ou falsa, ou seja, para qualquer proposição P, a proposição "P ou não P" é automaticamente verdadeira. .

Padrões modernos de rigor

Colocar a geometria euclidiana em uma base axiomática sólida foi uma preocupação dos matemáticos durante séculos. ^[46] O papel das noções primitivas , ou conceitos indefinidos, foi claramente apresentado por Alessandro Padoa da delegação de Peano na conferência de Paris de 1900: ^{[46] [47]}

... quando começamos a formular a teoria, podemos imaginar que os símbolos indefinidos são completamente desprovidos de significado e que as proposições não comprovadas são simplesmente condições impostas sobre os símbolos indefinidos.

Então, o sistema de idéias que escolhemos inicialmente é simplesmente uma interpretação dos símbolos indefinidos; mas .. esta interpretação pode ser ignorada pelo leitor, que é livre para substituí-la em sua mente por outra interpretação .. que satisfaça as condições ...

As questões lógicas, portanto, tornam-se completamente independentes de questões empíricas ou psicológicas ...

O sistema de símbolos indefinidos pode então ser considerado como a abstração obtida das teorias especializadas que resultam quando ... o sistema de símbolos indefinidos é sucessivamente substituído por cada uma das interpretações ...

-  Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introdução logique à une théorie déductive quelconque

Ou seja, a matemática é o conhecimento independente do contexto dentro de uma estrutura hierárquica. Como disse Bertrand Russell : ^[48]

Se nossa hipótese é sobre qualquer coisa , e não sobre alguma ou mais coisas particulares, então nossas deduções constituem a matemática. Assim, a matemática pode ser definida como o assunto em que nunca sabemos do que estamos falando, nem se o que estamos dizendo é verdade.

-  Bertrand Russell, Matemática e os metafísicos

Essas abordagens fundamentais variam entre o fundacionalismo e o formalismo .

Formulações axiomáticas

A geometria é a ciência do raciocínio correto sobre figuras incorretas.

-  George Pólya , Como Resolvê-lo , p. 208

• Axiomas de Euclides: Em sua dissertação para o Trinity College, Cambridge, Bertrand Russell resumiu a mudança do papel da geometria de Euclides nas mentes dos filósofos até então. ^[49] Era um conflito entre certo conhecimento, independente do experimento, e o empirismo, exigindo informações experimentais. Essa questão ficou clara à medida que se descobriu que o postulado do paralelo não era necessariamente válido e sua aplicabilidade era uma questão empírica, decidindo se a geometria aplicável era euclidiana ou não euclidiana .
• Axiomas de Hilbert : os axiomas de Hilbert tinham o objetivo de identificar um conjunto simples e completo de axiomas independentes a partir dos quais os teoremas geométricos mais importantes poderiam ser deduzidos. Os objetivos principais eram tornar a geometria euclidiana rigorosa (evitando suposições ocultas) e tornar claras as ramificações do postulado paralelo.
• Axiomas de Birkhoff : Birkhoff propôs quatro postulados para a geometria euclidiana que podem ser confirmados experimentalmente com escala e transferidor. Este sistema depende muito das propriedades dos números reais . ^{[50] [51] [52]} As noções de ângulo e distância tornam-se conceitos primitivos. ^[53]
• Axiomas de Tarski : Alfred Tarski (1902-1983) e seus alunos definiram a geometria euclidiana elementar como a geometria que pode ser expressa na lógica de primeira ordem e não depende da teoria dos conjuntos para sua base lógica, ^[54] em contraste com os axiomas de Hilbert, que envolvem conjuntos de pontos. ^[55] Tarski provou que sua formulação axiomática da geometria euclidiana elementar é consistente e completa em um certo sentido : há um algoritmo que, para cada proposição, pode ser mostrado como verdadeiro ou falso. ^[37] (Isso não viola o teorema de Gödel , porque a geometria euclidiana não pode descrever uma quantidade suficiente de aritmética para o teorema aplicar. ^[56] ) Isso é equivalente à decidibilidade de campos fechados reais , dos quais a geometria euclidiana elementar é um modelo.

• Geometria absoluta
• Geometria analítica
• Axiomas de Birkhoff
• Sistema de coordenada cartesiana
• Axiomas de Hilbert
• Geometria de incidência
• Lista de software de geometria interativa
• Espaço métrico
• Geometria não euclidiana
• Geometria ordenada
• Postulado paralelo
• Teoria de tipo

Teoremas clássicos

• Teorema da bissetriz do ângulo
• Teorema da borboleta
• Teorema de Ceva
• Fórmula de garça
• Teorema de Menelau
• Círculo de nove pontos
• teorema de Pitágoras

• Ball, WW Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4ª ed. [Reimpressão. Publicação original: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). Nova York: Dover Publications. pp.  50–62 . ISBN 0-486-20630-0.
• Coxeter, HSM (1961). Introdução à geometria . Nova York: Wiley.
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One) . Allyn e Bacon.
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2ª ed. [Fac-símile. Publicação original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nova York: Dover Publications.Em 3 vols .: vol. 1 ISBN  0-486-60088-2 , vol. 2 ISBN  0-486-60089-0 , vol. 3 ISBN  0-486-60090-4 . Tradução autorizada de Elementos de Euclides de Heath, além de sua extensa pesquisa histórica e comentários detalhados ao longo do texto.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitação . WH Freeman.
• Mlodinow (2001). Janela de Euclides . The Free Press.
• Nagel, E .; Newman, JR (1958). Prova de Gödel . New York University Press.
• Tarski, Alfred (1951). Um método de decisão para álgebra elementar e geometria . Univ. da California Press.

• "Euclidean geometry" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Plane trigonometry" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound (um tratamento que usa geometria analítica; formato PDF, licença GFDL)