Cardinalidade

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O conjunto de todos os sólidos platônicos tem 5 elementos. Assim .

Em matemática , a cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de elementos " do conjunto. Por exemplo, o conjunto contém 3 elementos e, portanto, tem uma cardinalidade de 3. A partir do final do século 19, este conceito foi generalizado para conjuntos infinitos , o que permite distinguir entre os diferentes tipos de infinito, e realizar aritmética sobre eles . Existem duas abordagens para a cardinalidade: uma que compara conjuntos diretamente usando bijeções e injeções , e outra que usa números cardinais . [1]A cardinalidade de um conjunto também é chamada de tamanho , quando nenhuma confusão com outras noções de tamanho [2] é possível.

A cardinalidade de um conjunto é geralmente indicada , com uma barra vertical em cada lado; [3] [4] esta é a mesma notação que valor absoluto , e o significado depende do contexto . A cardinalidade de um conjunto pode, alternativamente, ser denotado por , , , ou .

Conjuntos comparando [ editar ]

Função bijetiva de N ao conjunto E de números pares . Embora E seja um subconjunto próprio de N , ambos os conjuntos têm a mesma cardinalidade.
N não tem a mesma cardinalidade de seu conjunto de potência P ( N ): Para cada função f de N a P ( N ), o conjunto T = { nN : nf ( n )} discorda de cada conjunto no intervalo de f , portanto f não pode ser sobrejetiva. A imagem mostra um exemplo f e o T correspondente ; vermelho : nf ( n ) \T , azul : nT \ f ( n ).

Enquanto a cardinalidade de um conjunto finito é apenas o número de seus elementos, estender a noção para conjuntos infinitos geralmente começa com a definição da noção de comparação de conjuntos arbitrários (alguns dos quais são possivelmente infinitos).

Definição 1: | A | = | B | [ editar ]

Dois conjuntos A e B têm a mesma cardinalidade se houver uma bijeção (também conhecida como correspondência um-a-um) de A para B , [5] ou seja, uma função de A para B que é tanto injetiva quanto sobrejetiva . Esses conjuntos são considerados equipotentes , equipolentes ou equinumerosos . Esta relação também pode ser denotado UmB ou A ~ B .
Por exemplo, o conjunto E = {0, 2, 4, 6, ...} de números pares não negativos tem a mesma cardinalidade que o conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} de natural números , uma vez que a função f ( n ) = 2 n é uma bijeção de N a E (veja a figura).

Definição 2: | A | ≤ | B | [ editar ]

Um tem cardinalidade menos do que ou igual à cardinalidade de B , se não existir uma função do injetivo A em B .

Definição 3: | A | <| B | [ editar ]

Um tem cardinalidade estritamente menor do que a cardinalidade de B , se houver uma função injetora, mas nenhuma função bijective, de A para B .
Por exemplo, o conjunto N de todos os números naturais tem cardinalidade estritamente menor do que seu conjunto de potência P ( N ), porque g ( n ) = { n } é uma função injetiva de N a P ( N ), e pode ser mostrado que nenhuma função de N a P ( N ) pode ser bijetiva (veja a imagem). Por um argumento semelhante, N tem cardinalidade estritamente menor que a cardinalidade do conjunto R de todos os números reais . Para provas, veja o argumento diagonal de Cantorou a primeira prova de incontabilidade de Cantor .

If | A | ≤ | B | e | B | ≤ | A |, então | A | = | B | (um fato conhecido como teorema de Schröder-Bernstein ). O axioma da escolha é equivalente à afirmação de que | A | ≤ | B | ou | B | ≤ | A | para cada A , B . [6] [7]

Números cardinais [ editar ]

Na seção acima, a "cardinalidade" de um conjunto foi definida funcionalmente. Em outras palavras, não foi definido como um objeto específico em si. No entanto, esse objeto pode ser definido da seguinte maneira.

A relação de ter a mesma cardinalidade é chamada de equinumerosidade , e é uma relação de equivalência na classe de todos os conjuntos. A classe de equivalência de um conjunto A , sob esta relação, então, consiste de todos os conjuntos que têm a mesma cardinalidade como A . Existem duas maneiras de definir a "cardinalidade de um conjunto":

  1. A cardinalidade de um conjunto A é definida como sua classe de equivalência em equinumerosidade.
  2. Um conjunto representativo é designado para cada classe de equivalência. A escolha mais comum é o ordinal inicial dessa classe . Isso geralmente é considerado como a definição de número cardinal na teoria dos conjuntos axiomáticos .

Assumindo o axioma da escolha , as cardinalidades dos conjuntos infinitos são denotadas

Para cada ordinal , é o menor número cardinal maior que .

A cardinalidade dos números naturais é denotada aleph-null ( ), enquanto a cardinalidade dos números reais é denotada por " " (um script fraktur minúsculo "c") e também é conhecida como a cardinalidade do continuum . [3] Cantor mostrou, usando o argumento diagonal , que . Podemos mostrar isso , sendo esta também a cardinalidade do conjunto de todos os subconjuntos dos números naturais.

A hipótese do contínuo diz que , ou seja, é o menor número cardinal maior que , ou seja, não há nenhum conjunto cuja cardinalidade esteja estritamente entre a dos inteiros e a dos números reais. A hipótese do contínuo é independente de ZFC , uma axiomatização padrão da teoria dos conjuntos; ou seja, é impossível provar a hipótese do contínuo ou sua negação de ZFC - desde que ZFC seja consistente. Para mais detalhes, veja § Cardinalidade do continuum abaixo. [8] [9] [10]

Finito, contável e conjuntos incontáveis [ editar ]

Se o axioma da escolha é válido, a lei da tricotomia é válida para a cardinalidade. Assim, podemos fazer as seguintes definições:

  • Qualquer conjunto X com cardinalidade menor que a dos números naturais , ou | X  | <| N  |, é considerado um conjunto finito .
  • Qualquer conjunto X que tenha a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais, ou | X  | = | N  | = , é considerado um conjunto infinito contável . [5]
  • Qualquer conjunto X com cardinalidade maior que a dos números naturais, ou | X  | > | N  |, por exemplo | R  | = > | N  |, é considerado incontável .

Conjuntos infinitos [ editar ]

Nossa intuição adquirida com conjuntos finitos falha quando lidamos com conjuntos infinitos . No final do século XIX, Georg Cantor , Gottlob Frege , Richard Dedekind e outros rejeitaram a visão de que o todo não pode ter o mesmo tamanho da parte. [11] [ carece de fontes? ] Um exemplo disso é o paradoxo de Hilbert do Grand Hotel . Na verdade, Dedekind definiu um conjunto infinito como aquele que pode ser colocado em uma correspondência um-a-um com um subconjunto estrito (isto é, tendo o mesmo tamanho no sentido de Cantor); esta noção de infinito é chamada Dedekind infinito. Cantor introduziu os números cardinais e mostrou - de acordo com sua definição de tamanho baseada na bijeção - que alguns conjuntos infinitos são maiores do que outros. A menor cardinalidade infinita é a dos números naturais ( ).

Cardinalidade do continuum [ editar ]

Um dos resultados mais importantes de Cantor foi que a cardinalidade do contínuo ( ) é maior do que a dos números naturais ( ); isto é, existem mais números reais R de números naturais N . Ou seja, Cantor mostrou que (ver Beth um ) satisfaz:

(veja o argumento diagonal de Cantor ou a primeira prova de incontabilidade de Cantor ).

A hipótese do contínuo afirma que não há número cardinal entre a cardinalidade dos reais e a cardinalidade dos números naturais, ou seja,

No entanto, esta hipótese não pode ser provada nem refutada dentro da teoria dos conjuntos axiomáticos de ZFC amplamente aceita , se ZFC for consistente.

A aritmética cardinal pode ser usada para mostrar não só que o número de pontos em uma reta numérica real é igual ao número de pontos em qualquer segmento dessa reta, mas que isso é igual ao número de pontos em um plano e, de fato, em qualquer espaço de dimensão finita. Esses resultados são altamente contra-intuitivos, porque implicam que existem subconjuntos próprios e superconjuntos próprios de um conjunto infinito S que têm o mesmo tamanho de S , embora S contenha elementos que não pertencem a seus subconjuntos, e os superconjuntos de S contenham elementos que não estão incluídos nele.

O primeiro desses resultados é aparente considerando, por exemplo, a função tangente , que fornece uma correspondência biunívoca entre o intervalo (−½π, ½π) e R (ver também o paradoxo de Hilbert do Grand Hotel ).

O segundo resultado foi demonstrado pela primeira vez por Cantor em 1878, mas se tornou mais aparente em 1890, quando Giuseppe Peano introduziu as curvas de preenchimento de espaço , linhas curvas que se torcem e giram o suficiente para preencher todo o quadrado, cubo ou hipercubo . ou espaço de dimensão finita. Essas curvas não são uma prova direta de que uma linha tem o mesmo número de pontos que um espaço de dimensão finita, mas podem ser usadas para obter tal prova .

Cantor também mostrou que conjuntos com cardinalidade estritamente maiores do que existem (veja seu argumento diagonal generalizado e teorema ). Eles incluem, por exemplo:

  • o conjunto de todos os subconjuntos de R , ou seja, o conjunto de potência de R , escrito P ( R ) ou 2 R
  • o conjunto R R de todas as funções de R a R

Ambos têm cardinalidade

(ver Beth dois ).

As igualdades cardinais e podem ser demonstradas usando aritmética cardinal :

Exemplos e propriedades [ editar ]

  • Se X = { a , b , c } e Y = {maçãs, laranjas, pêssegos}, então | X  | = | Y  | porque {( a , maçãs), ( b , laranjas), ( c , pêssegos)} é um bijeç~ao entre os conjuntos de X e Y . A cardinalidade de cada um de X e Y é 3.
  • If | X  | ≤ | Y  |, então existe Z tal que | X  | = | Z  | e ZY .
  • If | X  | ≤ | Y  | e | Y  | ≤ | X  |, então | X  | = | Y  |. Isso vale até para cardeais infinitos e é conhecido como teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder .
  • Os conjuntos com cardinalidade do contínuo incluem o conjunto de todos os números reais, o conjunto de todos os números irracionais e o intervalo .

União e intersecção [ editar ]

Se A e B são conjuntos disjuntos , então

A partir disso, pode-se mostrar que, em geral, as cardinalidades de sindicatos e intersecções estão relacionadas pela seguinte equação: [12]

Veja também [ editar ]

  • Número de Aleph
  • Número da Beth
  • Paradoxo de Cantor
  • Teorema de Cantor
  • Conjunto contável
  • Contando
  • Ordinalidade
  • Princípio de buraco de pombo

Referências [ editar ]

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Número Cardinal" . MathWorld .
  2. ^ Como comprimento e área na geometria . - Uma linha de comprimento finito é um conjunto de pontos que possui cardinalidade infinita.
  3. ^ a b "Lista abrangente de símbolos da teoria de conjuntos" . Math Vault . 2020-04-11 . Página visitada em 2020-08-23 .
  4. ^ "Cardinality | Brilliant Math & Science Wiki" . brilhante.org . Página visitada em 2020-08-23 .
  5. ^ a b "Conjuntos infinitos e cardinalidade" . Mathematics LibreTexts . 05/12/2019 . Página visitada em 2020-08-23 .
  6. ^ Friedrich M. Hartogs (1915), Felix Klein ; Walther von Dyck ; David Hilbert ; Otto Blumenthal (eds.), "Über das Problem der Wohlordnung" , Mathematische Annalen , Leipzig: B. G. Teubner, 76 (4): 438-443, doi : 10.1007 / bf01458215 , ISSN 0025-5831 
  7. ^ Felix Hausdorff (2002), Egbert Brieskorn ; Srishti D. Chatterji; et al. (eds.), Grundzüge der Mengenlehre (1. ed.), Berlin / Heidelberg: Springer, p. 587, ISBN 3-540-42224-2- Edição original (1914)
  8. ^ Cohen, Paul J. (15 de dezembro de 1963). "A Independência da Hipótese do Continuum" . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 50 (6): 1143–1148. doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858 . PMC 221287 . PMID 16578557 .   
  9. ^ Cohen, Paul J. (15 de janeiro de 1964). "The Independence of the Continuum Hypothesis, II" . Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América . 51 (1): 105-110. doi : 10.1073 / pnas.51.1.105 . JSTOR 72252 . PMC 300611 . PMID 16591132 .   
  10. ^ Penrose, R (2005), The Road to Reality: A Complete guide to the Laws of the Universe , Vintage Books, ISBN 0-09-944068-7
  11. ^ Georg Cantor (1887), "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten", Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik , 91 : 81-125
    Reimpresso em: Georg Cantor (1932), Adolf Fraenkel (Lebenslauf); Ernst Zermelo (eds.), Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , Berlin: Springer, pp. 378-439 Aqui: p.413 inferior
  12. ^ Applied Abstract Algebra, KH Kim, FW Roush, Ellis Horwood Series, 1983, ISBN 0-85312-612-7 (edição do estudante), ISBN 0-85312-563-5 (edição da biblioteca)