Geometria diferencial

A geometria diferencial surgiu e se desenvolveu como resultado e em conexão com a análise matemática de curvas e superfícies. ^[1] A análise matemática de curvas e superfícies foi desenvolvida para responder a algumas das perguntas incômodas e sem respostas que surgiram no cálculo , como as razões para as relações entre formas e curvas complexas, séries e funções analíticas. Essas perguntas não respondidas indicavam relacionamentos ocultos maiores.

Quando curvas, superfícies fechadas por curvas e pontos em curvas foram encontrados quantitativamente e, geralmente, relacionados por formas matemáticas, o estudo formal da natureza das curvas e superfícies tornou-se um campo de estudo por direito próprio, com Monge 's em 1795, e especialmente, com a publicação de Gauss de seu artigo, intitulado 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas', em Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores em 1827. ^[2]

Inicialmente aplicado ao espaço euclidiano, novas explorações levaram ao espaço não euclidiano e aos espaços métricos e topológicos.

Geometria riemanniana

A geometria Riemanniana estuda variedades Riemannianas , variedades suaves com uma métrica Riemanniana . Este é um conceito de distância expressa por meio de uma suave definida positiva forma bilinear simétrica definida no espaço tangente em cada ponto. A geometria riemanniana generaliza a geometria euclidiana para espaços que não são necessariamente planos, embora ainda se assemelhem ao espaço euclidiano em cada ponto infinitesimalmente, ou seja, na primeira ordem de aproximação . Vários conceitos baseados no comprimento, como o comprimento do arco das curvas , a área das regiões planas e o volume dos sólidos, todos possuem análogos naturais na geometria Riemanniana. A noção de uma derivada direcional de uma função do cálculo multivariável é estendida na geometria Riemanniana para a noção de uma derivada covariante de um tensor . Muitos conceitos e técnicas de análise e equações diferenciais foram generalizados para a configuração de variedades Riemannianas.

Um difeomorfismo de preservação de distância entre variedades Riemannianas é chamado de isometria . Essa noção também pode ser definida localmente , ou seja, para pequenos bairros de pontos. Quaisquer duas curvas regulares são localmente isométricas. No entanto, o Teorema Egregium de Carl Friedrich Gauss mostrou que, para superfícies, a existência de uma isometria local impõe fortes condições de compatibilidade em suas métricas: as curvaturas gaussianas nos pontos correspondentes devem ser as mesmas. Em dimensões superiores, o tensor de curvatura de Riemann é um invariante pontual importante associado a uma variedade Riemanniana que mede o quão perto está de ser plano. Uma classe importante de variedades Riemannianas são os espaços simétricos Riemannianos , cuja curvatura não é necessariamente constante. Esses são os análogos mais próximos do plano e do espaço "ordinários" considerados na geometria euclidiana e não euclidiana .

Geometria pseudo-riemanniana

A geometria pseudo-Riemanniana generaliza a geometria Riemanniana para o caso em que o tensor métrico não precisa ser definido positivamente . Um caso especial disso é uma variedade Lorentziana , que é a base matemática da teoria da relatividade geral da gravidade de Einstein .

Geometria Finsler

A geometria de Finsler tem variedades de Finsler como o principal objeto de estudo. Esta é uma variedade diferencial com uma métrica de Finsler , ou seja, uma norma de Banach definida em cada espaço tangente. Variedades Riemannianas são casos especiais das variedades Finsler mais gerais. Uma estrutura Finsler em uma variedade M é uma função F  : T M → [0, ∞) tal que:

1. F ( x , my ) = m F ( x , y ) para todos ( x , y ) em T M e todos m ≥0 ,
2. F é infinitamente diferenciável em T M ∖ {0} ,
3. A Hessiana vertical de F ² é definida positiva.

Geometria simplética

A geometria simplética é o estudo das variedades simpléticas . Uma variedade quase simplética é uma variedade diferenciável equipada com uma forma bilinear não degenerada , simétrica e não degenerada, em cada espaço tangente, isto é, uma forma 2 não degenerada ω , chamada de forma simplética . Uma variedade simplética é uma variedade quase simplética para a qual a forma simplética ω é fechada: d ω = 0 .

Um difeomorfismo entre duas variedades simpléticas que preserva a forma simplética é denominado simplectomorfismo . Formas bilineares simétricas não degeneradas podem existir apenas em espaços vetoriais de dimensão par, então variedades simpléticas necessariamente têm dimensão par. Na dimensão 2, uma variedade simplética é apenas uma superfície dotada de uma forma de área e um simplectomorfismo é um difeomorfismo de preservação de área. O espaço de fase de um sistema mecânico é uma variedade simplética e eles fizeram uma aparição implícita já na obra de Joseph Louis Lagrange em mecânica analítica e mais tarde em Carl Gustav Jacobi 's e William Rowan Hamilton ' s formulações da mecânica clássica .

Em contraste com a geometria Riemanniana, onde a curvatura fornece um invariante local das variedades Riemannianas, o teorema de Darboux afirma que todas as variedades simpléticas são localmente isomórficas. Os únicos invariantes de uma variedade simplética são globais por natureza e os aspectos topológicos desempenham um papel proeminente na geometria simplética. O primeiro resultado na topologia simplética é provavelmente o teorema de Poincaré-Birkhoff , conjecturado por Henri Poincaré e depois provado por GD Birkhoff em 1912. Ele afirma que se uma área preservando o mapa de um anel torce cada componente de fronteira em direções opostas, então o mapa tem pelo menos dois pontos fixos. ^[3]

Geometria de contato

A geometria de contato lida com certas variedades de dimensões ímpares. Está próxima da geometria simplética e, como esta, originou-se em questões de mecânica clássica. Uma estrutura de contato em uma variedade (2 n + 1) -dimensional M é dada por um campo hiperplano liso H no feixe tangente que está o mais longe possível de ser associado com os conjuntos de níveis de uma função diferenciável em M (o termo técnico é "distribuição de hiperplano tangente completamente não integrável"). Perto de cada ponto p , uma distribuição de hiperplano é determinada por uma forma 1 de desaparecimento em lugar nenhum ${\ displaystyle \ alpha}$, que é único até a multiplicação por uma função que desaparece em lugar nenhum:

${\ displaystyle H_ {p} = \ ker \ alpha _ {p} \ subconjunto T_ {p} M.}$

Uma forma 1 local em M é uma forma de contato se a restrição de seu derivado exterior a H for uma forma dupla não degenerada e, assim, induzir uma estrutura simplética em H _p em cada ponto. Se a distribuição H pode ser definida por um formulário único global${\ displaystyle \ alpha}$ então este formulário é o contato se e somente se o formulário dimensional superior

${\ displaystyle \ alpha \ wedge (d \ alpha) ^ {n}}$

é uma forma de volume em M , ou seja, não desaparece em lugar nenhum. Um análogo de contato do teorema de Darboux é válido: todas as estruturas de contato em uma variedade de dimensão ímpar são localmente isomórficas e podem ser levadas a uma certa forma normal local por uma escolha adequada do sistema de coordenadas.

Geometria complexa e Kähler

A geometria diferencial complexa é o estudo de variedades complexas . Uma variedade quase complexa é uma variedade real${\ displaystyle M}$, dotado de um tensor do tipo (1, 1), ou seja, um endomorfismo de pacote vetorial (chamado de estrutura quase complexa )

${\ displaystyle J: TM \ rightarrow TM}$, de tal modo que ${\ displaystyle J ^ {2} = - 1. \,}$

Segue-se dessa definição que uma variedade quase complexa tem dimensão par.

Uma variedade quase complexa é chamada de complexa se${\ displaystyle N_ {J} = 0}$, Onde ${\ displaystyle N_ {J}}$ é um tensor do tipo (2, 1) relacionado a ${\ displaystyle J}$, chamado de tensor de Nijenhuis (ou às vezes a torção ). Uma variedade quase complexa é complexa se e somente se admitir um atlas de coordenadas holomórficas . Uma estrutura quase Hermitiana é dada por uma estrutura J quase complexa , juntamente com uma métrica Riemanniana g , satisfazendo a condição de compatibilidade.

${\ displaystyle g (JX, JY) = g (X, Y) \,}$.

Uma estrutura quase hermitiana define naturalmente uma forma diferencial de duas formas

${\ displaystyle \ omega _ {J, g} (X, Y): = g (JX, Y) \,}$.

As duas condições a seguir são equivalentes:

1. ${\ displaystyle N_ {J} = 0 {\ mbox {e}} d \ omega = 0 \,}$
2. ${\ displaystyle \ nabla J = 0 \,}$

Onde ${\ displaystyle \ nabla}$é a conexão Levi-Civita de${\ displaystyle g}$. Nesse caso,${\ displaystyle (J, g)}$é chamada de estrutura Kähler , e uma variedade Kähler é uma variedade dotada de uma estrutura Kähler. Em particular, uma variedade Kähler é tanto complexa quanto simplética . Uma grande classe de variedades Kähler (a classe das variedades Hodge ) é dada por todas as variedades projetivas complexas suaves .

Geometria CR

A geometria CR é o estudo da geometria intrínseca dos limites dos domínios em variedades complexas .

Geometria conforme

A geometria conformada é o estudo do conjunto de transformações que preservam o ângulo (conforme) em um espaço.

Topologia diferencial

A topologia diferencial é o estudo de invariantes geométricos globais sem uma forma métrica ou simplética.

A topologia diferencial começa com as operações naturais, como derivada de Lie de feixes de vetores naturais e diferencial de Rham de formas . Ao lado dos algebróides de Lie , também os algebróides de Courant começam a desempenhar um papel mais importante.

Grupos de mentiras

Um grupo de Lie é um grupo na categoria de variedades suaves. Além das propriedades algébricas, ele também possui propriedades geométricas diferenciais. A construção mais óbvia é a de uma álgebra de Lie, que é o espaço tangente na unidade dotada do colchete de Lie entre os campos vetoriais invariantes à esquerda . Ao lado da teoria da estrutura, existe também o amplo campo da teoria da representação .

Teoria de calibre

A teoria de calibre é o estudo de conexões em feixes de vetores e feixes principais, e surge de problemas em física matemática e teorias de calibre físico que sustentam o modelo padrão da física de partículas . A teoria de calibre está preocupada com o estudo de equações diferenciais para conexões em pacotes e os espaços de módulos geométricos resultantes de soluções para essas equações, bem como os invariantes que podem ser derivados delas. Essas equações freqüentemente surgem como as equações de Euler-Lagrange que descrevem as equações de movimento de certos sistemas físicos na teoria quântica de campos e, portanto, seu estudo é de considerável interesse na física.

O aparato de feixes de vetores , feixes principais e conexões em feixes desempenha um papel extraordinariamente importante na geometria diferencial moderna. Uma variedade lisa sempre carrega um feixe vetorial natural, o feixe tangente . Em termos gerais, essa estrutura por si só é suficiente apenas para desenvolver análises na variedade, enquanto fazer geometria requer, além disso, alguma forma de relacionar os espaços tangentes em pontos diferentes, ou seja, uma noção de transporte paralelo . Um exemplo importante é fornecido por conexões afins . Para uma superfície em R ³ , planos tangentes em diferentes pontos podem ser identificados usando um paralelismo natural induzido pelo espaço euclidiano ambiente, que tem uma definição padrão bem conhecida de métrica e paralelismo. Na geometria Riemanniana , a conexão Levi-Civita serve a um propósito semelhante. (A conexão de Levi-Civita define o paralelismo de caminho em termos de uma determinada métrica Riemanniana arbitrária em uma variedade.) Mais geralmente, geômetras diferenciais consideram espaços com um feixe vetorial e uma conexão afim arbitrária que não é definida em termos de uma métrica. Na física, a variedade pode ser o continuum espaço-tempo e os feixes e conexões estão relacionados a vários campos físicos.

Desde o início e até meados do século XIX, a geometria diferencial foi estudada do ponto de vista extrínseco : curvas e superfícies eram consideradas como situadas em um espaço euclidiano de dimensão superior (por exemplo, uma superfície em um espaço ambiente de três dimensões) . Os resultados mais simples são aqueles na geometria diferencial das curvas e na geometria diferencial das superfícies . A partir da obra de Riemann , desenvolveu-se o ponto de vista intrínseco , em que não se pode falar em mover-se "para fora" do objeto geométrico porque se considera que é dado de forma autônoma. O resultado fundamental aqui é o teorema egregium de Gauss , no sentido de que a curvatura gaussiana é um invariante intrínseco.

O ponto de vista intrínseco é mais flexível. Por exemplo, é útil na relatividade, onde o espaço-tempo não pode ser naturalmente considerado extrínseco (o que seria "fora" do universo?). No entanto, há um preço a pagar na complexidade técnica: as definições intrínsecas de curvatura e conexões tornam-se muito menos intuitivas visualmente.

Esses dois pontos de vista podem ser conciliados, ou seja, a geometria extrínseca pode ser considerada como uma estrutura adicional à intrínseca. (Veja o teorema de incorporação de Nash .) No formalismo do cálculo geométrico, tanto a geometria extrínseca quanto a intrínseca de uma variedade podem ser caracterizadas por uma única forma de valor bivetor chamado de operador de forma . ^[4]

Abaixo estão alguns exemplos de como a geometria diferencial é aplicada a outros campos da ciência e da matemática.

• Na física , a geometria diferencial tem muitas aplicações, incluindo:
  • Geometria diferencial é a língua em que Albert Einstein 's teoria da relatividade geral é expressa. De acordo com a teoria, o universo é uma variedade lisa equipada com uma métrica pseudo-Riemanniana, que descreve a curvatura do espaço-tempo . Compreender essa curvatura é essencial para o posicionamento dos satélites em órbita ao redor da Terra. A geometria diferencial também é indispensável no estudo de lentes gravitacionais e buracos negros .
  • As formas diferenciais são usadas no estudo do eletromagnetismo .
  • A geometria diferencial tem aplicações na mecânica Lagrangiana e na mecânica Hamiltoniana . Variedades simpléticas em particular podem ser usadas para estudar sistemas hamiltonianos .
  • A geometria riemanniana e a geometria de contato foram usadas para construir o formalismo da geometrotermodinâmica, que encontrou aplicações na termodinâmica de equilíbrio clássica .
• Em química e biofísica, ao modelar a estrutura da membrana celular sob pressão variável.
• Em economia , a geometria diferencial tem aplicações no campo da econometria . ^[5]
• A modelagem geométrica (incluindo computação gráfica ) e o desenho geométrico auxiliado por computador baseiam-se em ideias da geometria diferencial.
• Em engenharia , a geometria diferencial pode ser aplicada para resolver problemas no processamento digital de sinais . ^[6]
• Na teoria de controle , a geometria diferencial pode ser usada para analisar controladores não lineares, particularmente o controle geométrico ^[7]
• Em probabilidade , estatística e teoria da informação , pode-se interpretar várias estruturas como variedades Riemannianas, que geram o campo da geometria da informação , particularmente por meio da métrica de informação de Fisher .
• Em geologia estrutural , a geometria diferencial é usada para analisar e descrever estruturas geológicas.
• Na visão computacional , a geometria diferencial é usada para analisar formas. ^[8]
• No processamento de imagens , a geometria diferencial é usada para processar e analisar dados em superfícies não planas. ^[9]
• A prova de Grigori Perelman da conjectura de Poincaré usando as técnicas de fluxos de Ricci demonstrou o poder da abordagem diferencial-geométrica para questões em topologia e destacou o importante papel desempenhado por seus métodos analíticos.
• Em comunicações sem fio , manifolds Grassmannianos são usados ​​para técnicas de formação de feixes em sistemas de múltiplas antenas . ^[10]

• Ethan D. Bloch (27 de junho de 2011). Um Primeiro Curso de Topologia Geométrica e Geometria Diferencial . Boston: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8122-7. OCLC  811474509 .
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• Frankel, Theodore (2004). A geometria da física: uma introdução (2ª ed.). Nova York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53927-2. OCLC  51855212 .
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• "Geometria diferencial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• B. Conrad. Folhetos de Geometria Diferencial, Universidade de Stanford
• Curso online de geometria diferencial de Michael Murray, 1996 Arquivado em 01/08/2013 na Wayback Machine
• A Modern Course on Curves and Surfaces, Richard S Palais, 2003 Arquivado em 09/04/2019 na Wayback Machine
• Galeria de superfícies 3DXM de Richard Palais, arquivado em 09/04/2019 na Wayback Machine
• Notas sobre geometria diferencial de Balázs Csikós
• NJ Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Geometria Diferencial, Outono de 2008