Curva

Arte megalítica de Newgrange mostrando um interesse precoce por curvas

O interesse por curvas começou muito antes de elas serem objeto de estudo matemático. Isso pode ser visto em vários exemplos de seu uso decorativo na arte e em objetos do cotidiano que datam dos tempos pré-históricos. ^{[2] As} curvas, ou pelo menos suas representações gráficas, são simples de criar, por exemplo, com um pedaço de pau na areia de uma praia.

Historicamente, o termo linha foi usado no lugar do termo mais moderno curva . Conseqüentemente, os termos linha reta e linha direita foram usados ​​para distinguir o que hoje é chamado de linhas de linhas curvas. Por exemplo, no Livro I dos Elementos de Euclides , uma linha é definida como um "comprimento sem largura" (Def. 2), enquanto uma linha reta é definida como "uma linha que se encontra uniformemente com os pontos sobre si mesma" (Def. 4) . A ideia de Euclides de uma linha talvez seja esclarecida pela afirmação "As extremidades de uma linha são pontos" (Def. 3). ^[3] Comentaristas posteriores classificaram as linhas de acordo com vários esquemas. Por exemplo: ^[4]

• Linhas compostas (linhas formando um ângulo)
• Linhas Incompostas
  • Determinar (linhas que não se estendem indefinidamente, como o círculo)
  • Indeterminado (linhas que se estendem indefinidamente, como a linha reta e a parábola)

As curvas criadas pelo corte de um cone ( seções cônicas ) estavam entre as curvas estudadas na Grécia antiga.

Os geômetras gregos haviam estudado muitos outros tipos de curvas. Um dos motivos era seu interesse em resolver problemas geométricos que não podiam ser resolvidos com o uso de bússola e construção de régua padrão . Essas curvas incluem:

• As seções cônicas, estudadas em profundidade por Apolônio de Perga
• A cissoide de Diocles , estudada por Diocles e usada como método para dobrar o cubo . ^[5]
• O conóide de Nicomedes , estudado por Nicomedes como um método para dobrar o cubo e para trissecionar um ângulo . ^[6]
• A espiral de Arquimedes , estudada por Arquimedes como um método para trissecionar um ângulo e quadrar o círculo . ^[7]
• As seções espirais , seções de toros estudadas por Perseu como seções de cones, foram estudadas por Apolônio.

A geometria analítica permitiu que curvas, como o Folium de Descartes , fossem definidas por meio de equações em vez de construção geométrica.

Um avanço fundamental na teoria das curvas foi a introdução da geometria analítica por René Descartes no século XVII. Isso permitiu que uma curva fosse descrita usando uma equação em vez de uma construção geométrica elaborada. Isso não apenas permitiu que novas curvas fossem definidas e estudadas, mas permitiu que uma distinção formal fosse feita entre curvas algébricas que podem ser definidas usando equações polinomiais e curvas transcendentais que não podem. Anteriormente, as curvas eram descritas como "geométricas" ou "mecânicas" de acordo com a forma como eram, ou supostamente poderiam ser, geradas. ^[2]

As seções cônicas foram aplicadas em astronomia por Kepler . Newton também trabalhou em um dos primeiros exemplos de cálculo de variações . Soluções para problemas variacionais, como as questões da braquistócrona e da tautócrona , introduziram as propriedades das curvas de novas maneiras (neste caso, a ciclóide ). A catenária recebe esse nome como a solução para o problema de uma corrente suspensa, o tipo de questão que se torna rotineiramente acessível por meio do cálculo diferencial .

No século XVIII, surgiu a teoria das curvas algébricas planas em geral. Newton havia estudado as curvas cúbicas , na descrição geral dos pontos reais em "ovais". O enunciado do teorema de Bézout mostrou uma série de aspectos que não eram diretamente acessíveis à geometria da época, a ver com pontos singulares e soluções complexas.

Desde o século XIX, a teoria da curva é vista como o caso especial da dimensão um da teoria das variedades e variedades algébricas . No entanto, muitas questões permanecem específicas para curvas, como curvas de preenchimento de espaço , teorema da curva de Jordan e décimo sexto problema de Hilbert .

Uma curva topológica pode ser especificada por uma função contínua ${\ displaystyle \ gamma \ dois pontos I \ rightarrow X}$a partir de um intervalo de I dos números reais em um espaço topológico X . Falando propriamente, a curva é a imagem de${\ displaystyle \ gamma.}$ No entanto, em alguns contextos, ${\ displaystyle \ gamma}$ em si é chamado de curva, especialmente quando a imagem não se parece com o que é geralmente chamado de curva e não caracteriza suficientemente ${\ displaystyle \ gamma.}$

Por exemplo, a imagem da curva de Peano ou, mais geralmente, uma curva de preenchimento de espaço preenche completamente um quadrado e, portanto, não dá nenhuma informação sobre como${\ displaystyle \ gamma}$ é definido.

Uma curva ${\ displaystyle \ gamma}$é fechado ^[8] ou é um loop se${\ displaystyle I = [a, b]}$ e ${\ displaystyle \ gamma (a) = \ gamma (b)}$. Uma curva fechada é, portanto, a imagem de um mapeamento contínuo de um círculo .

Se o domínio de uma curva topológica é um intervalo fechado e limitado${\ displaystyle I = [a, b]}$, é chamado de caminho , também conhecido como arco topológico (ou apenasarco ).

Uma curva é simples se for a imagem de um intervalo ou de um círculo por uma função injetiva contínua. Em outras palavras, se uma curva é definida por uma função contínua${\ displaystyle \ gamma}$com um intervalo como domínio, a curva é simples se e somente se dois pontos diferentes do intervalo tiverem imagens diferentes, exceto, possivelmente, se os pontos forem os pontos finais do intervalo. Intuitivamente, uma curva simples é uma curva que "não se cruza e não tem pontos ausentes". ^[9]

Uma curva de dragão com uma área positiva

Uma curva fechada simples também é chamada de curva de Jordan . O teorema da curva de Jordan afirma que o conjunto de complemento em um plano de uma curva de Jordan consiste em dois componentes conectados (ou seja, a curva divide o plano em duas regiões sem interseção , ambas conectadas).

Uma curva plana é uma curva para a qual${\ displaystyle X}$é o plano euclidiano - estes são os primeiros exemplos encontrados - ou, em alguns casos, o plano projetivo .Uma curva de espaço é uma curva para a qual${\ displaystyle X}$é pelo menos tridimensional; uma curva inclinada é uma curva de espaço que não está em nenhum plano. Essas definições de curvas de plano, espaço e inclinação também se aplicam a curvas algébricas reais , embora a definição acima de uma curva não se aplique (uma curva algébrica real pode ser desconectada ).

A definição de uma curva inclui figuras que dificilmente podem ser chamadas de curvas no uso comum. Por exemplo, a imagem de uma curva simples pode cobrir um quadrado no plano ( curva de preenchimento de espaço ) e, portanto, ter uma área positiva. ^[10] As curvas fractais podem ter propriedades que são estranhas para o senso comum. Por exemplo, uma curva fractal pode ter uma dimensão de Hausdorff maior que um (veja o floco de neve de Koch ) e até mesmo uma área positiva. Um exemplo é a curva do dragão , que possui muitas outras propriedades incomuns.

Grosso modo, uma curva diferenciável é uma curva que é definida como sendo localmente a imagem de uma função diferenciável injetável${\ displaystyle \ gamma \ dois pontos I \ rightarrow X}$de um intervalo I dos números reais em uma variedade X diferenciável , muitas vezes${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Mais precisamente, uma curva diferenciável é um subconjunto C de X onde cada ponto de C tem uma vizinhança U tal que${\ displaystyle C \ cap U}$é difeomórfico a um intervalo dos números reais. ^{[ esclarecimento necessário ]} Em outras palavras, uma curva diferenciável é uma variedade diferenciável de dimensão um.

Arco diferenciável

Na geometria euclidiana , um arco (símbolo: ⌒ ) é um subconjunto conectado de uma curva diferenciável .

Os arcos de linhas são chamados de segmentos ou raios , dependendo se são limitados ou não.

Um exemplo comum de curva é um arco de círculo , denominado arco circular .

Em uma esfera (ou esferóide ), um arco de um grande círculo (ou uma grande elipse ) é chamado de grande arco .

Comprimento de uma curva

Se ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ é o ${\ displaystyle n}$espaço euclidiano dimensional, e se ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ é uma função injetiva e continuamente diferenciável, então o comprimento de ${\ displaystyle \ gamma}$ é definido como a quantidade

${\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {b} | \ gamma \, '(t) | ~ \ mathrm {d} {t}.}$

O comprimento de uma curva é independente da parametrização ${\ displaystyle \ gamma}$.

Em particular, o comprimento ${\ displaystyle s}$do gráfico de uma função continuamente diferenciável${\ displaystyle y = f (x)}$ definido em um intervalo fechado ${\ displaystyle [a, b]}$ é

${\ displaystyle s = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1+ [f '(x)] ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} {x}.}$

Mais geralmente, se ${\ displaystyle X}$é um espaço métrico com métrica${\ displaystyle d}$, então podemos definir o comprimento de uma curva ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$ de

${\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ sup \! \ left (\ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n } d (\ gamma (t_ {i}), \ gamma (t_ {i-1})) ~ {\ Bigg |} ~ n \ in \ mathbb {N} ~ {\ text {and}} ~ a = t_ {0}$

onde o supremo é assumido por todos ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ e todas as partições ${\ displaystyle t_ {0}$ de ${\ displaystyle [a, b]}$.

Uma curva retificável é uma curva com comprimento finito . Uma curva${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$é chamado natural (ou velocidade da unidade ou parametrizado pelo comprimento do arco) se para qualquer${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ in [a, b]}$ de tal modo que ${\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$, temos

${\ displaystyle \ operatorname {Comprimento} \! \ left (\ gamma | _ {[t_ {1}, t_ {2}]} \ right) = t_ {2} -t_ {1}.}$

Se ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to X}$é uma função contínua de Lipschitz , então é automaticamente retificável. Além disso, neste caso, pode-se definir a velocidade (ou derivada métrica ) de${\ displaystyle \ gamma}$ no ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ como

${\ displaystyle {\ operatorname {Velocidade} _ {\ gamma}} (t) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ limsup _ {[a, b] \ ni s \ to t} {\ frac {d (\ gamma (s), \ gamma (t))} {| st |}}}$

e então mostrar isso

${\ displaystyle \ operatorname {Comprimento} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {\ operatorname {Velocidade} _ {\ gamma}} (t) ~ \ mathrm {d} {t}.}$

Geometria diferencial

Enquanto os primeiros exemplos de curvas encontradas são principalmente curvas planas (isto é, em palavras do dia-a-dia, linhas curvas no espaço bidimensional ), existem exemplos óbvios como a hélice que existe naturalmente em três dimensões. As necessidades da geometria, e também, por exemplo, da mecânica clássica, devem ter uma noção de curva no espaço de qualquer número de dimensões. Na relatividade geral , uma linha mundial é uma curva no espaço-tempo .

Se ${\ displaystyle X}$é uma variedade diferenciável , então podemos definir a noção de curva diferenciável em${\ displaystyle X}$. Essa ideia geral é suficiente para cobrir muitas das aplicações das curvas na matemática. Do ponto de vista local, pode-se tomar${\ displaystyle X}$ser espaço euclidiano. Por outro lado, é útil ser mais geral, visto que (por exemplo) é possível definir os vetores tangentes para${\ displaystyle X}$ por meio dessa noção de curva.

Se ${\ displaystyle X}$é uma variedade suave , uma curva suave em${\ displaystyle X}$é um mapa suave

${\ displaystyle \ gamma \ dois pontos I \ rightarrow X}$.

Esta é uma noção básica. Existem ideias cada vez mais restritas também. Se${\ displaystyle X}$ é um ${\ displaystyle C ^ {k}}$variedade (ou seja, uma variedade cujos gráficos são${\ displaystyle k}$vezes continuamente diferenciáveis ), então um${\ displaystyle C ^ {k}}$ curva em ${\ displaystyle X}$ é uma curva que só se assume ser ${\ displaystyle C ^ {k}}$ (ie ${\ displaystyle k}$vezes continuamente diferenciáveis). Se${\ displaystyle X}$é uma variedade analítica (ou seja, infinitamente diferenciável e os gráficos são expressos como séries de potências ), e${\ displaystyle \ gamma}$ é um mapa analítico, então ${\ displaystyle \ gamma}$é considerada uma curva analítica .

Uma curva diferenciável é considerada regularse sua derivada nunca desaparecer. (Em palavras, uma curva regular nunca desacelera até parar ou retrocede em si mesma.) Dois${\ displaystyle C ^ {k}}$ curvas diferenciáveis

${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ dois pontos I \ rightarrow X}$ e

${\ displaystyle \ gamma _ {2} \ dois pontos J \ rightarrow X}$

são considerados equivalentes se houver uma bijetiva ${\ displaystyle C ^ {k}}$ mapa

${\ displaystyle p \ dois pontos J \ rightarrow I}$

de modo que o mapa inverso

${\ displaystyle p ^ {- 1} \ dois pontos I \ rightarrow J}$

é também ${\ displaystyle C ^ {k}}$, e

${\ displaystyle \ gamma _ {2} (t) = \ gamma _ {1} (p (t))}$

para todos ${\ displaystyle t}$. O mapa${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$é chamado de reparametrização de${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$; e isso cria uma relação de equivalência no conjunto de todos${\ displaystyle C ^ {k}}$ curvas diferenciáveis ​​em ${\ displaystyle X}$. UMA${\ displaystyle C ^ {k}}$ arco é uma classe de equivalência de${\ displaystyle C ^ {k}}$ curvas sob a relação de reparametrização.

As curvas algébricas são as curvas consideradas na geometria algébrica . Uma curva algébrica avião é o conjunto dos pontos de coordenadas x , y tais que f ( x , y ) = 0 , onde f é um polinómio em duas variáveis definidas sobre algum campo F . Diz-se que a curva é definida sobre F . Geometria algébrica normalmente considera não apenas os pontos com coordenadas em F , mas todos os pontos com coordenadas em um corpo algebricamente fechado K .

Se C é uma curva definida por um polinomial f com coeficientes em F , a curva é dito para ser definido através F .

No caso de uma curva definida sobre os números reais , normalmente se consideram pontos com coordenadas complexas . Nesse caso, um ponto com coordenadas reais é um ponto real e o conjunto de todos os pontos reais é a parte real da curva. Portanto, apenas a parte real de uma curva algébrica pode ser uma curva topológica (nem sempre é o caso, pois a parte real de uma curva algébrica pode estar desconectada e conter pontos isolados). Toda a curva, isto é, o conjunto de seu ponto complexo, é, do ponto de vista topológico, uma superfície. Em particular, as curvas algébricas projetivas complexas não singulares são chamadas de superfícies de Riemann .

Os pontos de uma curva C com coordenadas em um campo G são considerados racionais sobre G e podem ser denotados como C ( G ) . Quando G é o campo dos números racionais , fala-se simplesmente de pontos racionais . Por exemplo, o Último Teorema de Fermat pode ser reformulado como: Para n > 2 , todo ponto racional da curva de Fermat de grau n tem uma coordenada zero .

As curvas algébricas também podem ser curvas de espaço ou curvas em um espaço de dimensão superior, digamos n . Eles são definidos como variedades algébricas de dimensão um. Eles podem ser obtidos como as soluções comuns de pelo menos n –1 equações polinomiais em n variáveis. Se n –1 polinômios são suficientes para definir uma curva em um espaço de dimensão n , a curva é considerada uma interseção completa . Ao eliminar variáveis ​​(por qualquer ferramenta da teoria de eliminação ), uma curva algébrica pode ser projetada em uma curva algébrica plana , a qual, entretanto, pode introduzir novas singularidades, como cúspides ou pontos duplos .

Uma curva plana também pode ser completada em uma curva no plano projetivo : se uma curva é definida por um polinômio f de grau total d , então w ^d f ( u / w , v / w ) simplifica para um polinômio homogêneo g ( u , v , w ) de grau d . Os valores de u , v , w tais que g ( u , v , w ) = 0 são as coordenadas homogêneas dos pontos de completação da curva no plano projetivo e os pontos da curva inicial são aqueles tais que w é não zero. Um exemplo é a curva de Fermat u ⁿ + v ⁿ = w ⁿ , que tem uma forma afim x ⁿ + y ⁿ = 1 . Um processo semelhante de homogeneização pode ser definido para curvas em espaços dimensionais superiores.

Exceto para retas , os exemplos mais simples de curvas algébricas são as cônicas , que são curvas não singulares de grau dois e gênero zero. As curvas elípticas , que são curvas não singulares do gênero um, são estudadas na teoria dos números e têm importantes aplicações na criptografia .

• AS Parkhomenko (2001) [1994], "Line (curve)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• BI Golubov (2001) [1994], "Rectifiable curve" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Euclides , comentário e tradução. por TL Heath Elements Vol. 1 (Cambridge 1908) Google Books
• EH Lockwood, A Book of Curves (1961 Cambridge)

• Índice de Curvas Famosas , Escola de Matemática e Estatística, Universidade de St Andrews, Escócia
• Curvas matemáticas Uma coleção de 874 curvas matemáticas bidimensionais
• Galeria de curvas espaciais feitas de círculos, inclui animações de Peter Moses
• Galeria das curvas do bispo e outras curvas esféricas, inclui animações de Peter Moses
• Artigo da Enciclopédia de Matemática sobre linhas .
• A página Manifold Atlas em 1-manifolds .