Análise dimensional

Em engenharia e ciência , a análise dimensional é a análise das relações entre diferentes quantidades físicas , identificando suas quantidades básicas (como comprimento , massa , tempo e carga elétrica ) e unidades de medida (como milhas x quilômetros ou libras x . quilogramas) e rastreando essas dimensões à medida que cálculos ou comparações são realizados. A conversão de unidades de uma unidade dimensional para outra é muitas vezes mais fácil dentro da métrica ou SIsistema do que em outros, devido à base 10 regular em todas as unidades. A análise dimensional, ou mais especificamente o método de rótulo de fator , também conhecido como método de fator de unidade , é uma técnica amplamente usada para tais conversões usando as regras da álgebra . ^{[1] [2] [3]}

Quantidades físicas comensuráveis são do mesmo tipo e têm a mesma dimensão, e podem ser comparadas diretamente entre si, mesmo se forem originalmente expressas em unidades de medida diferentes, por exemplo, jardas e metros, libras (massa) e quilogramas, segundos e anos . As quantidades físicas incomensuráveis ​​são de diferentes tipos e têm diferentes dimensões e não podem ser comparadas diretamente entre si, independentemente das unidades em que são expressas originalmente, por exemplo, metros e quilogramas, segundos e quilogramas, metros e segundos. Por exemplo, perguntar se um quilograma é maior que uma hora não faz sentido.

Qualquer fisicamente significativa equação ou desigualdade , devem ter as mesmas dimensões em seus lados esquerdo e direito, uma propriedade conhecida como a homogeneidade dimensional . A verificação da homogeneidade dimensional é uma aplicação comum da análise dimensional, servindo como uma verificação de plausibilidade em equações e cálculos derivados . Também serve como guia e restrição na derivação de equações que podem descrever um sistema físico na ausência de uma derivação mais rigorosa.

O conceito de dimensão física e de análise dimensional foi introduzido por Joseph Fourier em 1822. ^[4]

Números de betão e unidades de base [ editar ]

Muitos parâmetros e medidas nas ciências físicas e na engenharia são expressos como um número concreto - uma quantidade numérica e uma unidade dimensional correspondente. Freqüentemente, uma quantidade é expressa em termos de várias outras quantidades; por exemplo, a velocidade é uma combinação de comprimento e tempo, por exemplo, 60 quilômetros por hora ou 1,4 quilômetros por segundo. Relações compostas com "por" são expressas com divisão , por exemplo, 60 km / 1 h. Outras relações pode envolver multiplicação (frequentemente mostrado com um ponto centrado ou justaposição ), poderes (como m ² para metros quadrados), ou combinações dos mesmos.

Um conjunto de unidades básicas para um sistema de medição é um conjunto convencionalmente escolhido de unidades, nenhuma das quais pode ser expressa como uma combinação das outras e em termos das quais todas as unidades restantes do sistema podem ser expressas. ^[5] Por exemplo, as unidades de comprimento e tempo são normalmente escolhidas como unidades básicas. As unidades de volume , no entanto, podem ser fatoradas nas unidades básicas de comprimento (m ³ ), portanto, são consideradas unidades derivadas ou compostas.

Às vezes, os nomes das unidades obscurecem o fato de que são unidades derivadas. Por exemplo, um newton (N) é uma unidade de força , que tem unidades de massa (kg) vezes unidades de aceleração (m⋅s ⁻² ). O newton é definido como 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

Percentagens e derivados [ editar ]

As porcentagens são grandezas adimensionais, pois são relações de duas grandezas com as mesmas dimensões. Em outras palavras, o sinal% pode ser lido como "centésimos", já que 1% = 1/100 .

Tirar uma derivada em relação a uma quantidade adiciona a dimensão da variável que se diferencia em relação a, no denominador. Por isso:

• a posição ( x ) tem a dimensão L (comprimento);
• a derivada da posição em relação ao tempo ( dx / dt , velocidade ) tem dimensão LT ^{−1 -} comprimento da posição, tempo devido ao gradiente;
• a segunda derivada ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , aceleração ) tem dimensão LT ⁻² .

Em economia, distingue-se entre estoques e fluxos : um estoque tem unidades de "unidades" (digamos, widgets ou dólares), enquanto um fluxo é um derivado de um estoque e tem unidades de "unidades / tempo" (digamos, dólares / ano).

Em alguns contextos, as quantidades dimensionais são expressas como quantidades adimensionais ou porcentagens, omitindo algumas dimensões. Por exemplo, os rácios dívida / PIB são geralmente expressos como percentagens: dívida total pendente (dimensão da moeda) dividido pelo PIB anual (dimensão da moeda) - mas pode-se argumentar que, ao comparar um estoque com um fluxo, o PIB anual deve têm dimensões de moeda / tempo (dólares / ano, por exemplo) e, portanto, Dívida / PIB deve ter unidades de anos, o que indica que Dívida / PIB é o número de anos necessários para um PIB constante para pagar a dívida, se todo o PIB for gasto com a dívida e a dívida permanecer inalterada.

Fator de conversão [ editar ]

Na análise dimensional, uma razão que converte uma unidade de medida em outra sem alterar a quantidade é chamada de fator de conversão . Por exemplo, kPa e bar são unidades de pressão e 100 kPa = 1 bar . As regras de álgebra permitem que ambos os lados de uma equação sejam divididos pela mesma expressão, então isso é equivalente a 100 kPa / 1 bar = 1 . Uma vez que qualquer quantidade pode ser multiplicada por 1 sem alterá-la, a expressão " 100 kPa / 1 bar " pode ser usada para converter barras em kPa multiplicando-a pela quantidade a ser convertida, incluindo unidades. Por exemplo, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa porque 5 × 100/1 = 500 , e bar / bar cancela, então 5 bar = 500 kPa.

Homogeneidade dimensional [ editar ]

A regra mais básica da análise dimensional é a da homogeneidade dimensional. ^[6]

Apenas quantidades comensuráveis ​​(quantidades físicas com a mesma dimensão) podem ser comparadas , equacionadas , adicionadas ou subtraídas .

No entanto, as dimensões formam um grupo abeliano sob multiplicação, então:

Pode-se pegar proporções de quantidades incomensuráveis (quantidades com dimensões diferentes) e multiplicá - las ou dividi- las.

Por exemplo, não faz sentido perguntar se 1 hora é mais, igual ou menos de 1 quilômetro, pois estes têm dimensões diferentes, nem somar 1 hora a 1 quilômetro. No entanto, faz todo o sentido perguntar se 1 milha é mais, o mesmo ou menos de 1 quilômetro sendo a mesma dimensão da quantidade física, embora as unidades sejam diferentes. Por outro lado, se um objeto percorre 100 km em 2 horas, pode-se dividi-los e concluir que a velocidade média do objeto foi de 50 km / h.

A regra implica que, em uma expressão fisicamente significativa, apenas quantidades da mesma dimensão podem ser adicionadas, subtraídas ou comparadas. Por exemplo, se m _homem , m _rato e L _homem denotam, respectivamente, a massa de algum homem, a massa de um rato e o comprimento desse homem, a expressão dimensionalmente homogênea m _homem + m _rato é significativa, mas a expressão heterogênea m _man + L _man não tem sentido. No entanto, m _man / L ² _manestá bem. Assim, a análise dimensional pode ser usada como uma verificação de sanidade das equações físicas: os dois lados de qualquer equação devem ser comensuráveis ​​ou ter as mesmas dimensões.

Isso tem a implicação de que a maioria das funções matemáticas, particularmente as funções transcendentais , deve ter uma quantidade adimensional, um número puro, como argumento e deve retornar um número adimensional como resultado. Isso é claro porque muitas funções transcendentais podem ser expressas como uma série de potências infinitas com coeficientes adimensionais.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots }$

Todas as potências de x devem ter a mesma dimensão para que os termos sejam comensuráveis. Mas se x não for adimensional, então as diferentes potências de x terão dimensões diferentes e incomensuráveis. No entanto, funções de poder incluindo funções raiz podem ter um argumento dimensional e retornarão um resultado com dimensão que é o mesmo poder aplicado à dimensão do argumento. Isso ocorre porque as funções de potência e as funções raiz são, vagamente, apenas uma expressão da multiplicação de quantidades.

Mesmo quando duas grandezas físicas têm dimensões idênticas, pode não fazer sentido compará-las ou adicioná-las. Por exemplo, embora o torque e a energia compartilhem a dimensão L ² M T ⁻² , eles são quantidades físicas fundamentalmente diferentes.

Para comparar, adicionar ou subtrair quantidades com as mesmas dimensões, mas expressas em unidades diferentes, o procedimento padrão é primeiro convertê-las todas nas mesmas unidades. Por exemplo, para comparar 32 metros com 35 jardas , use 1 jarda = 0,9144 m para converter 35 jardas em 32,004 m.

Um princípio relacionado é que qualquer lei física que descreva com precisão o mundo real deve ser independente das unidades usadas para medir as variáveis ​​físicas. ^[7] Por exemplo, as leis do movimento de Newton devem ser verdadeiras quer a distância seja medida em milhas ou quilômetros. Este princípio dá origem à forma que os fatores de conversão devem assumir entre unidades que medem a mesma dimensão: a multiplicação por uma constante simples. Também garante equivalência; por exemplo, se dois edifícios têm a mesma altura em pés, eles devem ter a mesma altura em metros.

O método de rótulo fator para unidades de conversão [ editar ]

O método de rótulo de fator é a aplicação sequencial de fatores de conversão expressos como frações e dispostos de modo que qualquer unidade dimensional que apareça tanto no numerador quanto no denominador de qualquer uma das frações pode ser cancelada até que apenas o conjunto desejado de unidades dimensionais seja obtido. Por exemplo, 10 milhas por hora podem ser convertidas em metros por segundo usando uma sequência de fatores de conversão conforme mostrado abaixo:

${\displaystyle {\frac {10\ {\cancel {\text{mile}}}}{1\ {\cancel {\text{hour}}}}}\times {\frac {1609.344{\text{ meter}}}{1\ {\cancel {\text{mile}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {\text{hour}}}}{3600{\text{ second}}}}=4.4704\ {\frac {\text{meter}}{\text{second}}}.}$

Cada fator de conversão é escolhido com base na relação entre uma das unidades originais e uma das unidades desejadas (ou alguma unidade intermediária), antes de ser reorganizado para criar um fator que cancela a unidade original. Por exemplo, como "milha" é o numerador na fração original e "milha" deverá ser o denominador no fator de conversão. Dividindo ambos os lados da equação por 1 milha resulta , que quando simplificado resulta no adimensional . Multiplicar qualquer quantidade (quantidade física ou não) pelo adimensional 1 não muda essa quantidade. Uma vez que isso e o fator de conversão para segundos por hora foram multiplicados pela fração original para cancelar as unidades de milha e hora${\displaystyle 1\ {\text{mile}}=1609.344\ {\text{meter}}}$${\displaystyle {\frac {1\ {\text{mile}}}{1\ {\text{mile}}}}={\frac {1609.344\ {\text{meter}}}{1\ {\text{mile}}}}}$${\displaystyle 1={\frac {1609.344\ {\text{meter}}}{1\ {\text{mile}}}}}$, 10 milhas por hora se convertem em 4,4704 metros por segundo.

Como um exemplo mais complexo, a concentração de óxidos de nitrogênio (ou seja, ) no gás de combustão de um forno industrial pode ser convertida em uma taxa de fluxo de massa expressa em gramas por hora (ou seja, g / h) usando as seguintes informações como mostrado abaixo: NO x {\displaystyle \color {Blue}{\ce {NO}}_{x}} ${\displaystyle {\ce {NO}}_{x}}$

Concentração de NO _x

= 10 partes por milhão em volume = 10 ppmv = 10 volumes / 10 ⁶ volumes

NO _x massa molar

= 46 kg / kmol = 46 g / mol

Taxa de fluxo do gás de combustão

= 20 metros cúbicos por minuto = 20 m ³ / min

O gás de combustão sai do forno a 0 ° C de temperatura e 101,325 kPa de pressão absoluta.

O volume molar de um gás a 0 ° C de temperatura e 101,325 kPa é 22,414 m ³ / kmol .

${\displaystyle {\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {46\ {\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}{1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}{22.414\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}}\times {\frac {10\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}{10^{6}\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}}\times {\frac {20\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}{1\ {\cancel {\ce {minute}}}}}\times {\frac {60\ {\cancel {\ce {minute}}}}{1\ {\ce {hour}}}}=24.63\ {\frac {{\ce {g\ NO}}_{x}}{\ce {hour}}}}$

Depois de cancelar quaisquer unidades dimensionais que aparecem nos numeradores e denominadores das frações na equação acima, a concentração de NO _x de 10 ppm _{v se} converte em uma taxa de fluxo de massa de 24,63 gramas por hora.

Verificando equações que envolvem dimensões [ editar ]

O método de rótulo de fator também pode ser usado em qualquer equação matemática para verificar se as unidades dimensionais no lado esquerdo da equação são ou não iguais às unidades dimensionais no lado direito da equação. Ter as mesmas unidades em ambos os lados de uma equação não garante que a equação esteja correta, mas ter unidades diferentes nos dois lados (quando expressas em termos de unidades básicas) de uma equação implica que a equação está errada.

Por exemplo, verifique a equação da Lei Universal dos Gases de PV = nRT , quando:

• a pressão P está em pascal (Pa)
• o volume V está em metros cúbicos (m ³ )
• a quantidade de substância n está em moles (mol)
• a constante da lei universal dos gases R é 8,3145 Pa⋅m ³ / (mol⋅K)
• a temperatura T está em Kelvins (K)

${\displaystyle {\ce {Pa.m^3}}={\frac {\cancel {{\ce {mol}}}}{1}}\times {\frac {{\ce {Pa.m^3}}}{{\cancel {{\ce {mol}}}}\ {\cancel {{\ce {K}}}}}}\times {\frac {\cancel {{\ce {K}}}}{1}}}$

Como pode ser visto, quando as unidades dimensionais que aparecem no numerador e denominador do lado direito da equação são canceladas, ambos os lados da equação têm as mesmas unidades dimensionais. A análise dimensional pode ser usada como uma ferramenta para construir equações que relacionam propriedades físico-químicas não associadas. As equações podem revelar propriedades da matéria até então desconhecidas ou negligenciadas, na forma de dimensões remanescentes - ajustadores dimensionais - que podem então receber significado físico. É importante ressaltar que tal 'manipulação matemática' não é sem precedentes, nem sem considerável significado científico. Na verdade, a constante de Planck, uma constante fundamental do universo,foi 'descoberta' como uma abstração ou representação puramente matemática que se baseou na equação de Rayleigh-Jeans para prevenir a catástrofe ultravioleta. Ele foi atribuído e ascendeu ao seu significado físico quântico tanto em conjunto quanto após o ajuste dimensional matemático - não antes.

Limitações [ editar ]

O método fator-rótulo pode converter apenas quantidades de unidades para as quais as unidades estão em uma relação linear que se cruza em 0. ( Escala de razão na tipologia de Stevens) A maioria das unidades se encaixa neste paradigma. Um exemplo para o qual não pode ser usado é a conversão entre graus Celsius e Kelvins (ou graus Fahrenheit ). Entre os graus Celsius e Kelvins, há uma diferença constante em vez de uma proporção constante, enquanto entre os graus Celsius e os graus Fahrenheit não há uma diferença constante nem uma proporção constante. Há, no entanto, uma transformação afim (em vez de uma transformação linear ) entre eles.${\displaystyle x\mapsto ax+b}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$

Por exemplo, o ponto de congelamento da água é 0 ° C e 32 ° F, e uma mudança de 5 ° C é o mesmo que uma mudança de 9 ° F. Assim, para converter de unidades de Fahrenheit para unidades de Celsius, subtrai-se 32 ° F (o deslocamento do ponto de referência), divide por 9 ° F e multiplica por 5 ° C (escalas pela proporção de unidades) e adiciona 0 ° C (o deslocamento do ponto de referência). Reverter isso resulta na fórmula para obter uma quantidade em unidades de Celsius a partir de unidades de Fahrenheit; alguém poderia ter começado com a equivalência entre 100 ° C e 212 ° F, embora isso resultasse na mesma fórmula no final.

Portanto, para converter o valor da quantidade numérica de uma temperatura T [F] em graus Fahrenheit para um valor de quantidade numérica T [C] em graus Celsius, esta fórmula pode ser usada:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9.

Para converter T [C] em graus Celsius para T [F] em graus Fahrenheit, esta fórmula pode ser usada:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

Aplicações [ editar ]

A análise dimensional é mais frequentemente usada em física e química - e na matemática disso - mas também encontra algumas aplicações fora desses campos.

Matemática [ editar ]

A simples aplicação de análise dimensional à matemática é no cálculo da forma do volume de um n -ball (a bola sólido em n dimensões), ou a área da sua superfície, o n -sphere : ser um n figura -dimensional, o escala de volume enquanto a área de superfície, sendo -dimensional, escala como Assim, o volume da bola n em termos de raio é para alguma constante Determinar a constante requer matemática mais envolvente, mas a forma pode ser deduzida e verificada por análise dimensional sozinho.${\displaystyle x^{n},}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle x^{n-1}.}$${\displaystyle C_{n}r^{n},}$${\displaystyle C_{n}.}$

Finanças, economia e contabilidade [ editar ]

Em finanças, economia e contabilidade, a análise dimensional é mais comumente referida em termos da distinção entre estoques e fluxos . De forma mais geral, a análise dimensional é usada na interpretação de vários índices financeiros , índices econômicos e índices contábeis.

• Por exemplo, o índice P / L tem dimensões de tempo (unidades de anos) e pode ser interpretado como "anos de ganhos para ganhar o preço pago".
• Em economia, a relação dívida / PIB também tem unidades de anos (dívida tem unidades de moeda, PIB tem unidades de moeda / ano).
• Na análise financeira, alguns tipos de duração de títulos também têm dimensão de tempo (unidade de anos) e podem ser interpretados como ”anos para equilibrar o ponto entre os pagamentos de juros e o reembolso nominal”.
• A velocidade do dinheiro tem unidades de 1 / ano (PIB / oferta de moeda tem unidades de moeda / ano sobre a moeda): a freqüência com que uma unidade de moeda circula por ano.
• As taxas de juros são freqüentemente expressas como uma porcentagem, mas mais apropriadamente como uma porcentagem ao ano, que tem dimensões de 1 / ano.

Mecânica dos fluidos [ editar ]

Na mecânica dos fluidos , a análise dimensional é realizada a fim de obter termos ou grupos pi adimensionais . De acordo com os princípios da análise dimensional, qualquer protótipo pode ser descrito por uma série desses termos ou grupos que descrevem o comportamento do sistema. Usando termos ou grupos pi adequados, é possível desenvolver um conjunto semelhante de termos pi para um modelo que possui as mesmas relações dimensionais. ^[8] Em outras palavras, os termos pi fornecem um atalho para o desenvolvimento de um modelo que representa um certo protótipo. Grupos adimensionais comuns em mecânica dos fluidos incluem:

• Número de Reynolds (Re), geralmente importante em todos os tipos de problemas de fluido:

  ${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}}$.

• Número de Froude (Fr), modelagem de fluxo com superfície livre:

  ${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$

• Número de Euler (Eu), usado em problemas nos quais a pressão é de interesse:

  ${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$

• Número de Mach (Ma), importante em fluxos de alta velocidade onde a velocidade se aproxima ou excede a velocidade local do som:

  ${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$onde: c é a velocidade local do som.

História [ editar ]

As origens da análise dimensional foram contestadas por historiadores. ^{[9] [10]}

A primeira aplicação escrita da análise dimensional foi creditada a um artigo de François Daviet na Academia de Ciências de Torino . Daviet teve o mestre Lagrange como professor. Suas obras fundamentais estão contidas na acta da Academia datada de 1799. ^[10]

Isso levou à conclusão de que as leis significativas devem ser equações homogêneas em suas várias unidades de medida, um resultado que foi posteriormente formalizado no teorema π de Buckingham . Simeon Poisson também tratou do mesmo problema da lei do paralelogramo de Daviet, em seu tratado de 1811 e 1833 (vol I, p.39). ^[11] Na segunda edição de 1833, Poisson introduz explicitamente o termo dimensão em vez da homogeneidade de Daviet .

Em 1822, o importante cientista napoleônico Joseph Fourier fez as primeiras contribuições importantes creditadas ^{[12] com} base na ideia de que leis físicas como F = ma deveriam ser independentes das unidades empregadas para medir as variáveis ​​físicas.

Maxwell desempenhou um papel importante no estabelecimento do uso moderno da análise dimensional, distinguindo massa, comprimento e tempo como unidades fundamentais, enquanto se referia a outras unidades como derivadas. ^[13] Embora Maxwell tenha definido comprimento, tempo e massa como "as três unidades fundamentais", ele também observou que a massa gravitacional pode ser derivada de comprimento e tempo, assumindo uma forma da lei da gravitação universal de Newton em que a constante gravitacional G é tomado como unidade, definindo assim M = L ³ T ⁻² . ^[14] Assumindo uma forma da lei de Coulomb na qual o k _e constante de Coulombé tomado como unidade, Maxwell então determinou que as dimensões de uma unidade eletrostática de carga eram Q = L ^3/2 M ^1/2 T ⁻¹ , ^[15] que, após substituir sua equação M = L ³ T ⁻² para massa , resulta em carga com as mesmas dimensões que a massa, viz. Q = L ³ T ⁻² .

A análise dimensional também é usada para derivar relações entre as quantidades físicas que estão envolvidas em um determinado fenômeno que se deseja compreender e caracterizar. Foi usado pela primeira vez ( Pesic 2005 ) dessa forma em 1872 por Lord Rayleigh , que estava tentando entender por que o céu é azul. Rayleigh publicou a técnica pela primeira vez em seu livro de 1877, The Theory of Sound . ^[16]

O significado original da palavra dimensão , na Teoria de la Chaleur de Fourier , era o valor numérico dos expoentes das unidades básicas. Por exemplo, a aceleração foi considerada como tendo a dimensão 1 em relação à unidade de comprimento e a dimensão −2 em relação à unidade de tempo. ^[17] Isso foi ligeiramente alterado por Maxwell, que disse que as dimensões da aceleração são LT- ² , em vez de apenas os expoentes. ^[18]

Formulação matemática [ editar ]

O teorema π de Buckingham descreve como cada equação fisicamente significativa envolvendo n variáveis ​​pode ser reescrita equivalentemente como uma equação de n - m parâmetros adimensionais, onde m é a classificação da matriz dimensional. Além disso, e mais importante, ele fornece um método para calcular esses parâmetros adimensionais a partir das variáveis ​​fornecidas.

Uma equação dimensional pode ter as dimensões reduzidas ou eliminadas por meio da não dimensionalização , que começa com a análise dimensional e envolve o dimensionamento de quantidades por unidades características de um sistema ou unidades naturais da natureza. Isso fornece uma visão sobre as propriedades fundamentais do sistema, conforme ilustrado nos exemplos abaixo.

Definição [ editar ]

A dimensão de uma quantidade física pode ser expressa como um produto das dimensões físicas básicas, como comprimento , massa e tempo , cada uma elevada a uma potência racional . A dimensão de uma quantidade física é mais fundamental do que alguma unidade de escala usada para expressar a quantidade dessa quantidade física. Por exemplo, a massa é uma dimensão, enquanto o quilograma é uma unidade de escala particular escolhida para expressar uma quantidade de massa. Exceto para unidades naturais , a escolha da escala é cultural e arbitrária.

Existem muitas opções possíveis de dimensões físicas básicas. O padrão SI recomenda o uso das seguintes dimensões e símbolos correspondentes: comprimento (L), massa (M), tempo (T), corrente elétrica (I), temperatura absoluta (Θ), quantidade de substância (N) e intensidade luminosa (J). Os símbolos são, por convenção, geralmente escritos em fonte roman sans serif . ^[19] Matematicamente, a dimensão da quantidade Q é dada por

${\displaystyle {\text{dim}}~{Q}={\mathsf {L}}^{a}{\mathsf {M}}^{b}{\mathsf {T}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}$

onde a , b , c , d , e , f , g são os expoentes dimensionais. Outras grandezas físicas podem ser definidas como as grandezas básicas, desde que formem uma base linearmente independente . Por exemplo, pode-se substituir a dimensão da corrente elétrica (I) da base do SI por uma dimensão da carga elétrica (Q), uma vez que Q = IT.

Como exemplos, a dimensão da velocidade da quantidade física v é

${\displaystyle {\text{dim}}~v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {LT}}^{-1}}$

e a dimensão da força física F é

${\displaystyle {\text{dim}}~F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\text{mass}}\times {\frac {\text{length}}{{\text{time}}^{2}}}={\frac {\mathsf {ML}}{{\mathsf {T}}^{2}}}={\mathsf {MLT}}^{-2}}$

A unidade escolhida para expressar uma quantidade física e sua dimensão estão relacionadas, mas não são conceitos idênticos. As unidades de uma quantidade física são definidas por convenção e relacionadas a algum padrão; por exemplo, o comprimento pode ter unidades de metros, pés, polegadas, milhas ou micrômetros; mas qualquer comprimento sempre tem uma dimensão de L, não importa quais unidades de comprimento sejam escolhidas para expressá-lo. Duas unidades diferentes da mesma quantidade física têm fatores de conversão que as relacionam. Por exemplo, 1  pol = 2,54  cm ; neste caso (2,54 cm / in) é o fator de conversão, que por sua vez é adimensional. Portanto, a multiplicação por esse fator de conversão não altera as dimensões de uma quantidade física.

Também existem físicos que lançaram dúvidas sobre a própria existência de dimensões fundamentais incompatíveis da quantidade física, ^[20] embora isso não invalide a utilidade da análise dimensional.

Propriedades matemáticas [ editar ]

As dimensões que podem ser formadas a partir de um dado conjunto de dimensões físicas básicas, como M, L e T, formam um grupo abeliano : a identidade é escrita como 1; L ⁰ = 1 , e o inverso de L é 1 / L ou L ⁻¹ . L elevado a qualquer potência racional p é um membro do grupo, tendo o inverso de L ^{- p} ou 1 / L ^p . O funcionamento do grupo é a multiplicação, havendo as regras usuais para o tratamento de expoentes ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

Este grupo pode ser descrito como um espaço vetorial sobre os números racionais, com, por exemplo, o símbolo dimensional M ⁱ L ^j T ^k correspondendo ao vetor ( i , j , k ) . Quando as grandezas físicas medidas (sejam de dimensões semelhantes ou não) são multiplicadas ou divididas umas pelas outras, suas unidades dimensionais são igualmente multiplicadas ou divididas; isso corresponde à adição ou subtração no espaço vetorial. Quando quantidades mensuráveis ​​são elevadas a uma potência racional, o mesmo é feito com os símbolos dimensionais associados a essas quantidades; isso corresponde à multiplicação escalar no espaço vetorial.

Uma base para tal espaço vetorial de símbolos dimensionais é chamada de conjunto de grandezas básicas , e todos os outros vetores são chamados de unidades derivadas. Como em qualquer espaço vetorial, pode-se escolher diferentes bases , o que resulta em diferentes sistemas de unidades (por exemplo, escolher se a unidade para carga é derivada da unidade para corrente ou vice-versa).

A identidade de grupo 1, a dimensão das quantidades adimensionais, corresponde à origem neste espaço vetorial.

O conjunto de unidades das grandezas físicas envolvidas em um problema corresponde a um conjunto de vetores (ou uma matriz). A nulidade descreve um número (por exemplo, m ) de maneiras pelas quais esses vetores podem ser combinados para produzir um vetor zero. Estes correspondem a produzir (a partir das medições) um número de grandezas adimensionais, {π ₁ , ..., π _m }. (Na verdade, essas formas abrangem completamente o subespaço nulo de outro espaço diferente, de potências das medidas.) Todas as maneiras possíveis de multiplicar (e exponenciar ) as quantidades medidas para produzir algo com as mesmas unidades de alguma quantidade derivada X podem ser expressas na forma geral

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

Consequentemente, todas as equações proporcionais possíveis para a física do sistema podem ser reescritas na forma

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

Conhecer essa restrição pode ser uma ferramenta poderosa para obter novos insights sobre o sistema.

Mecânica [ editar ]

A dimensão das grandezas físicas de interesse em mecânica pode ser expressa em termos de dimensões básicas M, L e T - estas formam um espaço vetorial tridimensional. Esta não é a única escolha válida de dimensões básicas, mas é a mais comumente usada. Por exemplo, pode-se escolher força, comprimento e massa como dimensões básicas (como alguns fizeram), com dimensões associadas F, L, M; isto corresponde a uma base diferente, e pode-se converter entre essas representações por uma mudança de base . A escolha do conjunto básico de dimensões é, portanto, uma convenção, com o benefício de maior utilidade e familiaridade. A escolha das dimensões básicas não é totalmente arbitrária, porque elas devem formar uma base : devem abranger o espaço e serlinearmente independente .

Por exemplo, F, L, M formam um conjunto de dimensões fundamentais porque eles formam uma base que é equivalente a M, L, T: o primeiro pode ser expresso como [F = ML / T ² ], L, M, enquanto o o último pode ser expresso como M, L, [T = (ML / F) ^1/2 ].

Por outro lado, comprimento, velocidade e tempo (L, V, T) não formam um conjunto de dimensões básicas para a mecânica, por dois motivos:

• Não há como obter massa - ou qualquer coisa derivada dela, como força - sem introduzir outra dimensão de base (portanto, eles não abrangem o espaço ).
• A velocidade, sendo expressável em termos de comprimento e tempo (V = L / T), é redundante (o conjunto não é linearmente independente ).

Outros campos da física e da química [ editar ]

Dependendo do campo da física, pode ser vantajoso escolher um ou outro conjunto estendido de símbolos dimensionais. No eletromagnetismo, por exemplo, pode ser útil usar dimensões de M, L, T e Q, onde Q representa a dimensão da carga elétrica . Em termodinâmica , o conjunto básico de dimensões é frequentemente estendido para incluir uma dimensão para temperatura, Θ. Em química, a quantidade de substância (o número de moléculas dividido pela constante de Avogadro , ≈6,02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) é definido como uma dimensão de base, N, também. Na interação de plasma relativístico com fortes pulsos de laser, um parâmetro de similaridade relativística adimensional , conectado com as propriedades de simetria da equação de Vlasov sem colisão , é construído a partir das densidades de plasma, elétron e crítica, além do potencial do vetor eletromagnético. A escolha das dimensões ou mesmo do número de dimensões a serem usadas em diferentes campos da física é até certo ponto arbitrária, mas a consistência no uso e a facilidade de comunicação são características comuns e necessárias.

Polinômios e funções transcendentais [ editar ]

Os argumentos escalares para funções transcendentais , como funções exponenciais , trigonométricas e logarítmicas , ou para polinômios não homogêneos , devem ser quantidades adimensionais . (Nota: este requisito é um pouco relaxado na análise de orientação de Siano descrita abaixo, em que o quadrado de certas quantidades dimensionadas são adimensionais.)

Enquanto a maioria das identidades matemáticas sobre números adimensionais se traduzem de maneira direta em quantidades dimensionais, deve-se tomar cuidado com os logaritmos das razões: o log de identidade (a / b) = log a - log b, onde o logaritmo é obtido em qualquer base, mantém para os números adimensionais aeb, mas não é válido se aeb forem dimensionais, porque, neste caso, o lado esquerdo está bem definido, mas o lado direito não.

Da mesma forma, embora se possa avaliar monômios ( x ⁿ ) de quantidades dimensionais, não se pode avaliar polinômios de grau misto com coeficientes adimensionais em quantidades dimensionais: para x ² , a expressão (3 m) ²  = 9 m ² faz sentido (como uma área ), enquanto para x ²  +  x , a expressão (3 m) ²  + 3 m = 9 m ²  + 3 m não faz sentido.

No entanto, polinômios de graus mistos podem fazer sentido se os coeficientes forem quantidades físicas adequadamente escolhidas que não sejam adimensionais. Por exemplo,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left(-9.8\ {\frac {\text{meter}}{{\text{second}}^{2}}}\right)\cdot t^{2}+\left(500\ {\frac {\text{meter}}{\text{second}}}\right)\cdot t.}$

Esta é a altura à qual um objeto sobe no tempo  t se a aceleração da gravidade for 9,8 metros por segundo por segundo e a velocidade inicial de subida for 500 metros por segundo. Não é necessário que t seja em segundos . Por exemplo, suponha que t  = 0,01 minutos. Então o primeiro termo seria

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\cdot \left(-9.8\ {\frac {\text{meter}}{{\text{second}}^{2}}}\right)\cdot (0.01{\text{ minute}})^{2}\\[10pt]={}&{\frac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\left({\frac {\text{minute}}{\text{second}}}\right)^{2}\cdot {\text{meter}}\\[10pt]={}&{\frac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot {\text{meter}}.\end{aligned}}}$

Unidades incorporando [ editar ]

O valor de uma quantidade física dimensional Z é escrito como o produto de uma unidade [ Z ] dentro da dimensão e um fator numérico adimensional, n . ^[21]

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

Quando quantidades de dimensões semelhantes são adicionadas, subtraídas ou comparadas, é conveniente expressá-las em unidades consistentes de modo que os valores numéricos dessas quantidades possam ser adicionados ou subtraídos diretamente. Mas, em conceito, não há problema em adicionar quantidades da mesma dimensão expressas em unidades diferentes. Por exemplo, 1 metro adicionado a 1 pé é um comprimento, mas não se pode derivar esse comprimento simplesmente adicionando 1 e 1. Um fator de conversão , que é uma proporção de quantidades com dimensões semelhantes e é igual à unidade adimensional, é necessário:

${\displaystyle 1\ {\mbox{ft}}=0.3048\ {\mbox{m}}\ }$ é idêntico a ${\displaystyle 1={\frac {0.3048\ {\mbox{m}}}{1\ {\mbox{ft}}}}.\ }$

O fator é idêntico ao adimensional 1, portanto, multiplicar por esse fator de conversão não muda nada. Então, ao adicionar duas quantidades de dimensão semelhante, mas expressas em unidades diferentes, o fator de conversão apropriado, que é essencialmente o 1 adimensional, é usado para converter as quantidades em unidades idênticas de modo que seus valores numéricos possam ser adicionados ou subtraídos.${\displaystyle 0.3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}}}$

Somente dessa maneira é significativo falar em adicionar quantidades com dimensões semelhantes de unidades diferentes.

Posição vs deslocamento [ editar ]

Algumas discussões de análise dimensional descrevem implicitamente todas as quantidades como vetores matemáticos. (Em matemática, escalares são considerados um caso especial de vetores; ^{[ carece de fontes ]} vetores podem ser adicionados ou subtraídos de outros vetores e, inter alia, multiplicados ou divididos por escalares. Se um vetor for usado para definir uma posição, isso pressupõe um ponto de referência implícito: uma origem . Embora seja útil e muitas vezes perfeitamente adequado, permitindo que muitos erros importantes sejam detectados, pode falhar ao modelar certos aspectos da física. Uma abordagem mais rigorosa requer a distinção entre posição e deslocamento (ou momento em tempo versus duração, ou temperatura absoluta versus mudança de temperatura).

Considere os pontos em uma linha, cada um com uma posição em relação a uma determinada origem e as distâncias entre eles. Posições e deslocamentos têm unidades de comprimento, mas seu significado não é intercambiável:

• adicionar dois deslocamentos deve produzir um novo deslocamento (caminhar dez passos e depois vinte passos faz com que você avance trinta passos),
• adicionar um deslocamento a uma posição deve produzir uma nova posição (caminhar um quarteirão descendo a rua a partir de um cruzamento leva você ao próximo cruzamento),
• subtrair duas posições deve produzir um deslocamento,
• mas não se pode adicionar duas posições.

Isso ilustra a distinção sutil entre grandezas afins (modeladas por um espaço afim , como posição) e grandezas vetoriais (modeladas por um espaço vetorial , como deslocamento).

• Quantidades de vetor podem ser adicionadas umas às outras, produzindo uma nova quantidade de vetor, e uma quantidade de vetor pode ser adicionada a uma quantidade afim adequada (um espaço vetorial atua em um espaço afim), produzindo uma nova quantidade afim.
• Quantidades afins não podem ser adicionadas, mas podem ser subtraídas, produzindo quantidades relativas que são vetores, e essas diferenças relativas podem então ser adicionadas umas às outras ou a uma quantidade afim.

Adequadamente, então, as posições têm dimensão de comprimento afim , enquanto os deslocamentos têm dimensão de comprimento vetorial . Para atribuir um número a uma unidade afim , deve-se escolher não apenas uma unidade de medida, mas também um ponto de referência , ao passo que atribuir um número a uma unidade vetorial requer apenas uma unidade de medida.

Assim, algumas grandezas físicas são melhor modeladas por grandezas vetoriais, enquanto outras tendem a exigir representação afim, e a distinção é refletida em sua análise dimensional.

Esta distinção é particularmente importante no caso da temperatura, para a qual o valor numérico do zero absoluto não é a origem 0 em algumas escalas. Para zero absoluto,

−273,15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ −459,67 ° F,

onde o símbolo ≘ significa corresponde a , visto que embora esses valores nas respectivas escalas de temperatura correspondam, eles representam quantidades distintas da mesma forma que as distâncias de pontos de partida distintos ao mesmo ponto final são quantidades distintas e não podem em geral ser equacionadas.

Para diferenças de temperatura,

1 K = 1 ° C ≠ 1 ° F = 1 ° R.

(Aqui ° R se refere à escala Rankine , não à escala Réaumur ). A conversão de unidades para diferenças de temperatura é simplesmente uma questão de multiplicação por, por exemplo, 1 ° F / 1 K (embora a proporção não seja um valor constante). Mas, como algumas dessas escalas têm origens que não correspondem ao zero absoluto, a conversão de uma escala de temperatura para outra exige a contabilização disso. Como resultado, a análise dimensional simples pode levar a erros se for ambíguo se 1 K significa a temperatura absoluta igual a -272,15 ° C ou a diferença de temperatura igual a 1 ° C.

Orientação e estrutura de referência [ editar ]

Semelhante à questão de um ponto de referência é a questão da orientação: um deslocamento em 2 ou 3 dimensões não é apenas um comprimento, mas é um comprimento junto com uma direção . (Este problema não surge em uma dimensão, ou melhor, é equivalente à distinção entre positivo e negativo.) Assim, para comparar ou combinar quantidades bidimensionais em um espaço multidimensional, também é necessária uma orientação: elas precisam ser comparadas a um quadro de referência .

Isso leva às extensões discutidas abaixo, ou seja, as dimensões direcionadas de Huntley e a análise orientacional de Siano.

Exemplos [ editar ]

Um exemplo simples: período de um oscilador harmónica [ editar ]

Qual é o período de oscilação T de uma massa m presa a uma mola linear ideal com a constante de mola k suspensa na gravidade de força g ? Esse período é a solução para T de alguma equação adimensional nas variáveis T , m , k e g . As quatro grandezas têm as seguintes dimensões: T [T]; m [M]; k [M / T ² ]; e g [G / T ² ]. Destes, podemos formar apenas um produto adimensional das potências de nossas variáveis ​​escolhidas, =${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle T^{2}k/m}$ [T ² · M / T ² / M = 1] , e colocando para alguma constante adimensional C dá a equação adimensional procurada. O produto adimensional de potências de variáveis ​​é algumas vezes referido como um grupo adimensional de variáveis; aqui, o termo "grupo" significa "coleção" em vez de grupo matemático . Eles também são chamados de números adimensionais .${\displaystyle G_{1}=C}$

Observe que a variável g não ocorre no grupo. É fácil ver que é impossível formar um produto adimensional de potências que combine g com k , m e T , porque g é a única quantidade que envolve a dimensão L. Isso implica que, neste problema, g é irrelevante. A análise dimensional às vezes pode produzir afirmações fortes sobre a irrelevância de algumas quantidades em um problema ou a necessidade de parâmetros adicionais. Se tivermos escolhido variáveis ​​suficientes para descrever adequadamente o problema, então, a partir desse argumento, podemos concluir que o período da massa na mola é independente de g: é o mesmo na terra ou na lua. A equação que demonstra a existência de um produto de potências para nosso problema pode ser escrita de uma forma inteiramente equivalente:, para alguma constante adimensional κ (igual a da equação adimensional original).${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$${\displaystyle {\sqrt {C}}}$

Quando confrontado com um caso em que a análise dimensional rejeita uma variável ( g , aqui) que se espera intuitivamente pertencer a uma descrição física da situação, outra possibilidade é que a variável rejeitada seja de fato relevante, mas que alguma outra variável relevante tenha sido omitido, que pode se combinar com a variável rejeitada para formar uma quantidade adimensional. No entanto, não é esse o caso aqui.

Quando a análise dimensional produz apenas um grupo adimensional, como aqui, não há funções desconhecidas e a solução é considerada "completa" - embora ainda possa envolver constantes adimensionais desconhecidas, como κ .

Um exemplo mais complexo: energia de um fio de vibração [ editar ]

Considere o caso de um fio vibrando de comprimento ℓ (L) vibrando com uma amplitude A (L). O fio tem densidade linear ρ (M / L) e está sob tensão s (ML / T ² ), e queremos saber a energia E (ML ² / T ² ) no fio. Sejam π ₁ e π ₂ dois produtos adimensionais das potências das variáveis ​​escolhidas, dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

A densidade linear do fio não está envolvida. Os dois grupos encontrados podem ser combinados em uma forma equivalente como uma equação

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

onde F é alguma função desconhecida, ou, equivalentemente como

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

onde f é alguma outra função desconhecida. Aqui, a função desconhecida implica que nossa solução agora está incompleta, mas a análise dimensional nos deu algo que pode não ser óbvio: a energia é proporcional à primeira potência da tensão. Excluindo uma análise analítica adicional, podemos prosseguir com experimentos para descobrir a forma da função desconhecida f . Mas nossos experimentos são mais simples do que na ausência de análise dimensional. Não faríamos nenhum para verificar se a energia é proporcional à tensão. Ou talvez possamos supor que a energia é proporcional a ℓ , e assim inferir que E = ℓs. O poder da análise dimensional como um auxílio para experimentar e formar hipóteses torna-se evidente.

O poder da análise dimensional realmente se torna aparente quando é aplicada a situações, ao contrário das apresentadas acima, que são mais complicadas, o conjunto de variáveis ​​envolvidas não é aparente e as equações subjacentes desesperadoramente complexas. Considere, por exemplo, uma pequena pedra no leito de um rio. Se o rio fluir rápido o suficiente, ele realmente levantará a pedra e fará com que ela flua junto com a água. Em que velocidade crítica isso ocorrerá? Classificar as variáveis ​​adivinhadas não é tão fácil como antes. Mas a análise dimensional pode ser uma ajuda poderosa na compreensão de problemas como esse e geralmente é a primeira ferramenta a ser aplicada a problemas complexos onde as equações e restrições subjacentes são mal compreendidas. Nesses casos, a resposta pode depender de um número adimensionalcomo o número de Reynolds , que pode ser interpretado por análise dimensional.

Um terceiro exemplo: demanda versus capacidade de um disco rotativo [ editar ]

Considere o caso de um disco rotativo fino, sólido, de lados paralelos, de espessura axial t (L) e raio R (L). O disco tem uma densidade ρ (M / L ³ ), gira a uma velocidade angular ω (T ⁻¹ ) e isso leva a uma tensão S (ML ⁻¹ T ⁻²) no material. Existe uma solução elástica linear teórica, dada por Lame, para este problema quando o disco é fino em relação ao seu raio, as faces do disco são livres para se mover axialmente e as relações constitutivas de tensão plana podem ser assumidas como válidas. À medida que o disco se torna mais espesso em relação ao raio, a solução de tensão plana se quebra. Se o disco for restringido axialmente em suas faces livres, ocorrerá um estado de deformação plana. No entanto, se este não for o caso, o estado de tensão só pode ser determinado considerando a elasticidade tridimensional e não há solução teórica conhecida para este caso. Um engenheiro pode, portanto, estar interessado em estabelecer uma relação entre as cinco variáveis. A análise dimensional para este caso leva aos seguintes (5 - 3 = 2) grupos não dimensionais:

demanda / capacidade = ρR ² ω ² / S

espessura / raio ou razão de aspecto = t / R

Através do uso de experimentos numéricos usando, por exemplo, o método dos elementos finitos , a natureza da relação entre os dois grupos adimensionais pode ser obtida conforme mostrado na figura. Como este problema envolve apenas dois grupos adimensionais, a imagem completa é fornecida em um único gráfico e pode ser usado como um gráfico de projeto / avaliação para discos rotativos ^[22]

Extensões [ editar ]

Extensão de Huntley: dirigido dimensões e quantidade de matéria [ editar ]

Huntley ( Huntley 1967 ) apontou que uma análise dimensional pode se tornar mais poderosa ao descobrir novas dimensões independentes nas quantidades em consideração, aumentando assim a classificação da matriz dimensional. Ele introduziu duas abordagens para fazer isso:${\displaystyle m}$

• As magnitudes dos componentes de um vetor devem ser consideradas dimensionalmente independentes. Por exemplo, em vez de uma dimensão de comprimento indiferenciada L, podemos ter L _x representar a dimensão na direção xe assim por diante. Este requisito decorre, em última análise, do requisito de que cada componente de uma equação fisicamente significativa (escalar, vetorial ou tensor) deve ser dimensionalmente consistente.
• A massa como medida da quantidade de matéria deve ser considerada dimensionalmente independente da massa como medida de inércia.

Como exemplo da utilidade da primeira abordagem, suponha que desejamos calcular a distância que uma bala de canhão percorre quando disparada com um componente de velocidade vertical e um componente de velocidade horizontal , supondo que seja disparada em uma superfície plana. Supondo que nenhum uso de comprimentos dirigidos, as quantidades de interesse são, em seguida, , , ambos dimensionados como LT ^-1 , R , a distância percorrida, tendo a dimensão L, e g a aceleração da gravidade para baixo, com dimensão LT ^-2 .${\displaystyle V_{\mathrm {y} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {y} }}$

Com essas quatro quantidades, podemos concluir que a equação para o intervalo R pode ser escrita:

${\displaystyle R\propto V_{\text{x}}^{a}\,V_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.\,}$

Ou dimensionalmente

${\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{a+b}\left({\frac {\mathsf {L}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{c}\,}$

do qual podemos deduzir isso e , o que deixa um expoente indeterminado. Isso é esperado, uma vez que temos duas dimensões fundamentais L e T, e quatro parâmetros, com uma equação.${\displaystyle a+b+c=1}$${\displaystyle a+b+2c=0}$

Se, entretanto, usarmos dimensões de comprimento direcionado, então será dimensionado como L _x T ⁻¹ , como L _y T ⁻¹ , R como L _x e g como L _y T ⁻² . A equação dimensional torna-se:${\displaystyle V_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle V_{\mathrm {y} }}$

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}{\mathsf {T}}}\right)^{a}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\left({\frac {{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{c}}$

e podemos resolver completamente como , e . O aumento no poder dedutivo obtido pelo uso de dimensões de comprimento direcionadas é aparente.${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle c=-1}$

Em sua segunda abordagem, Huntley afirma que às vezes é útil (por exemplo, na mecânica dos fluidos e na termodinâmica) distinguir entre a massa como uma medida de inércia (massa inercial) e a massa como uma medida da quantidade de matéria. Quantidade de matéria é definida por Huntley como uma quantidade (a) proporcional à massa inercial, mas (b) não implicando propriedades inerciais. Nenhuma outra restrição é adicionada à sua definição.

Por exemplo, considere a derivação da Lei de Poiseuille . Queremos encontrar a taxa de fluxo de massa de um fluido viscoso através de um tubo circular. Sem fazer distinções entre massa inercial e substancial, podemos escolher como variáveis ​​relevantes

• ${\displaystyle {\dot {m}}}$a taxa de fluxo de massa com dimensão MT ⁻¹
• ${\displaystyle p_{\text{x}}}$o gradiente de pressão ao longo do tubo com dimensão ML ⁻² T ⁻²
• ρ a densidade com dimensão ML ⁻³
• η a viscosidade do fluido dinâmico com dimensão ML ⁻¹ T ⁻¹
• r o raio do tubo com dimensão L

Há três variáveis fundamentais para que o acima de cinco equações irá produzir duas variáveis adimensionais que podemos tomar para ser e e podemos expressar a equação dimensional como${\displaystyle \pi _{1}={\dot {m}}/\eta r}$${\displaystyle \pi _{2}=p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}/{\dot {m}}^{2}}$

${\displaystyle C=\pi _{1}\pi _{2}^{a}=\left({\frac {\dot {m}}{\eta r}}\right)\left({\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}\right)^{a}}$

onde C e a são constantes indeterminadas. Se traçarmos uma distinção entre massa inercial com dimensão e quantidade de matéria com dimensão , então a taxa de fluxo de massa e a densidade usarão a quantidade de matéria como o parâmetro de massa, enquanto o gradiente de pressão e o coeficiente de viscosidade usarão a massa inercial. Agora temos quatro parâmetros fundamentais e uma constante adimensional, para que a equação dimensional possa ser escrita:${\displaystyle M_{\text{i}}}$${\displaystyle M_{\text{m}}}$

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

onde agora apenas C é uma constante indeterminada (considerada igual por métodos fora da análise dimensional). Esta equação pode ser resolvida para a taxa de fluxo de massa para produzir a lei de Poiseuille .${\displaystyle \pi /8}$

O reconhecimento de Huntley da quantidade de matéria como uma dimensão de quantidade independente é evidentemente bem-sucedido nos problemas onde é aplicável, mas sua definição de quantidade de matéria está aberta à interpretação, uma vez que carece de especificidade além dos dois requisitos (a) e (b) ele postulado para isso. Para uma dada substância, a dimensão SI quantidade de substância , com unidade molar , satisfaz os dois requisitos de Huntley como uma medida de quantidade de matéria e poderia ser usada como uma quantidade de matéria em qualquer problema de análise dimensional onde o conceito de Huntley é aplicável.

O conceito de Huntley de dimensões de comprimento direcionado, entretanto, tem algumas limitações sérias:

• Ele não lida bem com equações vetoriais envolvendo o produto vetorial ,
• nem lida bem com o uso de ângulos como variáveis ​​físicas.

Também é muito difícil atribuir os símbolos L, L _x , L _y , L _z às variáveis ​​físicas envolvidas no problema de interesse. Ele invoca um procedimento que envolve a "simetria" do problema físico. Freqüentemente, isso é muito difícil de aplicar de maneira confiável: não está claro em quais partes do problema a noção de "simetria" está sendo invocada. É a simetria do corpo físico que as forças estão agindo, ou para os pontos, linhas ou áreas em que as forças estão sendo aplicadas? E se mais de um corpo estiver envolvido com diferentes simetrias?

Considere a bolha esférica presa a um tubo cilíndrico, onde se deseja que a vazão de ar seja função da diferença de pressão nas duas partes. Quais são as dimensões estendidas de Huntley da viscosidade do ar contido nas partes conectadas? Quais são as dimensões estendidas da pressão das duas partes? Eles são iguais ou diferentes? Essas dificuldades são responsáveis ​​pela aplicação limitada das dimensões de comprimento direcionadas de Huntley a problemas reais.

Extensão da Siano: análise de orientação [ editar ]

Os ângulos são, por convenção, considerados quantidades adimensionais. Como exemplo, considere novamente o problema do projétil em que uma massa pontual é lançada da origem ( x , y ) = (0, 0) a uma velocidade ve ângulo θ acima do eixo x , com a força da gravidade dirigida ao longo o eixo y negativo . Deseja-se encontrar a faixa R , em que ponto a massa retorna ao eixo x . A análise convencional produzirá a variável adimensional π = R g / v ², mas não oferece nenhuma visão sobre a relação entre R e θ .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) sugeriu que as dimensões direcionadas de Huntley fossem substituídas pelo uso de símbolos orientacionais 1 _x  1 _y  1 _z para denotar direções vetoriais e um símbolo sem orientação 1 ₀ . Assim, L _{x de} Huntley torna-se L 1 _x com L especificando a dimensão do comprimento e 1 _x especificando a orientação. Siano mostra ainda que os símbolos de orientação têm uma álgebra própria. Junto com o requisito de que 1 _i ⁻¹ = 1 _i, a seguinte tabela de multiplicação para os resultados dos símbolos de orientação:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}&\mathbf {1_{0}} &\mathbf {1_{\text{x}}} &\mathbf {1_{\text{y}}} &\mathbf {1_{\text{z}}} \\\hline \mathbf {1_{0}} &1_{0}&1_{\text{x}}&1_{\text{y}}&1_{\text{z}}\\\mathbf {1_{\text{x}}} &1_{\text{x}}&1_{0}&1_{\text{z}}&1_{\text{y}}\\\mathbf {1_{\text{y}}} &1_{\text{y}}&1_{\text{z}}&1_{0}&1_{\text{x}}\\\mathbf {1_{\text{z}}} &1_{\text{z}}&1_{\text{y}}&1_{\text{x}}&1_{0}\end{array}}}$

Observe que os símbolos de orientação formam um grupo (os quatro grupos de Klein ou "Viergruppe"). Nesse sistema, os escalares sempre têm a mesma orientação do elemento identidade, independente da "simetria do problema". As grandezas físicas que são vetores têm a orientação esperada: uma força ou velocidade na direção z tem a orientação de 1 _z . Para ângulos, considere um ângulo θ que está no plano z. Forme um triângulo retângulo no plano z com θ sendo um dos ângulos agudos. O lado do triângulo retângulo adjacente ao ângulo tem então uma orientação 1 _x e o lado oposto tem uma orientação 1 _y . Desde (usando ~para indicar equivalência orientacional) tan ( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y / 1 _x concluímos que um ângulo no plano xy deve ter uma orientação 1 _y / 1 _x = 1 _z , o que não é irracional. O raciocínio análogo força a conclusão de que sin ( θ ) tem orientação 1 _z enquanto cos ( θ ) tem orientação 1 ₀ . São diferentes, então conclui-se (corretamente), por exemplo, que não há soluções de equações físicas na forma de um cos ( θ) + B sin ( θ ) , onde a e b são escalares reais. Observe que uma expressão como não é dimensionalmente inconsistente, pois é um caso especial da fórmula da soma dos ângulos e deve ser escrita corretamente:${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

qual para e produz . Siano distingue entre ângulos geométricos, que têm uma orientação no espaço tridimensional, e ângulos de fase associados a oscilações baseadas no tempo, que não têm orientação espacial, ou seja, a orientação de um ângulo de fase é .${\displaystyle a=\theta }$${\displaystyle b=\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$${\displaystyle 1_{0}}$

A atribuição de símbolos de orientação a quantidades físicas e o requisito de que as equações físicas sejam homogêneas em termos de orientação podem, na verdade, ser usados ​​de uma forma semelhante à análise dimensional para obter um pouco mais de informações sobre soluções aceitáveis ​​de problemas físicos. Nesta abordagem, a pessoa configura a equação dimensional e a resolve o mais longe possível. Se a potência mais baixa de uma variável física for fracionária, ambos os lados da solução são elevados a uma potência tal que todas as potências sejam integrais. Isso o coloca na "forma normal". A equação de orientação é então resolvida para dar uma condição mais restritiva sobre os poderes desconhecidos dos símbolos de orientação, chegando a uma solução que é mais completa do que aquela que a análise dimensional sozinha fornece.Freqüentemente, a informação adicionada é que uma das potências de uma determinada variável é par ou ímpar.

A título de exemplo, para o problema do projétil, usando símbolos de orientação, θ , estando no plano xy terá, portanto, dimensão 1 _z e o alcance do projétil R será da forma:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

A homogeneidade dimensional agora renderá corretamente a = −1 e b = 2 , e a homogeneidade orientacional exige isso . Em outras palavras, esse c deve ser um número inteiro ímpar. Na verdade, a função necessária de teta será sin ( θ ) cos ( θ ) que é uma série que consiste em potências ímpares de θ .${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$

É visto que as séries de Taylor de sin ( θ ) e cos ( θ ) são orientacionalmente homogêneas usando a tabela de multiplicação acima, enquanto expressões como cos ( θ ) + sin ( θ ) e exp ( θ ) não são, e são (corretamente ) considerado não físico.

A análise orientacional de Siano é compatível com a concepção convencional de grandezas angulares como adimensionais e, na análise orientacional, o radiano ainda pode ser considerado uma unidade adimensional. A análise orientacional de uma equação de quantidade é realizada separadamente da análise dimensional comum, produzindo informações que complementam a análise dimensional.

Conceitos adimensionais [ editar ]

Constantes [ editar ]

As constantes adimensionais que surgem nos resultados obtidos, como o C no problema da Lei de Poiseuille e os problemas da primavera discutidos acima, vêm de uma análise mais detalhada da física subjacente e frequentemente surgem da integração de alguma equação diferencial. A análise dimensional em si tem pouco a dizer sobre essas constantes, mas é útil saber que muitas vezes elas têm uma magnitude de unidade de ordem. Essa observação pode permitir que às vezes se façam cálculos "do fundo do poço " sobre o fenômeno de interesse e, portanto, seja capaz de projetar experimentos de forma mais eficiente para medi-lo ou para julgar se é importante, etc.${\displaystyle \kappa }$

Formalismos [ editar ]

Paradoxalmente, a análise dimensional pode ser uma ferramenta útil mesmo se todos os parâmetros na teoria subjacente forem adimensionais, por exemplo, modelos de rede como o modelo de Ising podem ser usados ​​para estudar transições de fase e fenômenos críticos. Esses modelos podem ser formulados de uma forma puramente adimensional. Conforme nos aproximamos do ponto crítico cada vez mais perto, a distância sobre a qual as variáveis ​​no modelo de rede são correlacionadas (o chamado comprimento de correlação ) torna-se cada vez maior. Agora, o comprimento de correlação é a escala de comprimento relevante relacionada aos fenômenos críticos, então pode-se, por exemplo, supor em "bases dimensionais" que a parte não analítica da energia livre por sítio da rede deve estar onde está a dimensão da rede.${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \sim 1/\xi ^{d}}$${\displaystyle d}$

Tem sido argumentado por alguns físicos, por exemplo, MJ Duff , ^{[20] [23]} que as leis da física são inerentemente adimensionais. O fato de termos atribuído dimensões incompatíveis a Comprimento, Tempo e Massa é, de acordo com este ponto de vista, apenas uma questão de convenção, corroborado pelo fato de que antes do advento da física moderna, não havia como relacionar a massa, comprimento e tempo um para o outro. As três constantes dimensionais independentes: c , ħ e G , nas equações fundamentais da física devem então ser vistas como meros fatores de conversão para converter Massa, Tempo e Comprimento um no outro.

Assim como no caso de propriedades críticas de modelos de rede, pode-se recuperar os resultados da análise dimensional no limite de escala adequado; por exemplo, a análise dimensional em mecânica pode ser derivada reinserindo as constantes ħ , c , e G (mas agora podemos considerá-las adimensionais) e exigindo que uma relação não singular entre as quantidades exista no limite , e . Em problemas envolvendo um campo gravitacional, o último limite deve ser considerado de forma que o campo permaneça finito.${\displaystyle c\rightarrow \infty }$${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$${\displaystyle G\rightarrow 0}$

Equivalências dimensionais [ editar ]

A seguir estão as tabelas de expressões comuns na física, relacionadas às dimensões de energia, momento e força. ^{[24] [25] [26]}

Unidades SI [ editar ]

Energia, E ML 2 T −2	Expressão	Nomenclatura
Mecânico	${\displaystyle Fd}$	F = força , d = distância
	${\displaystyle S/t\equiv Pt}$	S = ação , t = tempo , P = potência
	${\displaystyle mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m}$	m = massa , v = velocidade , p = momento
	${\displaystyle I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I}$	L = momento angular , I = momento de inércia , ω = velocidade angular
Gases ideais	${\displaystyle pV\equiv NT}$	p = pressão, volume , T = temperatura N = quantidade de substância
Ondas	${\displaystyle IAt\equiv SAt}$	I = intensidade da onda , S = vetor Poynting
Eletromagnético	${\displaystyle q\phi }$	q = carga elétrica , ϕ = potencial elétrico (para mudanças, é a tensão )
	${\displaystyle \varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu }$	E = campo elétrico , B = campo magnético , ε = permissividade , μ = permeabilidade , V = volume 3d
	${\displaystyle pE\equiv mB\equiv IAB}$	p = momento de dipolo elétrico , m = momento magnético, A = área (limitada por um loop de corrente), I = corrente elétrica em loop

Momentum, p MLT −1	Expressão	Nomenclatura
Mecânico	${\displaystyle mv\equiv Ft}$	m = massa, v = velocidade, F = força, t = tempo
	${\displaystyle S/r\equiv L/r}$	S = ação, L = momento angular, r = deslocamento
Térmico	${\displaystyle m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}}$= velocidade quadrada média da raiz , m = massa (de uma molécula)
Ondas	${\displaystyle \rho Vv}$	ρ = densidade , V = volume , v = velocidade de fase
Eletromagnético	${\displaystyle qA}$	A = potencial vetorial magnético

Força, F MLT −2	Expressão	Nomenclatura
Mecânico	${\displaystyle ma\equiv p/t}$	m = massa, a = aceleração
Térmico	${\displaystyle T\delta S/\delta r}$	S = entropia, T = temperatura, r = deslocamento (ver força entrópica )
Eletromagnético	${\displaystyle Eq\equiv Bqv}$	E = campo elétrico, B = campo magnético, v = velocidade, q = carga

Unidades naturais [ editar ]

Se c = ħ = 1 , onde c é a velocidade da luz e ħ é a constante de Planck reduzida , e uma unidade fixa de energia adequada é escolhida, então todas as quantidades de comprimento L , massa M e tempo T podem ser expressas (dimensionalmente) como uma potência de energia E , porque comprimento, massa e tempo podem ser expressos usando velocidade v , ação S e energia E : ^[26]

${\displaystyle M={\frac {E}{v^{2}}},\quad L={\frac {Sv}{E}},\quad t={\frac {S}{E}}}$

embora velocidade e ação sejam adimensionais ( v = c = 1 e S = ħ = 1 ) - então a única quantidade restante com dimensão é energia. Em termos de poderes de dimensões:

${\displaystyle {\mathsf {E}}^{n}={\mathsf {M}}^{p}{\mathsf {L}}^{q}{\mathsf {T}}^{r}={\mathsf {E}}^{p-q-r}}$

Isso é particularmente útil em física de partículas e física de alta energia, caso em que a unidade de energia é o elétron volt (eV). Verificações dimensionais e estimativas tornam-se muito simples neste sistema.

Porém, se cargas e correntes elétricas estão envolvidas, outra unidade a ser consertada é para a carga elétrica, normalmente a carga do elétron e embora outras escolhas sejam possíveis.

Veja também [ editar ]

• Teorema π de Buckingham
• Números adimensionais na mecânica dos fluidos
• Estimativa de Fermi - usada para ensinar análise dimensional
• Método de análise dimensional de Rayleigh
• Similitude (modelo) - uma aplicação de análise dimensional
• Sistema de medição

Áreas afins de matemática [ editar ]

• Covariância e contravariância de vetores
• Álgebra Exterior
• Álgebra geométrica
• Cálculo de quantidade

As linguagens de programação [ editar ]

A correção dimensional como parte da verificação de tipo foi estudada desde 1977. ^[27] Implementações para Ada ^[28] e C ++ ^[29] foram descritas em 1985 e 1988. A tese de Kennedy de 1996 descreve uma implementação no Standard ML , ^[30] e posteriormente em F # . ^[31] Existem implementações para Haskell , ^[32] OCaml , ^[33] e Rust , ^[34] Python, ^[35] e um verificador de código para Fortran . ^[36]
A tese de Griffioen de 2019 estendeu a tese de KennedySistema de tipo Hindley-Milner para suportar as matrizes de Hart. ^{[37] [38]}

Notas [ editar ]