Cálculo diferencial

O gráfico de uma função, desenhado em preto, e uma linha tangente a essa função, desenhada em vermelho. A inclinação da reta tangente é igual à derivada da função no ponto marcado.

Em matemática , o cálculo diferencial é um subcampo do cálculo que estuda as taxas nas quais as quantidades mudam. ^[1] É uma das duas divisões tradicionais do cálculo, a outra sendo cálculo integral - o estudo da área abaixo de uma curva. ^[2]

Os principais objetos de estudo no cálculo diferencial são a derivada de uma função , noções relacionadas como diferencial e suas aplicações. A derivada de uma função em um valor de entrada escolhido descreve a taxa de mudança da função próxima a esse valor de entrada. O processo de encontrar uma derivada é chamado de diferenciação . Geometricamente, a derivada em um ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto, desde que a derivada exista e seja definida naquele ponto. Para uma função de valor realde uma única variável real, a derivada de uma função em um ponto geralmente determina a melhor aproximação linear para a função naquele ponto.

O cálculo diferencial e o cálculo integral são conectados pelo teorema fundamental do cálculo , que afirma que a diferenciação é o processo reverso da integração .

A diferenciação tem aplicações em quase todas as disciplinas quantitativas. Em física , a derivada do deslocamento de um corpo em movimento em relação ao tempo é a velocidade do corpo e a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração . A derivada do momento de um corpo em relação ao tempo é igual à força aplicada ao corpo; rearranjar essa declaração derivada leva à famosa F = m, uma equação associada à segunda lei do movimento de Newton . A taxa de reação de uma reação química é um derivado. Dentropesquisa operacional , os derivados determinam as maneiras mais eficientes de transportar materiais e projetar fábricas.

Os derivados são freqüentemente usados ​​para encontrar os máximos e mínimos de uma função. Equações envolvendo derivadas são chamadas de equações diferenciais e são fundamentais na descrição de fenômenos naturais . Derivadas e suas generalizações aparecem em muitos campos da matemática, como análise complexa , análise funcional , geometria diferencial , teoria da medida e álgebra abstrata .

Derivada [ editar ]

O gráfico de uma função arbitrária . A linha laranja é tangente a , ou seja, naquele ponto exato, a inclinação da curva e a linha reta são iguais.${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle x = a}$

A derivada de no ponto é a inclinação da tangente a . ^[3] Para ter uma intuição sobre isso, é necessário primeiro estar familiarizado com a descoberta da inclinação de uma equação linear, escrita na forma . A inclinação de uma equação é sua inclinação. Ele pode ser encontrado escolhendo quaisquer dois pontos e dividindo a mudança em pela mudança em , o que significa que . Para, o gráfico de tem uma inclinação de , conforme mostrado no diagrama abaixo:${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x = a}$${\ displaystyle (a, f (a))}$${\ displaystyle y = mx + b}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ text {declive}} = {\ frac {{\ text {mudança em}} y} {{\ text {mudança em}} x}}}$${\ displaystyle y = -2x + 13}$${\ displaystyle -2}$

O gráfico de ${\ displaystyle y = -2x-13}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ text {mudança em}} y} {{\ text {mudança em}} x}} = {\ frac {-6} {+ 3}} = - 2}$

Para resumir, é freqüentemente escrito como , sendo a letra grega Delta, que significa 'mudança em'. A inclinação de uma equação linear é constante, o que significa que a inclinação é a mesma em todos os lugares. No entanto, muitos gráficos, por exemplo , variam em sua inclinação. Isso significa que você não pode mais escolher dois pontos arbitrários e calcular a inclinação. Em vez disso, a inclinação do gráfico pode ser calculada considerando a linha tangente - uma linha que 'apenas toca' um ponto específico. ^{[Nota 1]} A inclinação de uma curva em um determinado ponto é igual à inclinação da tangente a esse ponto. Por exemplo, tem uma inclinação de em porque a inclinação da linha tangente a esse ponto é igual a :${\ displaystyle {\ frac {{\ text {mudança em}} y} {{\ text {mudança em}} x}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle x=2}$${\displaystyle 4}$

O gráfico de , com uma linha reta tangente a . A inclinação da linha tangente é igual a . (Observe que os eixos do gráfico não usam uma escala de 1: 1.)${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle (2,4)}$${\displaystyle 4}$

A derivada de uma função é simplesmente a inclinação desta reta tangente. ^{[Nota 2]} Embora a linha tangente toque apenas um único ponto no ponto de tangência, ela pode ser aproximada por uma linha que passa por dois pontos. Isso é conhecido como linha secante. Se os dois pontos pelos quais a linha secante passa estão próximos, a linha secante se parece muito com a linha tangente e, como resultado, sua inclinação também é muito semelhante:

A linha pontilhada passa pelos pontos e , que estão ambos na curva . Como esses dois pontos estão bastante próximos, a linha pontilhada e a linha tangente têm uma inclinação semelhante. À medida que os dois pontos ficam mais próximos, o erro produzido pela linha secante torna-se cada vez menor.${\displaystyle (2,4)}$${\displaystyle (3,9)}$${\displaystyle y=x^{2}}$

A vantagem de usar uma linha secante é que sua inclinação pode ser calculada diretamente. Considere os dois pontos no gráfico e , onde está um pequeno número. Como antes, a inclinação da linha que passa por esses dois pontos pode ser calculada com a fórmula . Isto dá${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle (x+\Delta x,f(x+\Delta x))}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle {\text{slope }}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\text{slope}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

À medida que se aproxima cada vez mais , a inclinação da linha secante fica cada vez mais próxima da inclinação da linha tangente. Isso é formalmente escrito como${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

A expressão acima significa 'à medida que se aproxima de 0, a inclinação da reta secante se aproxima cada vez mais de um determinado valor'. O valor que está sendo abordado é derivado de ; isso pode ser escrito como . Se , a derivada também pode ser escrita como , com a representação de uma mudança infinitesimal. Por exemplo, representa uma mudança infinitesimal em x. ^{[Nota 3]} Em resumo, se , então a derivada de é${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

desde que tal limite exista. ^{[4] [Nota 4]} Assim, conseguimos definir adequadamente a derivada de uma função, o que significa que a 'inclinação da reta tangente' agora tem um significado matemático preciso. Diferenciar uma função usando a definição acima é conhecido como diferenciação dos primeiros princípios. Aqui está uma prova, usando a diferenciação dos primeiros princípios, que a derivada de é :${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}2x+\Delta x\\\end{aligned}}}$

Como aproximações , aproximações . Portanto ,. Esta prova pode ser generalizada para mostrar que se e são constantes . Isso é conhecido como regra de potência . Por exemplo ,. No entanto, muitas outras funções não podem ser diferenciadas tão facilmente quanto funções polinomiais , o que significa que às vezes são necessárias outras técnicas para encontrar a derivada de uma função. Essas técnicas incluem a regra da cadeia , regra do produto e regra do quociente . Outras funções não podem ser diferenciadas de forma alguma, dando origem ao conceito de diferenciabilidade .${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2x+\Delta x}$${\displaystyle 2x}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x}$${\displaystyle {\frac {d(ax^{n})}{dx}}=anx^{n-1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(5x^{4})=5(4)x^{3}=20x^{3}}$

Um conceito intimamente relacionado à derivada de uma função é seu diferencial . Quando X e Y são variáveis reais, o derivado de f em x é a inclinação da linha tangente à curva de f em x . Como a origem e o destino de f são unidimensionais, a derivada de f é um número real. Se x e y são vetores, então a melhor aproximação linear ao gráfico de f depende de como f mudanças em várias direções ao mesmo tempo. Tomar a melhor aproximação linear em uma única direção determina umderivada parcial , que geralmente é denotada∂ y/∂ x. A linearização de f em todas as direções ao mesmo tempo é chamada de derivada total .

História de diferenciação [ editar ]

O conceito de derivada no sentido de linha tangente é muito antigo, familiar aos geômetras gregos como Euclides (c. 300 aC), Arquimedes (c. 287-212 aC) e Apolônio de Perga (c. 262- 190 aC). ^[5] Arquimedes também introduziu o uso de infinitesimais , embora estes fossem usados ​​principalmente para estudar áreas e volumes ao invés de derivados e tangentes; veja o uso de infinitesimais por Arquimedes .

O uso de infinitesimais para estudar taxas de mudança pode ser encontrado na matemática indiana , talvez já em 500 DC, quando o astrônomo e matemático Aryabhata (476–550) usou infinitesimais para estudar a órbita da Lua . ^[6] O uso de infinitesimais para calcular taxas de mudança foi desenvolvido significativamente por Bhāskara II (1114–1185); na verdade, foi argumentado ^[7] que muitas das noções-chave do cálculo diferencial podem ser encontradas em seu trabalho, como o " teorema de Rolle ". ^[8]

O matemático islâmica , Sharaf al-Din al-Tusi (1135-1213), em seu tratado sobre Equações , as condições estabelecidas para algumas equações cúbicos ter soluções, encontrando a maxima de polinômios cúbicos apropriadas. Ele provou, por exemplo, que o máximo do eixo cúbico ² - x ³ ocorre quando x = 2 a / 3 , e concluiu que a equação ax ² - x ³ = c tem exatamente uma solução positiva quando c = 4 a ³ / 27 , e duas soluções positivas sempre que 0 < c <4 uma ³ /27 de . ^[9] O historiador da ciência, Roshdi Rashed , ^[10] argumentou que al-Tūsī deve ter usado a derivada da cúbica para obter este resultado. A conclusão de Rashed foi contestada por outros estudiosos, entretanto, que argumentam que ele poderia ter obtido o resultado por outros métodos que não requerem que a derivada da função seja conhecida. ^[11]

O desenvolvimento moderno do cálculo é geralmente creditado a Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), que forneceram abordagens independentes ^[12] e unificadas para diferenciação e derivados. O insight principal, no entanto, que lhes rendeu esse crédito, foi o teorema fundamental do cálculo que relaciona diferenciação e integração: isso tornou obsoletos a maioria dos métodos anteriores para áreas de computação e volumes, ^[13] que não haviam sido significativamente estendidos desde o tempo de Ibn al -Haytham (Alhazen). ^[14] Para suas idéias sobre derivados, Newton e Leibniz construíram trabalhos anteriores significativos de matemáticos comoPierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens (1629-1695), Blaise Pascal (1623-1662) e John Wallis (1616-1703). Sobre a influência de Fermat, Newton escreveu uma vez em uma carta que " tive a dica deste método [de fluxions] da forma de desenhar tangentes de Fermat, e aplicando-a equações abstratas, direta e invertedly, eu fiz isso em geral. " ^{[15 ]} Isaac Barrow é administrado geralmente por via de crédito para o desenvolvimento inicial do derivado. ^[16]No entanto, Newton e Leibniz permanecem figuras-chave na história da diferenciação, até porque Newton foi o primeiro a aplicar a diferenciação à física teórica , enquanto Leibniz desenvolveu sistematicamente muito da notação usada ainda hoje.

Desde o século 17, muitos matemáticos contribuíram para a teoria da diferenciação. No século 19, o cálculo foi colocado em uma base muito mais rigorosa por matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) e Karl Weierstrass (1815-1897). Foi também nesse período que a diferenciação foi generalizada para o espaço euclidiano e o plano complexo .

Aplicações de derivados [ editar ]

Otimização [ editar ]

Se f é uma função diferenciável em ℝ (ou um intervalo aberto ) e x é um máximo local ou um mínimo local de f , então a derivada de f em x é zero. Os pontos onde f ' ( x ) = 0 são chamados de pontos críticos ou pontos estacionários (e o valor de f em x é chamado de valor crítico ). Se f não é considerado diferenciável em todos os lugares, então os pontos nos quais não é diferenciável também são designados como pontos críticos.

Se f é duas vezes diferenciável, então, inversamente, um ponto crítico x de f pode ser analisado considerando a segunda derivada de f em x  :

• se for positivo, x é um mínimo local;
• se for negativo, x é um máximo local;
• se for zero, então x pode ser um mínimo local, um máximo local ou nenhum. (Por exemplo, f ( x ) = x ³ tem um ponto crítico em x = 0 , mas não tem nem máximo nem mínimo lá, enquanto f ( x ) = ± x ⁴ tem um ponto crítico em x = 0 e um mínimo e máximo, respectivamente, lá.)

Isso é chamado de teste de segunda derivada . Uma abordagem alternativa, chamada de teste da primeira derivada , envolve considerar o sinal de f ' em cada lado do ponto crítico.

Tomar derivadas e resolver pontos críticos é, portanto, muitas vezes uma maneira simples de encontrar mínimos ou máximos locais, o que pode ser útil na otimização . Pelo teorema do valor extremo , uma função contínua em um intervalo fechado deve atingir seus valores mínimo e máximo pelo menos uma vez. Se a função for diferenciável, os mínimos e máximos podem ocorrer apenas em pontos críticos ou pontos finais.

Isso também tem aplicações no esboço de gráficos: uma vez que os mínimos e máximos locais de uma função diferenciável foram encontrados, um gráfico aproximado do gráfico pode ser obtido a partir da observação de que será crescente ou decrescente entre os pontos críticos.

Em dimensões superiores , um ponto crítico de uma função de valor escalar é um ponto em que o gradiente é zero. O teste da segunda derivada ainda pode ser usado para analisar pontos críticos, considerando os autovalores da matriz Hessiana das derivadas parciais secundárias da função no ponto crítico. Se todos os autovalores forem positivos, o ponto é um mínimo local; se todos forem negativos, é um máximo local. Se houver alguns autovalores positivos e alguns negativos, o ponto crítico é chamado de " ponto de sela " e, se nenhum desses casos se mantiver (ou seja, alguns dos autovalores são zero), o teste é considerado inconclusivo.

Cálculo das variações [ editar ]

Um exemplo de problema de otimização é: Encontre a curva mais curta entre dois pontos em uma superfície, supondo que a curva também deve estar na superfície. Se a superfície for um plano, a curva mais curta é uma linha. Mas se a superfície for, por exemplo, em forma de ovo, então o caminho mais curto não é imediatamente claro. Esses caminhos são chamados de geodésicas , e um dos problemas mais fundamentais no cálculo de variações é encontrar geodésicas. Outro exemplo é: Encontre o menor preenchimento de superfície de área em uma curva fechada no espaço. Essa superfície é chamada de superfície mínima e também pode ser encontrada usando o cálculo de variações.

Física [ editar ]

O cálculo é de vital importância na física: muitos processos físicos são descritos por equações envolvendo derivadas, chamadas equações diferenciais . A física está particularmente preocupada com a maneira como as quantidades mudam e se desenvolvem ao longo do tempo, e o conceito de " derivada do tempo " - a taxa de mudança ao longo do tempo - é essencial para a definição precisa de vários conceitos importantes. Em particular, as derivadas de tempo da posição de um objeto são significativas na física newtoniana :

• a velocidade é a derivada (em relação ao tempo) do deslocamento de um objeto (distância da posição original)
• aceleração é a derivada (em relação ao tempo) da velocidade de um objeto, ou seja, a segunda derivada (em relação ao tempo) da posição de um objeto.

Por exemplo, se a posição de um objeto em uma linha é dada por

${\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}$

então a velocidade do objeto é

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}$

e a aceleração do objeto é

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}$

que é constante.

Equações diferenciais [ editar ]

Uma equação diferencial é uma relação entre uma coleção de funções e suas derivadas. Uma equação diferencial ordinária é uma equação diferencial que relaciona funções de uma variável a suas derivadas com respeito a essa variável. Uma equação diferencial parcial é uma equação diferencial que relaciona funções de mais de uma variável a suas derivadas parciais . As equações diferenciais surgem naturalmente nas ciências físicas, na modelagem matemática e na própria matemática. Por exemplo, a segunda lei de Newton , que descreve a relação entre aceleração e força, pode ser definida como a equação diferencial ordinária

${\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

A equação do calor em uma variável de espaço, que descreve como o calor se difunde através de uma haste reta, é a equação diferencial parcial

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

Aqui u ( x , t ) é a temperatura da barra na posição xe no tempo t e α é uma constante que depende de quão rápido o calor se difunde através da barra. (2-3¡) - (3 + 2)

Teorema do valor médio [ editar ]

Teorema do valor médio: Para cada função diferenciável com, existe um com .${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle c\in (a,b)}$${\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

O teorema do valor médio fornece uma relação entre os valores da derivada e os valores da função original. Se f ( x ) é uma função real e um e b são números com a < b , então o valor médio teorema diz que, sob hipóteses leves, a inclinação entre os dois pontos ( a , f ( a )) e ( b , f ( b )) é igual à inclinação da linha tangente a f em algum ponto c entre a eb . Em outras palavras,

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Na prática, o que o teorema do valor médio faz é controlar uma função em termos de sua derivada. Por exemplo, suponha que f tenha derivada igual a zero em cada ponto. Isso significa que sua linha tangente é horizontal em todos os pontos, então a função também deve ser horizontal. O teorema do valor médio prova que isso deve ser verdade: A inclinação entre quaisquer dois pontos no gráfico de f deve ser igual à inclinação de uma das retas tangentes de f. Todas essas inclinações são zero, portanto, qualquer linha de um ponto no gráfico a outro ponto também terá inclinação zero. Mas isso diz que a função não se move para cima ou para baixo, então deve ser uma linha horizontal. Condições mais complicadas na derivada levam a informações menos precisas, mas ainda assim muito úteis, sobre a função original.

Polinómios de Taylor e séries de Taylor [ editar ]

A derivada fornece a melhor aproximação linear possível de uma função em um determinado ponto, mas isso pode ser muito diferente da função original. Uma maneira de melhorar a aproximação é fazer uma aproximação quadrática. Ou seja, a linearização de uma função de valor real f ( x ) no ponto x ₀ é um polinômio linear a + b ( x - x ₀ ) , e pode ser possível obter uma melhor aproximação considerando uma polinômio a + b ( x - x ₀ ) + c (x - x ₀ ) ² . Ainda melhor pode ser um polinômio cúbico a + b ( x - x ₀ ) + c ( x - x ₀ ) ² + d ( x - x ₀ ) ³ , e essa ideia pode ser estendida para polinômios de grau arbitrariamente alto. Para cada um desses polinômios, deve haver a melhor escolha possível dos coeficientes a , b , c e d isso torna a aproximação a melhor possível.

Na vizinhança de x ₀ , para a a melhor escolha possível é sempre f ( x ₀ ) , e para b a melhor escolha possível é sempre f ' ( x ₀ ) . Para c , d e coeficientes de grau superior, esses coeficientes são determinados por derivadas superiores de f . c deve ser sempref '' ( x ₀ )/2e d deve ser sempref '' ' ( x ₀ )/3!. Usando esses coeficientes, obtém-se o polinômio de Taylor de f . O polinômio de Taylor de grau d é o polinômio de grau d que melhor se aproxima de f , e seus coeficientes podem ser encontrados por uma generalização das fórmulas acima. O teorema de Taylor fornece um limite preciso sobre a qualidade da aproximação. Se f é um polinômio de grau menor ou igual a d , então o polinômio de Taylor de grau d é igual a f .

O limite dos polinômios de Taylor é uma série infinita chamada série de Taylor . A série de Taylor é freqüentemente uma boa aproximação da função original. Funções que são iguais às suas séries de Taylor são chamadas de funções analíticas . É impossível que funções com descontinuidades ou cantos agudos sejam analíticas; além disso, existem funções suaves que também não são analíticas.

Teorema da função implícita [ editar ]

Algumas formas geométricas naturais, como círculos , não podem ser desenhadas como o gráfico de uma função . Por exemplo, se f ( x , y ) = x ² + y ² - 1 , então o círculo é o conjunto de todos os pares ( x , y ) tal que f ( x , y ) = 0 . Esse conjunto é chamado de conjunto zero de f , e não é o mesmo que o gráfico de f , que é um parabolóide . O teorema da função implícita converte relações como f( x , y ) = 0 em funções. Ele afirma que se f é continuamente diferenciável , então em torno da maioria dos pontos, o conjunto zero de f se parece com gráficos de funções coladas juntas. Os pontos onde isso não é verdade são determinados por uma condição na derivada de f . O círculo, por exemplo, pode ser colado a partir dos gráficos das duas funções ± √ 1 - x ² . Em uma vizinhança de cada ponto do círculo, exceto (−1, 0) e (1, 0) , uma dessas duas funções tem um gráfico que se parece com o círculo. (Essas duas funções também se encontram(−1, 0) e (1, 0) , mas isso não é garantido pelo teorema da função implícita.)

O teorema da função implícita está intimamente relacionado ao teorema da função inversa , que afirma quando uma função se parece com gráficos de funções invertíveis coladas.

Veja também [ editar ]

• Cálculo diferencial)
• Geometria diferencial
• Diferenciação numérica
• Técnicas de diferenciação
• Lista de tópicos de cálculo

Notas [ editar ]

Referências [ editar ]

• J. Edwards (1892). Cálculo diferencial . Londres: MacMillan and Co. p. 1 .