Seção cônica

As seções cônicas foram estudadas por milhares de anos e forneceram uma rica fonte de resultados interessantes e bonitos em geometria euclidiana .

Definição

Os limites pretos das regiões coloridas são seções cônicas. Não é mostrada a outra metade da hipérbole, que está na outra metade não mostrada do cone duplo.

Uma cônica é a curva obtida como a intersecção de um plano , denominado plano de corte , com a superfície de um cone duplo (um cone com duas nappes ). Geralmente, presume-se que o cone é um cone circular reto para fins de fácil descrição, mas isso não é necessário; qualquer cone duplo com alguma seção transversal circular será suficiente. Os planos que passam pelo vértice do cone cruzam o cone em um ponto, uma linha ou um par de linhas que se cruzam. Estas são chamadas de cônicas degeneradas e alguns autores não as consideram de forma alguma como cônicas. Salvo indicação em contrário, "cônica" neste artigo se refere a uma cônica não degenerada.

Existem três tipos de cônicas: a elipse , a parábola e a hipérbole . O círculo é um tipo especial de elipse, embora historicamente Apolônio seja considerado um quarto tipo. As elipses surgem quando a intersecção do cone e do plano é uma curva fechada . O círculo é obtido quando o plano de corte é paralelo ao plano do círculo gerador do cone; para um cone direito, isso significa que o plano de corte é perpendicular ao eixo. Se o plano de corte for paralelo a exatamente uma linha geradora do cone, então a cônica é ilimitada e é chamada de parábola . No caso restante, a figura é uma hipérbole : o plano cruza as duas metades do cone, produzindo duas curvas ilimitadas separadas.

Excentricidade, foco e diretriz

Elipse ( e = 1/2), parábola ( e = 1) e hipérbole ( e = 2) com foco fixo F e diretriz ( e = ∞). O círculo vermelho ( e = 0) é incluído para referência, ele não tem uma diretriz no plano.

Alternativamente, pode-se definir uma seção cônica puramente em termos de geometria plana: é o lugar geométrico de todos os pontos P cuja distância a um ponto fixo F (chamado de foco ) é um múltiplo constante (chamado de excentricidade e ) da distância de P para uma linha fixa L (chamada de diretriz ). Para 0 < e <1 obtemos uma elipse, para e = 1 uma parábola e para e > 1 uma hipérbole.

Um círculo é um caso limite e não é definido por um foco e diretriz no plano euclidiano. A excentricidade de um círculo é definida como zero e seu foco é o centro do círculo, mas sua diretriz só pode ser tomada como a linha no infinito no plano projetivo. ^[2]

A excentricidade de uma elipse pode ser vista como uma medida de quão longe a elipse se desvia de ser circular. ^{[3] : 844}

Se o ângulo entre a superfície do cone e seu eixo for ${\ displaystyle \ beta}$ e o ângulo entre o plano de corte e o eixo é ${\ displaystyle \ alpha,}$a excentricidade é ^[4] ${\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}.}$

Uma prova de que as curvas acima definidas pela propriedade da diretriz do foco são as mesmas obtidas pelos planos que cruzam um cone é facilitada pelo uso de esferas de Dandelin . ^[5]

Parâmetros cônicos

Parâmetros cônicos no caso de uma elipse

Além da excentricidade ( e ), focos e diretriz, várias características geométricas e comprimentos estão associados a uma seção cônica.

O eixo principal é a linha que une os focos de uma elipse ou hipérbole, e seu ponto médio é o centro da curva . Uma parábola não tem centro.

A excentricidade linear ( c ) é a distância entre o centro e um foco.

O latus reto é o acorde paralelo à diretriz e passando por um foco; sua metade do comprimento é o reto semi-latus ( ℓ ).

O parâmetro focal ( p ) é a distância de um foco à diretriz correspondente.

O eixo principal é o acorde entre os dois vértices: o acorde mais longo de uma elipse, o acorde mais curto entre os ramos de uma hipérbole. Sua metade do comprimento é o semi-eixo maior ( a ). Quando uma elipse ou hipérbole estão na posição padrão como nas equações abaixo, com focos no eixo xe centro na origem, os vértices da cônica têm coordenadas (- a , 0) e ( a , 0) , com um não negativo.

O eixo menor é o diâmetro mais curto de uma elipse e sua metade do comprimento é o eixo semi-menor ( b ), o mesmo valor b da equação padrão abaixo. Por analogia, para uma hipérbole, também chamamos o parâmetro b na equação padrão de semi-eixo menor.

As seguintes relações se mantêm: ^[6]

• ${\ displaystyle \ \ ell = pe}$
• ${\ displaystyle \ c = ae}$
• ${\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}}$

Para cônicas na posição padrão, esses parâmetros têm os seguintes valores, tomando ${\ displaystyle a, b> 0}$.

seção cônica	equação	excentricidade ( e )	excentricidade linear ( c )	reto semi-latus ( ℓ )	parâmetro focal ( p )
círculo	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle a \,}$	${\ displaystyle \ infty}$
elipse	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}}$
parábola	${\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \,}$	${\ displaystyle 1 \,}$	N / D	${\ displaystyle 2a \,}$	${\ displaystyle 2a \,}$
hipérbole	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$

Formulários padrão em coordenadas cartesianas

Formas padrão de uma elipse

Formas padrão de uma parábola

Formas padrão de uma hipérbole

Depois de introduzir as coordenadas cartesianas , a propriedade foco-diretriz pode ser usada para produzir as equações satisfeitas pelos pontos da seção cônica. ^[7] Por meio de uma mudança de coordenadas ( rotação e translação dos eixos ), essas equações podem ser colocadas em formas padrão . ^[8] Para elipses e hipérboles uma forma padrão tem o eixo x como eixo principal e a origem (0,0) como centro. Os vértices são (± a , 0) e os focos (± c , 0) . Defina b pelas equações c ² = a ² - b ² para uma elipse ec ² = a ² + b ² para uma hipérbole. Para um círculo, c = 0 então a ² = b ² . Para a parábola, a forma padrão tem como foco o eixo x no ponto ( a , 0) e a diretriz a reta com a equação x = - a . Na forma padrão, a parábola sempre passará pela origem.

Para uma hipérbole retangular ou equilátera , cujas assíntotas são perpendiculares, existe uma forma padrão alternativa em que as assíntotas são os eixos coordenados e a linha x = y é o eixo principal. Os focos então têm coordenadas ( c , c ) e (- c , - c ) . ^[9]

• Círculo: x ² + y ² = a ²
• Elipse: x ²/a ² + y ²/b ² = 1
• Parábola: y ² = 4 machado com a > 0
• Hipérbole: x ²/a ² - y ²/b ² = 1
• Hipérbole retangular: ^[10] xy = c ²/2

As primeiras quatro dessas formas são simétricas em relação ao eixo x e ao eixo y (para o círculo, elipse e hipérbole) ou apenas em relação ao eixo x (para a parábola). A hipérbole rectangular, no entanto, é em vez disso simétrico em relação a linhas de y = x e y = - x .

Esses formulários padrão podem ser escritos parametricamente como,

• Círculo : ( a cos θ , a sin θ ) ,
• Elipse : ( a cos θ , b sin θ ) ,
• Parábola : ( em ² , 2 em ) ,
• Hipérbole : ( a sec θ , b tan θ ) ou (± a cosh u , b sinh u ) ,
• Hipérbole retangular :${\ displaystyle (dt, {\ frac {d} {t}})}$ Onde ${\ displaystyle d = {\ frac {c} {\ sqrt {2}}}.}$

Forma Cartesiana Geral

No sistema de coordenadas cartesianas , o gráfico de uma equação quadrática em duas variáveis ​​é sempre uma seção cônica (embora possa ser degenerada ^[11] ), e todas as seções cônicas surgem desta forma. A equação mais geral é da forma ^[12]

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}$

com todos os coeficientes números reais e A, B, C nem todos zero.

Notação de matriz

A equação acima pode ser escrita em notação matricial como ^[13]

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} D&E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matriz}} \ direita) + F = 0.}$

A equação geral também pode ser escrita como

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matriz}} \ direita) \ esquerda ({\ begin {matriz} x \\ y \\ 1 \ end {matriz}} \ direita) = 0.}$

Esta forma é uma especialização da forma homogênea usada no cenário mais geral da geometria projetiva (veja abaixo ).

Discriminante

As seções cônicas descritas por esta equação podem ser classificadas em termos de valor ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$, chamado de discriminante da equação. ^[14] Assim, o discriminante é - 4Δ, onde Δ é o determinante da matriz ${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right |.}$

Se a cônica for não degenerada , então: ^[15]

• se B ² - 4 AC <0 , a equação representa uma elipse ;
  • se A = C e B = 0 , a equação representa um círculo , que é um caso especial de elipse;
• se B ² - 4 AC = 0 , a equação representa uma parábola ;
• se B ² - 4 AC > 0 , a equação representa uma hipérbole ;
  • se A + C = 0 , a equação representa uma hipérbole retangular .

Na notação utilizada aqui, uma e B são os coeficientes polinomiais, em contraste com algumas fontes que indicam os semi-eixos maiores e semiminor como A e B .

Invariantes

O discriminante B ² - 4 AC da equação quadrática da secção cónica (ou equivalentemente o determinante AC - B ² /4 da matriz 2 x 2) e a quantidade de A + C (o traço da matriz 2 x 2) estão sob invariante rotações e translações arbitrárias dos eixos coordenados, ^{[15] [16] [17]} como é o determinante da matriz 3 × 3 acima . ^{[18] : pp. 60–62} O termo constante F e a soma D ² + E ² são invariantes apenas sob rotação. ^{[18] : pp. 60-62}

Excentricidade em termos de coeficientes

Quando a seção cônica é escrita algebricamente como

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0, \,}$

a excentricidade pode ser escrita como uma função dos coeficientes da equação quadrática. ^[19] Se 4 AC = B ² a cônica é uma parábola e sua excentricidade é igual a 1 (desde que não degenerada). Caso contrário, assumindo que a equação representa uma hipérbole ou elipse não degenerada, a excentricidade é dada por

${\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}},}$

onde η = 1 se o determinante da matriz 3 × 3 acima for negativo e η = −1 se esse determinante for positivo.

Também pode ser mostrado ^{[18] : p. 89} que a excentricidade é uma solução positiva da equação

${\ displaystyle \ Delta e ^ {4} + [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] e ^ {2} - [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] = 0, }$

onde novamente ${\ displaystyle \ Delta = AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}}.}$ Isso tem precisamente uma solução positiva - a excentricidade - no caso de uma parábola ou elipse, enquanto no caso de uma hipérbole tem duas soluções positivas, uma das quais é a excentricidade.

Conversão para a forma canônica

No caso de uma elipse ou hipérbole, a equação

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 \,}$

pode ser convertido para a forma canônica em variáveis ​​transformadas ${\ displaystyle x ', y'}$como ^[20]

${\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2})}} + {\ frac {y' ^ {2}} {-S / (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} ^ {2})}} = 1,}$

ou equivalente

${\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ Delta)}} + {\ frac {y' ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {2} \ Delta)}} = 1,}$

Onde ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ e ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$são os valores próprios da matriz${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right)}$ - isto é, as soluções da equação

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - (A + C) \ lambda + (AC- (B / 2) ^ {2}) = 0}$

- e ${\ displaystyle S}$é o determinante da matriz 3 × 3 acima , e${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$é novamente o determinante da matriz 2 × 2. No caso de uma elipse, os quadrados dos dois semi-eixos são dados pelos denominadores na forma canônica.

Coordenadas polares

Desenvolvimento da seção cônica conforme a excentricidade e aumenta

Em coordenadas polares , uma seção cônica com um foco na origem e, se houver, o outro em um valor negativo (para uma elipse) ou um valor positivo (para uma hipérbole) no eixo x , é dada pela equação

${\ displaystyle r = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}},}$

onde e é a excentricidade el é o reto semi-latus.

Como acima, para e = 0 , o gráfico é um círculo, para 0 < e <1 o gráfico é uma elipse, para e = 1 uma parábola e para e > 1 uma hipérbole.

A forma polar da equação de uma cônica é freqüentemente usada em dinâmica ; por exemplo, determinar as órbitas de objetos girando em torno do sol. ^[21]

Propriedades

Assim como dois pontos (distintos) determinam uma linha, cinco pontos determinam uma cônica . Formalmente, dados quaisquer cinco pontos no plano na posição linear geral , ou seja, não há três colineares , há uma única cônica passando por eles, que será não degenerada; isso é verdade tanto no plano euclidiano quanto em sua extensão, o plano projetivo real. De fato, dados quaisquer cinco pontos, há uma cônica passando por eles, mas se três dos pontos forem colineares, a cônica será degenerada (redutível, porque contém uma linha) e pode não ser única; veja mais discussão .

Quatro pontos no plano em posição linear geral determinam uma única cônica que passa pelos três primeiros pontos e tem o quarto ponto como seu centro. Assim, conhecer o centro equivale a conhecer dois pontos da cônica para fins de determinação da curva. ^[22]

Além disso, uma cônica é determinada por qualquer combinação de k pontos na posição geral que ela atravessa e 5 - k retas que são tangentes a ela, para 0≤ k ≤5. ^[23]

Qualquer ponto no plano está em zero, uma ou duas linhas tangentes de uma cônica. Um ponto em apenas uma linha tangente está na cônica. Um ponto em nenhuma linha tangente é considerado um ponto interno (ou ponto interno ) da cônica, enquanto um ponto em duas linhas tangentes é um ponto externo (ou ponto externo ).

Todas as seções cônicas compartilham uma propriedade de reflexão que pode ser declarada como: Todos os espelhos na forma de uma seção cônica não degenerada refletem a luz que vem ou vai em direção a um foco em direção ou para longe do outro foco. No caso da parábola, o segundo foco precisa ser pensado como infinitamente distante, de modo que os raios de luz que vão em direção ou que vêm do segundo foco sejam paralelos. ^{[24] [25]}

O teorema de Pascal diz respeito à colinearidade de três pontos que são construídos a partir de um conjunto de seis pontos em qualquer cônica não degenerada. O teorema também é válido para cônicas degeneradas que consistem em duas retas, mas nesse caso é conhecido como teorema de Pappus .

As seções cônicas não degeneradas são sempre " lisas ". Isso é importante para muitas aplicações, como aerodinâmica, onde uma superfície lisa é necessária para garantir o fluxo laminar e evitar turbulência .

Menaechmus e primeiros trabalhos

Acredita-se que a primeira definição de seção cônica foi dada por Menaechmus (falecido em 320 aC) como parte de sua solução para o problema de Delian ( duplicação do cubo ). ^{[26] [27]} Seu trabalho não sobreviveu, nem mesmo os nomes que ele usou para essas curvas, e só é conhecido por meio de contas secundárias. ^[28] A definição usada naquela época difere da comumente usada hoje. Os cones foram construídos girando um triângulo retângulo em torno de uma de suas pernas, de modo que a hipotenusa gere a superfície do cone (essa linha é chamada de geratriz ). Três tipos de cones foram determinados por seus ângulos de vértice (medidos pelo dobro do ângulo formado pela hipotenusa e a perna sendo girada no triângulo retângulo). A seção cônica foi então determinada pela intersecção de um desses cones com um plano perpendicular a uma geratriz. O tipo de cônica é determinado pelo tipo de cone, ou seja, pelo ângulo formado no vértice do cone: se o ângulo é agudo, a cônica é uma elipse; se o ângulo estiver correto, a cônica é uma parábola; e se o ângulo for obtuso, a cônica é uma hipérbole (mas apenas um ramo da curva). ^[29]

Diz-se que Euclides (fl. 300 aC) escreveu quatro livros sobre cônicas, mas também se perderam. ^[30] Arquimedes (morreu c. 212 AC) é conhecido por ter estudado cônicas, tendo determinado a área limitada por uma parábola e uma corda na quadratura da parábola . Seu principal interesse era em termos de medição de áreas e volumes de figuras relacionadas às cônicas e parte desta obra sobrevive em seu livro sobre os sólidos da revolução das cônicas, Sobre Conóides e Esferóides . ^[31]

Apolônio de Perga

Diagrama das cônicas de Apolônio , em uma tradução árabe do século IX

O maior progresso no estudo das cônicas pelos gregos antigos deve-se a Apolônio de Perga (falecido por volta de 190 aC), cujas Seções cônicas ou cônicas de oito volumes resumiram e ampliaram muito o conhecimento existente. ^[32] O estudo de Apolônio das propriedades dessas curvas tornou possível mostrar que qualquer plano que corte um cone duplo fixo (dois napped), independentemente de seu ângulo, produzirá uma cônica de acordo com a definição anterior, levando à definição comumente usada hoje. Círculos, não construtíveis pelo método anterior, também podem ser obtidos dessa maneira. Isso pode explicar porque Apolônio considerou os círculos um quarto tipo de seção cônica, uma distinção que não é mais feita. Apolônio usou os nomes elipse , parábola e hipérbole para essas curvas, pegando emprestada a terminologia do trabalho pitagórico anterior sobre áreas. ^[33]

Pappus de Alexandria (morreu c. 350 DC) é creditado por expor a importância do conceito de foco de uma cônica e detalhando o conceito relacionado de uma diretriz , incluindo o caso da parábola (que está faltando nas obras conhecidas de Apolônio). ^[34]

Al-Kuhi

Um instrumento para desenhar seções cônicas foi descrito pela primeira vez em 1000 dC pelo matemático islâmico Al-Kuhi . ^{[35] : 30 [36]}

Omar Khayyám

A obra de Apolônio foi traduzida para o árabe, e grande parte de sua obra só sobreviveu por meio da versão árabe. Os persas encontraram aplicações da teoria, mais notavelmente o matemático e poeta persa ^[37] Omar Khayyám , que encontrou um método geométrico de resolver equações cúbicas usando seções cônicas. ^{[38] [39]}

Europa

Johannes Kepler estendeu a teoria das cônicas por meio do " princípio da continuidade ", um precursor do conceito de limite. Kepler usou pela primeira vez o termo focos em 1604. ^[40]

Girard Desargues e Blaise Pascal desenvolveram uma teoria das cônicas usando uma forma inicial de geometria projetiva e isso ajudou a fornecer um impulso para o estudo deste novo campo. Em particular, Pascal descobriu um teorema conhecido como hexagrammum mysticum, do qual muitas outras propriedades das cônicas podem ser deduzidas.

René Descartes e Pierre Fermat aplicaram sua geometria analítica recém-descoberta ao estudo das cônicas. Isso teve o efeito de reduzir os problemas geométricos das cônicas a problemas de álgebra. No entanto, foi John Wallis em seu tratado Tractatus de sectionibus conicis de 1655 quem primeiro definiu as seções cônicas como instâncias de equações de segundo grau. ^[41] Escrito antes, mas publicado depois, o Elementa Curvarum Linearum de Jan de Witt começa com a construção cinemática das cônicas de Kepler e, em seguida, desenvolve as equações algébricas. Este trabalho, que utiliza a metodologia de Fermat e a notação de Descartes, é descrito como o primeiro livro didático sobre o assunto. ^[42] De Witt inventou o termo diretriz . ^[42]

A forma parabolóide dos Archeocatídeos produz seções cônicas nas faces das rochas

As seções cônicas são importantes em astronomia : as órbitas de dois objetos massivos que interagem de acordo com a lei da gravitação universal de Newton são seções cônicas se seu centro de massa comum for considerado em repouso. Se estiverem unidos, ambos traçarão elipses; se estiverem se afastando, ambos seguirão parábolas ou hipérboles. Veja o problema dos dois corpos .

As propriedades reflexivas das seções cônicas são usadas no projeto de holofotes, radiotelescópios e alguns telescópios ópticos. ^[43] Um holofote usa um espelho parabólico como refletor, com uma lâmpada no foco; e uma construção semelhante é usada para um microfone parabólico . O telescópio óptico Herschel de 4,2 metros em La Palma, nas Ilhas Canárias, usa um espelho parabólico primário para refletir a luz em direção a um espelho hiperbólico secundário, que a reflete novamente para um foco atrás do primeiro espelho.

As seções cônicas têm algumas propriedades muito semelhantes no plano euclidiano e as razões para isso ficam mais claras quando as cônicas são vistas da perspectiva de uma geometria maior. O plano euclidiano pode estar embutido no plano projetivo real e as cônicas podem ser consideradas como objetos nesta geometria projetiva. Uma maneira de fazer isso é introduzir coordenadas homogêneas e definir uma cônica como o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem uma equação quadrática irredutível em três variáveis ​​(ou equivalentemente, os zeros de uma forma quadrática irredutível ). Mais tecnicamente, o conjunto de pontos que são zeros de uma forma quadrática (em qualquer número de variáveis) é chamado de quádrica , e as quádricas irredutíveis em um espaço projetivo bidimensional (isto é, tendo três variáveis) são tradicionalmente chamadas de cônicas.

O plano euclidiano R ² está embutido no plano projetivo real juntando-se a uma linha no infinito (e seus pontos correspondentes no infinito ) de modo que todas as linhas de uma classe paralela se encontram nesta linha. Por outro lado, partindo do plano projetivo real, um plano euclidiano é obtido distinguindo alguma linha como a linha no infinito e removendo-a e todos os seus pontos.

Cruzamento no infinito

Em um espaço projetivo sobre qualquer anel de divisão, mas em particular sobre os números reais ou complexos, todas as cônicas não degeneradas são equivalentes e, portanto, na geometria projetiva, fala-se simplesmente de "uma cônica" sem especificar um tipo. Ou seja, há uma transformação projetiva que mapeará qualquer cônica não degenerada para qualquer outra cônica não degenerada. ^[44]

Os três tipos de seções cônicas reaparecerão no plano afim obtido pela escolha de uma linha do espaço projetivo para ser a linha no infinito. Os três tipos são então determinados por como essa linha no infinito cruza a cônica no espaço projetivo. No espaço afim correspondente, obtém-se uma elipse se a cônica não cruza a linha no infinito, uma parábola se a cônica cruza a linha no infinito em um ponto duplo correspondente ao eixo e uma hipérbole se a cônica cruza a linha em infinito em dois pontos correspondentes às assíntotas. ^[45]

Coordenadas homogêneas

Em coordenadas homogêneas, uma seção cônica pode ser representada como:

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}$

Ou em notação de matriz

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matriz}} \ direita) \ esquerda ({\ begin {matriz} x \\ y \\ z \ end {matriz}} \ direita) = 0.}$

A matriz 3 × 3 acima é chamada de matriz da seção cônica .

Alguns autores preferem escrever a equação geral homogênea como

${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0,}$

(ou alguma variação disso) de modo que a matriz da seção cônica tenha a forma mais simples,

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ right),}$

mas esta notação não é usada neste artigo. ^[46]

Se o determinante da matriz da seção cônica for zero, a seção cônica é degenerada .

Como a multiplicação de todos os seis coeficientes pelo mesmo escalar diferente de zero produz uma equação com o mesmo conjunto de zeros, pode-se considerar as cônicas, representadas por ( A , B , C , D , E , F ) como pontos no projetivo pentadimensional espaço ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}$

Definição projetiva de um círculo

Os conceitos métricos da geometria euclidiana (conceitos relacionados com a medição de comprimentos e ângulos) não podem ser imediatamente estendidos ao plano projetivo real. ^[47] Eles devem ser redefinidos (e generalizados) nesta nova geometria. Isso pode ser feito para planos projetivos arbitrários , mas para obter o plano projetivo real como o plano euclidiano estendido, algumas escolhas específicas devem ser feitas. ^[48]

Fixe uma linha arbitrária em um plano projetivo que será referido como linha absoluta . Selecione dois pontos distintos na linha absoluta e refira-se a eles como pontos absolutos . Vários conceitos métricos podem ser definidos com referência a essas escolhas. Por exemplo, dada uma linha que contém os pontos A e B , o ponto médio do segmento de recta AB é definido como o ponto C que é o conjugado harmónica projectiva do ponto de intersecção de AB e a linha absoluto, com respeito a um e B .

Uma cônica em um plano projetivo que contém os dois pontos absolutos é chamada de círculo . Uma vez que cinco pontos determinam uma cônica, um círculo (que pode ser degenerado) é determinado por três pontos. Para obter o plano euclidiano estendido, a linha absoluta é escolhida para ser a linha no infinito do plano euclidiano e os pontos absolutos são dois pontos especiais nessa linha chamados de pontos circulares no infinito . Linhas contendo dois pontos com coordenadas reais não passam pelos pontos circulares no infinito, então no plano euclidiano um círculo, sob esta definição, é determinado por três pontos que não são colineares . ^{[49] : 72}

Foi mencionado que os círculos no plano euclidiano não podem ser definidos pela propriedade focus-directrix. No entanto, se formos considerar a linha no infinito como a diretriz, então, tomando a excentricidade como e = 0, um círculo terá a propriedade foco-diretriz, mas ainda não é definido por essa propriedade. ^[50] Deve-se ter cuidado nesta situação para usar corretamente a definição de excentricidade como a razão entre a distância de um ponto no círculo ao foco (comprimento de um raio) e a distância desse ponto à diretriz (esta distância é infinito), o que dá o valor limite de zero.

Definição cônica projetiva de Steiner

Definição da geração de Steiner de uma seção cônica

Uma abordagem sintética (sem coordenadas) para definir as seções cônicas em um plano projetivo foi dada por Jakob Steiner em 1867.

• Recebeu dois lápis ${\ displaystyle B (U), B (V)}$ de linhas em dois pontos ${\ displaystyle U, V}$ (todas as linhas contendo ${\ displaystyle U}$ e ${\ displaystyle V}$resp.) e um mapeamento projetivo, mas não em perspectiva${\ displaystyle \ pi}$ de ${\ displaystyle B (U)}$ para ${\ displaystyle B (V)}$. Então, os pontos de intersecção das linhas correspondentes formam uma seção cônica projetiva não degenerada. ^{[51] [52] [53] [54]}

Um mapeamento de perspectiva${\ displaystyle \ pi}$ de um lápis ${\ displaystyle B (U)}$ em um lápis ${\ displaystyle B (V)}$é uma bijeção (correspondência 1-1) de modo que as linhas correspondentes se cruzem em uma linha fixa${\ displaystyle a}$, que é chamado de eixo da perspectividade${\ displaystyle \ pi}$.

Um mapeamento projetivo é uma sequência finita de mapeamentos de perspectiva.

Como um mapeamento projetivo em um plano projetivo sobre um campo ( plano pappiano ) é determinado exclusivamente pela prescrição de imagens de três retas, ^[55] para a geração de Steiner de uma seção cônica, além de dois pontos${\ displaystyle U, V}$apenas as imagens de 3 linhas devem ser fornecidas. Esses 5 itens (2 pontos, 3 linhas) determinam exclusivamente a seção cônica.

Cônicas de linha

Pelo Princípio da Dualidade em um plano projetivo, o dual de cada ponto é uma linha, e o dual de um lugar geométrico de pontos (um conjunto de pontos que satisfaz alguma condição) é chamado de envelope de linhas. Usando a definição de Steiner de uma cônica (este locus de pontos será agora referido como um ponto cônico ) como o encontro de raios correspondentes de dois lápis relacionados, é fácil dualizar e obter o envelope correspondente consistindo nas junções de pontos correspondentes de dois intervalos relacionados (pontos em uma linha) em bases diferentes (as linhas em que os pontos estão). Esse envelope é chamado de cônica de linha (ou cônica dual ).

No plano projetivo real, uma cônica de ponto tem a propriedade de que toda linha se encontra com ela em dois pontos (que podem coincidir ou podem ser complexos) e qualquer conjunto de pontos com essa propriedade é uma cônica de ponto. Segue-se duplamente que uma cônica de linha tem duas de suas linhas passando por cada ponto e qualquer envelope de linhas com essa propriedade é uma cônica de linha. Em cada ponto de um ponto cônico há uma única linha tangente e, duplamente, em cada linha de uma linha cônica há um ponto único denominado ponto de contato . Um importante teorema afirma que as retas tangentes de um ponto cônico formam uma reta cônica e, duplamente, os pontos de contato de uma reta cônica formam um ponto cônico. ^{[56] : 48-49}

Definição de Von Staudt

Karl Georg Christian von Staudt definiu uma cônica como o conjunto de pontos dado por todos os pontos absolutos de uma polaridade que possui pontos absolutos. Von Staudt introduziu essa definição em Geometrie der Lage (1847) como parte de sua tentativa de remover todos os conceitos métricos da geometria projetiva.

Uma polaridade , π , de um plano projetivo, P , é uma bijeção involutória (isto é, de ordem dois) entre os pontos e as linhas de P que preserva a relação de incidência . Assim, uma polaridade refere um ponto Q com uma linha de q e, a seguir Gergonne , q é chamado o polar de Q e Q o pólo de q . ^[57] Um ponto absoluto ( linha ) de uma polaridade é aquele que incide com seu polar (pólo). ^[58]

Uma cônica de von Staudt no plano projetivo real é equivalente a uma cônica de Steiner . ^[59]

Construções

Nenhum arco contínuo de uma cônica pode ser construído com régua e compasso. No entanto, existem várias construções de régua e compasso para qualquer número de pontos individuais em um arco.

Um deles é baseado no inverso do teorema de Pascal, a saber, se os pontos de intersecção dos lados opostos de um hexágono são colineares, então os seis vértices estão em uma cônica. Especificamente, dados cinco pontos, A , B , C , D , E e uma linha passando por E , digamos EG , um ponto F que se encontra nesta linha e está na cônica determinada pelos cinco pontos pode ser construído. Deixe AB encontram DE em L , BC encontram EG em H e deixar CD encontram LM em N . Então AN encontra EG no ponto F exigido . ^{[60] : 52–53} Variando a linha através de E , tantos pontos adicionais na cônica quanto desejado podem ser construídos.

Método de paralelogramo para construir uma elipse

Outro método, baseado na construção de Steiner e útil em aplicações de engenharia, é o método do paralelogramo , onde uma cônica é construída ponto a ponto por meio da conexão de certos pontos igualmente espaçados em uma linha horizontal e uma linha vertical. ^[61] Especificamente, para construir a elipse com a equaçãox ²/a ² + y ²/b ²= 1 , primeiro construa o retângulo ABCD com os vértices A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (- a , 2 b ) e D (- a , 0) . Divida o lado BC em n segmentos iguais e use a projeção paralela, em relação à diagonal AC , para formar segmentos iguais no lado AB (os comprimentos desses segmentos serãob/umavezes o comprimento dos segmentos em BC ). No lado BC etiqueta os pontos de extremidade do lado esquerdo dos segmentos com um ₁ a A _n a partir de B e indo para C . No lado AB rotular as extremidades superiores D ₁ a D _n a partir de um e indo em direcção B . Os pontos de intersecção, AA _i ∩ DD _i para 1 ≤ i ≤ n serão pontos da elipse entre A e P (0, b ) . A rotulagem associa as linhas do lápis até A com as linhas do lápis até D projetivamente, mas não em perspectiva. A cônica procurada é obtida por esta construção, uma vez que três pontos A , D e P e duas tangentes (as linhas verticais em A e D ) determinam a cônica de maneira única. Se outro diâmetro (e seu diâmetro conjugado) for usado no lugar dos eixos maior e menor da elipse, um paralelogramo que não seja um retângulo é usado na construção, dando o nome do método. A associação das linhas dos lápis pode ser estendida para se obter outros pontos na elipse. As construções para hipérboles ^[62] e parábolas ^[63] são semelhantes.

Ainda outro método geral usa a propriedade de polaridade para construir o envelope tangente de uma cônica (uma linha cônica). ^[64]

No plano complexo C ² , elipses e hipérboles não são distintas: pode-se considerar uma hipérbole como uma elipse com um comprimento do eixo imaginário. Por exemplo, a elipse${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ torna-se uma hipérbole sob a substituição ${\ displaystyle y = iw,}$ geometricamente uma rotação complexa, produzindo ${\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1}$. Portanto, há uma classificação de 2 vias: elipse / hipérbole e parábola. Estendendo as curvas até o plano projetivo complexo, isso corresponde à intersecção da linha no infinito em 2 pontos distintos (correspondendo a duas assíntotas) ou em 1 ponto duplo (correspondendo ao eixo de uma parábola); assim, a hipérbole real é uma imagem real mais sugestiva para a elipse / hipérbole complexa, pois também tem 2 interseções (reais) com a linha no infinito.

Uma unificação posterior ocorre no plano projetivo complexo CP ² : as cônicas não degeneradas não podem ser distinguidas umas das outras, uma vez que qualquer uma pode ser levada a qualquer outra por uma transformação linear projetiva .

Pode-se comprovar que no CP ² duas seções cônicas têm quatro pontos em comum (se for considerado a multiplicidade ), portanto, há entre 1 e 4 pontos de interseção . As possibilidades de intersecção são: quatro pontos distintos, dois pontos singulares e um ponto duplo, dois pontos duplos, um ponto singular e um com multiplicidade 3, um ponto com multiplicidade 4. Se algum ponto de intersecção tiver multiplicidade> 1, as duas curvas são ditas para ser tangente . Se houver um ponto de interseção de multiplicidade de pelo menos 3, as duas curvas são ditas osculantes . Se houver apenas um ponto de interseção, que tem multiplicidade 4, as duas curvas são chamadas de superosculantes . ^[65]

Além disso, cada linha reta cruza cada seção cônica duas vezes. Se o ponto de interseção for duplo, a linha é uma linha tangente . Cruzando-se com a linha no infinito, cada seção cônica tem dois pontos no infinito. Se esses pontos forem reais, a curva é uma hipérbole ; se forem conjugados imaginários, é uma elipse ; se houver apenas um ponto duplo, é uma parábola . Se os pontos no infinito são os pontos cíclicos (1, i , 0) e (1, - i , 0) , a seção cônica é um círculo . Se os coeficientes de uma seção cônica são reais, os pontos no infinito são reais ou conjugados complexos .

O que deve ser considerado um caso degenerado de uma cônica depende da definição utilizada e do ajuste geométrico da seção cônica. Existem alguns autores que definem uma cônica como uma quádrica bidimensional não degenerada. Com esta terminologia não existem cônicas degeneradas (apenas quádricas degeneradas), mas devemos usar a terminologia mais tradicional e evitar essa definição.

No plano euclidiano, usando a definição geométrica, um caso degenerado surge quando o plano de corte passa pelo ápice do cone. A cônica degenerada é: um ponto , quando o plano cruza o cone apenas no ápice; uma reta , quando o plano é tangente ao cone (contém exatamente um gerador do cone); ou um par de linhas que se cruzam (dois geradores do cone). ^[66] Elas correspondem, respectivamente, às formas limitantes de uma elipse, parábola e hipérbole.

Se uma cônica no plano euclidiano está sendo definida pelos zeros de uma equação quadrática (isto é, como uma quádrica), então as cônicas degeneradas são: o conjunto vazio , um ponto ou um par de retas que podem ser paralelas, se cruzam em um ponto, ou coincidir. O caso de conjunto vazio pode corresponder a um par de linhas paralelas conjugadas complexas , como com a equação${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0,}$ou para uma elipse imaginária , como com a equação${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0.}$Uma elipse imaginária não satisfaz a definição geral de degenerescência e, portanto, normalmente não é considerada degenerada. ^[67] O caso de duas linhas ocorre quando a expressão quadrática é fatorada em dois fatores lineares, os zeros de cada um dando uma linha. No caso em que os fatores são iguais, as linhas correspondentes coincidem e nos referimos à linha como uma linha dupla (uma linha com multiplicidade 2) e este é o caso anterior de um plano de corte tangente.

No plano projetivo real, uma vez que as linhas paralelas se encontram em um ponto da linha no infinito, o caso da linha paralela do plano euclidiano pode ser visto como linhas que se cruzam. No entanto, como o ponto de intersecção é o vértice do cone, o próprio cone degenera em um cilindro , ou seja, com o vértice no infinito. Outras seções neste caso são chamadas de seções cilíndricas . ^[68] As seções cilíndricas não degeneradas são elipses (ou círculos).

Quando vistos da perspectiva do plano projetivo complexo, os casos degenerados de uma quádrica real (isto é, a equação quadrática tem coeficientes reais) podem ser considerados como um par de retas, possivelmente coincidentes. O conjunto vazio pode ser a linha no infinito considerada uma linha dupla, um ponto (real) é a intersecção de duas linhas conjugadas complexas e os demais casos mencionados anteriormente.

Para distinguir os casos degenerados dos casos não degenerados (incluindo o conjunto vazio com o último) usando a notação de matriz, seja β o determinante da matriz 3 × 3 da seção cônica - isto é, β = ( AC - B ²/4) F + CAMA - CD ² - AE ²/4; e seja α = B ² - 4 AC o discriminante. Então a seção cônica é não degenerada se e somente se β ≠ 0 . Se β = 0 temos um ponto quando α <0 , duas retas paralelas (possivelmente coincidentes) quando α = 0 , ou duas retas que se cruzam quando α > 0 . ^[69]

Uma cônica (não degenerada) é completamente determinada por cinco pontos na posição geral (não três colineares ) em um plano e o sistema de cônicas que passam por um conjunto fixo de quatro pontos (novamente em um plano e não três colineares) é chamado um lápis de cônicas . ^{[70] : 64} Os quatro pontos comuns são chamados de pontos base do lápis. Por qualquer ponto que não seja um ponto base, passa uma única cônica do lápis. Este conceito generaliza um lápis de círculos . ^{[71] : 127}

As soluções para um sistema de duas equações de segundo grau em duas variáveis ​​podem ser vistas como as coordenadas dos pontos de intersecção de duas seções cônicas genéricas. Em particular, duas cônicas podem possuir nenhum, dois ou quatro pontos de intersecção possivelmente coincidentes. Um método eficiente de localização dessas soluções explora a representação da matriz homogênea das seções cônicas , ou seja, uma matriz simétrica 3 × 3 que depende de seis parâmetros.

O procedimento de localização dos pontos de intersecção segue estas etapas, onde as cônicas são representadas por matrizes: ^[72]

• dadas as duas cônicas ${\ displaystyle C_ {1}}$ e ${\ displaystyle C_ {2}}$, considere o lápis de cônicas dado por sua combinação linear ${\ displaystyle \ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}.}$
• identificar os parâmetros homogêneos ${\ displaystyle (\ lambda, \ mu)}$que correspondem à cônica degenerada do lápis. Isso pode ser feito impondo a condição de que${\ displaystyle \ det (\ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}) = 0}$ e resolvendo para ${\ displaystyle \ lambda}$ e ${\ displaystyle \ mu}$. Essas são as soluções de uma equação de terceiro grau.
• dada a cônica degenerada ${\ displaystyle C_ {0}}$, identifique as duas linhas, possivelmente coincidentes, que o constituem.
• cruze cada linha identificada com qualquer uma das duas cônicas originais; esta etapa pode ser feita de forma eficiente usando a representação cônica dual de${\ displaystyle C_ {0}}$
• os pontos de intersecção representarão as soluções para o sistema de equações inicial.

As cônicas podem ser definidas sobre outros campos (isto é, em outras geometrias pappianas ). Porém, alguns cuidados devem ser tomados quando o campo possui característica 2, pois algumas fórmulas não podem ser utilizadas. Por exemplo, as representações de matriz usadas acima requerem divisão por 2.

Uma generalização de uma cônica não degenerada em um plano projetivo é uma oval . Uma oval é um conjunto de pontos que possui as seguintes propriedades, que são mantidas por cônicas: 1) qualquer linha intercepta uma oval em nenhum, um ou dois pontos, 2) em qualquer ponto da oval existe uma linha tangente única.

Generalizar as propriedades de foco das cônicas para o caso em que há mais de dois focos produz conjuntos chamados cônicas generalizadas .

A classificação em elíptica, parabólica e hiperbólica é difundida na matemática e freqüentemente divide um campo em subcampos nitidamente distintos. A classificação surge principalmente devido à presença de uma forma quadrática (em duas variáveis ​​isto corresponde ao discriminante associado ), mas também pode corresponder à excentricidade.

Classificações de forma quadrática:

Formas quadráticas

As formas quadráticas sobre os reais são classificadas pela lei da inércia de Sylvester , nomeadamente pelo seu índice positivo, índice zero e índice negativo: uma forma quadrática em n variáveis ​​pode ser convertida para uma forma diagonal , como ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} -x_ {k + 1} ^ {2} - \ cdots -x_ {k + \ ell} ^ {2},}$onde o número de coeficientes +1, k, é o índice positivo, o número de coeficientes −1, ℓ , é o índice negativo e as variáveis ​​restantes são o índice zero m, então ${\ displaystyle k + \ ell + m = n.}$ Em duas variáveis, as formas quadráticas diferentes de zero são classificadas como:

• ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ - positivo-definido (o negativo também está incluído), correspondendo a elipses,
• ${\ displaystyle x ^ {2}}$ - degenerado, correspondendo a parábolas, e
• ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ - indefinido, correspondendo a hipérboles.

Em duas variáveis, as formas quadráticas são classificadas por discriminante, analogamente às cônicas, mas em dimensões superiores a classificação mais útil é como definida (todas positivas ou todas negativas), degenerada (alguns zeros) ou indefinida (mistura de positivo e negativo, mas sem zeros). Essa classificação está subjacente a muitas que se seguem.

Curvatura

A curvatura gaussiana de uma superfície descreve a geometria infinitesimal, e pode em cada ponto ser positiva - geometria elíptica , zero - geometria euclidiana (plana, parábola) ou negativa - geometria hiperbólica ; infinitesimalmente, para a segunda ordem, a superfície se parece com o gráfico de ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$${\ displaystyle x ^ {2}}$ (ou 0), ou ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$. De fato, pelo teorema da uniformização, cada superfície pode ser considerada globalmente (em todos os pontos) positivamente curvada, plana ou negativamente curvada. Em dimensões mais altas, o tensor de curvatura de Riemann é um objeto mais complicado, mas variedades com curvatura seccional constante são objetos de estudo interessantes e têm propriedades surpreendentemente diferentes, conforme discutido na curvatura seccional .

PDEs de segunda ordem

As equações diferenciais parciais (PDEs) de segunda ordem são classificadas em cada ponto como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas, de acordo com os termos de segunda ordem que correspondem a uma forma quadrática elíptica, parabólica ou hiperbólica. O comportamento e a teoria desses diferentes tipos de PDEs são notavelmente diferentes - exemplos representativos são que a equação de Poisson é elíptica, a equação do calor é parabólica e a equação da onda é hiperbólica.

As classificações de excentricidade incluem:

Transformações de Möbius

As transformações reais de Möbius (elementos de PSL 2 ( R ) ou sua cobertura de 2 dobras, SL 2 ( R ) ) são classificadas como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas conforme seu meio-traço é ${\ displaystyle 0 \ leq | \ operatorname {tr} | / 2 <1,}$${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2 = 1,}$ ou ${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2> 1,}$ espelhando a classificação por excentricidade.

Razão de variância para média

A razão variância para a média classifica várias famílias importantes de distribuições de probabilidade discretas : a distribuição constante como circular (excentricidade 0), as distribuições binomiais como elípticas, as distribuições de Poisson como parabólicas e as distribuições binomiais negativas como hiperbólicas. Isso é elaborado em cumulantes de algumas distribuições de probabilidade discretas .

• Circuncônico e incônico
• Rebelião das Seções Cônicas , protestos de estudantes universitários de Yale
• Círculo de diretor
• Sistema de coordenadas elípticas
• Conjunto equidistante
• Cônica de nove pontos
• Coordenadas parabólicas
• Função quadrática