Disco (matemática)

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Disco com circunferência (C) em preto, diâmetro (D) em ciano, raio (R) em vermelho e centro (O) em magenta.

Em geometria , um disco (também escrito disco ) [1] é a região em um plano delimitado por um círculo . Diz- se que um disco está fechado se contém o círculo que constitui seu limite e aberto se não contém . [2]

Fórmulas

Em coordenadas cartesianas , o disco aberto de centro e raio R é dado pela fórmula [1]

enquanto o disco fechado do mesmo centro e raio é dado por

A área de um disco fechado ou aberto de raio R é π R 2 (ver área de um disco ). [3]

Propriedades

O disco tem simetria circular . [4]

O disco aberto e o disco fechado não são topologicamente equivalentes (ou seja, não são homeomórficos ), pois possuem propriedades topológicas diferentes entre si. Por exemplo, todo disco fechado é compacto enquanto todo disco aberto não é compacto. [5] No entanto, do ponto de vista da topologia algébrica, eles compartilham muitas propriedades: ambos são contráteis [6] e, portanto, são homotópicos equivalentes a um único ponto. Isto implica que os seus grupos fundamentais são triviais, e todos os grupos de homologia são triviais exceto o 0, que é isomorfo a Z . A característica de Eulerde um ponto (e, portanto, também de um disco fechado ou aberto) é 1. [7]

Todo mapa contínuo do disco fechado para si mesmo tem pelo menos um ponto fixo (não exigimos que o mapa seja bijetivo ou mesmo sobrejetivo ); este é o caso n = 2 do teorema do ponto fixo de Brouwer . [8] A afirmação é falsa para o disco aberto: [9]

Considere, por exemplo, a função que mapeia cada ponto do disco da unidade aberta para outro ponto no disco da unidade aberta à direita daquele dado. Mas para o disco da unidade fechada, ele fixa todos os pontos do semicírculo

Veja também

  • Disco unitário , um disco com raio um
  • Anel (matemática) , a região entre dois círculos concêntricos
  • Bola (matemática) , o termo usual para o análogo tridimensional de um disco
  • Álgebra de disco , um espaço de funções em um disco
  • Disco ortocentroidal , contendo certos centros de um triângulo

Referências

  1. ^ a b Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics , Oxford University Press, p. 138, ISBN 9780199679591.
  2. ^ Arnold, BH (2013), Intuitive Concepts in Elementary Topology , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 58, ISBN 9780486275765.
  3. ^ Rotman, Joseph J. (2013), Journey into Mathematics: An Introduction to Proofs , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 44, ISBN 9780486151687.
  4. ^ Altmann, Simon L. (1992). Ícones e simetrias . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 9780198555995. simetria circular do disco.
  5. ^ Maudlin, Tim (2014), New Foundations for Physical Geometry: The Theory of Linear Structures , Oxford University Press, p. 339, ISBN 9780191004551.
  6. ^ Cohen, Daniel E. (1989), Combinatorial Group Theory: A Topological Approach , Textos do estudante da London Mathematical Society, 14 , Cambridge University Press, p. 79, ISBN 9780521349369.
  7. ^ Em dimensões superiores, a característica Euler de uma bola fechada permanece igual a +1, mas a característica Euler de uma bola aberta é +1 para bolas de dimensão par e -1 para bolas de dimensão ímpar. Veja Klain, Daniel A .; Rota, Gian-Carlo (1997), Introdução à Probabilidade Geométrica , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, pp. 46-50.
  8. ^ Arnold (2013) , p. 132
  9. ^ Arnold (2013) , Ex. 1, pág. 135
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