Cálculo

Cálculo , originalmente chamado de cálculo infinitesimal ou "o cálculo dos infinitesimais ", é o estudo matemático da mudança contínua, da mesma forma que a geometria é o estudo da forma e a álgebra é o estudo das generalizações das operações aritméticas .

Tem dois ramos principais, cálculo diferencial e cálculo integral ; o primeiro diz respeito às taxas instantâneas de mudança e às inclinações das curvas, enquanto o cálculo integral diz respeito ao acúmulo de quantidades e áreas sob ou entre as curvas. Esses dois ramos estão relacionados entre si pelo teorema fundamental do cálculo e fazem uso das noções fundamentais de convergência de sequências infinitas e séries infinitas até um limite bem definido . ^[1]

O cálculo infinitesimal foi desenvolvido de forma independente no final do século 17 por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz . ^{[2] [3]} Hoje, o cálculo tem usos difundidos na ciência , engenharia e economia . ^[4]

Na educação matemática , cálculo denota cursos de análise matemática elementar , que são principalmente dedicados ao estudo de funções e limites. A palavra calculus (plural calculi ) é uma palavra latina , significando originalmente "seixo pequeno" (este significado é mantido na medicina - veja Calculus (medicina) ). Como essas pedras eram usadas para contar (ou medir) uma distância percorrida por dispositivos de transporte em uso na Roma antiga, ^[5] o significado da palavra evoluiu e hoje geralmente significa um método de cálculo. É, portanto, usado para nomear métodos específicos de cálculo e teorias relacionadas, comocálculo proposicional , cálculo de Ricci , cálculo de variações , cálculo lambda e cálculo de processo .

História

O cálculo moderno foi desenvolvido na Europa do século 17 por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz (independentemente um do outro, publicando pela primeira vez na mesma época), mas elementos dele apareceram na Grécia antiga, depois na China e no Oriente Médio, e ainda mais tarde na Europa medieval e na Índia.

Antigo

O período antigo introduziu algumas das ideias que levaram ao cálculo integral , mas não parece ter desenvolvido essas ideias de forma rigorosa e sistemática. Cálculos de volume e área , um objetivo do cálculo integral, podem ser encontrados no papiro egípcio de Moscou ( 13ª dinastia , c.  1820  aC); mas as fórmulas são instruções simples, sem indicação de método, e algumas delas carecem de componentes principais. ^[6]

Desde a era da matemática grega , Eudoxus ( c.  408–355  AC) usou o método da exaustão , que prenuncia o conceito de limite, para calcular áreas e volumes, enquanto Arquimedes ( c.  287–212  AC) desenvolveu esta ideia ainda mais , inventando heurísticas que se assemelham aos métodos de cálculo integral. ^[7]

O método de exaustão foi posteriormente descoberto de forma independente na China por Liu Hui no século 3 dC, a fim de encontrar a área de um círculo. ^[8] No século 5 DC, Zu Gengzhi , filho de Zu Chongzhi , estabeleceu um método ^{[9] [10]} que mais tarde seria chamado de princípio de Cavalieri para encontrar o volume de uma esfera .

Medieval

No Oriente Médio, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen ( c.  965  - c.  1040  dC), derivou uma fórmula para a soma das quartas potências . Ele usou os resultados para realizar o que agora seria chamado de integração dessa função, onde as fórmulas das somas dos quadrados inteiros e das quartas potências permitiam calcular o volume de um parabolóide . ^[11]

No século 14, os matemáticos indianos deram um método não rigoroso, semelhante à diferenciação, aplicável a algumas funções trigonométricas. Madhava de Sangamagrama e a Escola de Astronomia e Matemática de Kerala, portanto, estabeleceram os componentes do cálculo. Uma teoria completa abrangendo esses componentes é agora bem conhecida no mundo ocidental como a série de Taylor ou aproximações de série infinita . ^[12] No entanto, eles não foram capazes de "combinar muitas idéias diferentes sob os dois temas unificadores da derivada e da integral , mostrar a conexão entre as duas e transformar o cálculo na grande ferramenta de solução de problemas que temos hoje".^[11]

Moderno

Na Europa, o trabalho fundamental foi um tratado escrito por Bonaventura Cavalieri , que argumentou que os volumes e as áreas deveriam ser computados como as somas dos volumes e áreas de seções transversais infinitesimalmente finas. As ideias eram semelhantes às de Arquimedes em O Método , mas acredita-se que esse tratado tenha se perdido no século 13 e só foi redescoberto no início do século 20, e portanto teria sido desconhecido para Cavalieri. O trabalho de Cavalieri não era bem respeitado, pois seus métodos podiam levar a resultados errôneos, e as quantidades infinitesimais que introduzia eram de má reputação no início.

O estudo formal do cálculo reuniu os infinitesimais de Cavalieri com o cálculo das diferenças finitas desenvolvido na Europa por volta da mesma época. Pierre de Fermat , alegando ter se emprestado de Diofanto , introduziu o conceito de adequação , que representava igualdade até um termo de erro infinitesimal. ^[14] A combinação foi alcançada por John Wallis , Isaac Barrow e James Gregory , os dois últimos provando o segundo teorema fundamental do cálculo por volta de 1670.

A regra do produto e a regra da cadeia , ^[15] as noções de derivadas superiores e séries de Taylor , ^[16] e de funções analíticas ^{[ carece de fontes? ]} Foram usadas por Isaac Newton em uma notação idiossincrática que ele aplicou para resolver problemas de física matemática. Em suas obras, Newton reformulou suas idéias para se adequar ao idioma matemático da época, substituindo cálculos por infinitesimais por argumentos geométricos equivalentes que eram considerados irrepreensíveis. Ele usou os métodos de cálculo para resolver o problema do movimento planetário, a forma da superfície de um fluido em rotação, o achatamento da Terra, o movimento de um peso deslizando sobre um ciclóide e muitos outros problemas discutidos em seu Principia Mathematica ( 1687). Em outro trabalho, ele desenvolveu expansões em série para funções, incluindo potências fracionárias e irracionais, e ficou claro que ele entendia os princípios da série de Taylor . Ele não publicou todas essas descobertas e, nessa época, métodos infinitesimais ainda eram considerados de má reputação.

Essas idéias foram organizadas em um verdadeiro cálculo de infinitesimais por Gottfried Wilhelm Leibniz , que foi originalmente acusado de plágio por Newton. ^[17] Ele agora é considerado um inventor independente e contribuidor do cálculo. Sua contribuição foi fornecer um conjunto claro de regras para trabalhar com quantidades infinitesimais, permitindo o cálculo da segunda derivada e das derivadas mais altas, e fornecendo a regra do produto e a regra da cadeia , em suas formas diferencial e integral. Ao contrário de Newton, Leibniz prestou muita atenção ao formalismo, muitas vezes passando dias determinando os símbolos apropriados para os conceitos.

Hoje, Leibniz e Newton costumam receber crédito por inventar e desenvolver cálculos de forma independente. Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física geral e Leibniz desenvolveu grande parte da notação usada no cálculo hoje. Os insights básicos fornecidos por Newton e Leibniz foram as leis de diferenciação e integração, derivadas secundárias e superiores e a noção de uma série polinomial de aproximação. Na época de Newton, o teorema fundamental do cálculo era conhecido.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados pela primeira vez, houve grande controvérsia sobre qual matemático (e, portanto, qual país) merecia crédito. Newton derivou seus resultados primeiro (a serem publicados mais tarde em seu Method of Fluxions ), mas Leibniz publicou primeiro seu " Nova Methodus pro Maximis et Minimis ". Newton afirmou que Leibniz roubou idéias de suas notas não publicadas, que Newton havia compartilhado com alguns membros da Royal Society . Essa controvérsia dividiu os matemáticos de língua inglesa dos matemáticos da Europa continental por muitos anos, em detrimento da matemática inglesa. ^{[ citação necessária ]}Um exame cuidadoso dos papéis de Leibniz e Newton mostra que eles chegaram aos resultados de forma independente, com Leibniz começando primeiro com integração e Newton com diferenciação. Foi Leibniz, porém, quem deu o nome à nova disciplina. Newton chamou seu cálculo de " a ciência das fluxões ".

Desde a época de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o desenvolvimento contínuo do cálculo. Uma das primeiras e mais completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral foi escrita em 1748 por Maria Gaetana Agnesi . ^{[18] [19]}

Fundações

No cálculo, os fundamentos referem-se ao desenvolvimento rigoroso do sujeito a partir de axiomas e definições. No cálculo inicial, o uso de quantidades infinitesimais era considerado pouco rigoroso e foi ferozmente criticado por vários autores, principalmente Michel Rolle e o Bispo Berkeley . Berkeley descreveu os infinitesimais como os fantasmas das quantidades que partiram em seu livro The Analyst em 1734. Trabalhar em uma base rigorosa para o cálculo ocupou os matemáticos durante grande parte do século após Newton e Leibniz e ainda é, em certa medida, uma área ativa de pesquisa hoje.

Vários matemáticos, incluindo Maclaurin , tentaram provar a validade do uso de infinitesimais, mas não seria até 150 anos depois, quando, devido ao trabalho de Cauchy e Weierstrass , finalmente foi encontrada uma maneira de evitar meras "noções" de quantidades infinitamente pequenas. . ^[20] As bases do cálculo diferencial e integral foram estabelecidas. No Cours d'Analyse de Cauchy , encontramos uma ampla gama de abordagens fundamentais, incluindo uma definição de continuidade em termos de infinitesimais e um protótipo (um tanto impreciso) de uma (ε, δ) -definição de limite na definição de diferenciação. ^[21]Em seu trabalho, Weierstrass formalizou o conceito de limite e eliminou infinitesimais (embora sua definição possa realmente validar infinitesimais nilsquare ). Seguindo o trabalho de Weierstrass, eventualmente se tornou comum basear o cálculo em limites em vez de quantidades infinitesimais, embora o assunto ainda seja ocasionalmente chamado de "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann usou essas idéias para dar uma definição precisa da integral. Foi também nesse período que as idéias do cálculo foram generalizadas para o espaço euclidiano e o plano complexo .

Na matemática moderna, os fundamentos do cálculo estão incluídos no campo da análise real , que contém definições completas e provas dos teoremas do cálculo. O alcance do cálculo também foi amplamente estendido. Henri Lebesgue inventou a teoria da medida e a usou para definir integrais de todas as funções, exceto as mais patológicas . Laurent Schwartz introduziu distribuições , que podem ser usadas para derivar qualquer função.

Os limites não são a única abordagem rigorosa à base do cálculo. Outra maneira é usar Abraham Robinson 's análise não padronizada . A abordagem de Robinson, desenvolvido na década de 1960, utiliza máquinas técnico da lógica matemática para aumentar o sistema de números reais com infinitesimais e infinitos números, como na concepção original Newton-Leibniz. Os números resultantes são chamados de números hiperreais e podem ser usados ​​para fornecer um desenvolvimento semelhante ao de Leibniz das regras usuais de cálculo. Também existe uma análise infinitesimal suave , que difere da análise não padrão porque exige que se negligencie os infinitesimais de maior potência durante as derivações.

Significado

Embora muitas das idéias do cálculo tenham sido desenvolvidas anteriormente na Grécia , China , Índia , Iraque, Pérsia e Japão , o uso do cálculo começou na Europa, durante o século 17, quando Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram o trabalho de matemáticos anteriores para introduzir seus princípios básicos. O desenvolvimento do cálculo foi baseado em conceitos anteriores de movimento instantâneo e área sob as curvas.

As aplicações do cálculo diferencial incluem cálculos envolvendo velocidade e aceleração , a inclinação de uma curva e otimização . As aplicações do cálculo integral incluem cálculos envolvendo área, volume , comprimento do arco , centro de massa , trabalho e pressão . As aplicações mais avançadas incluem séries de potência e séries de Fourier .

O cálculo também é usado para obter uma compreensão mais precisa da natureza do espaço, tempo e movimento. Por séculos, matemáticos e filósofos lutaram com paradoxos envolvendo divisão por zero ou somas de infinitos números. Essas questões surgem no estudo do movimento e da área. O antigo filósofo grego Zenão de Eléia deu vários exemplos famosos de tais paradoxos . O cálculo fornece ferramentas, especialmente o limite e a série infinita , que resolvem os paradoxos.

Princípios

Limites e infinitesimais

O cálculo geralmente é desenvolvido trabalhando com quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de fazer isso era por infinitesimais . Esses são objetos que podem ser tratados como números reais, mas que são, em certo sentido, "infinitamente pequenos". Por exemplo, um número infinitesimal pode ser maior que 0, mas menor que qualquer número na sequência 1, 1/2, 1/3, ... e, portanto, menor que qualquer número real positivo . Desse ponto de vista, cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Os símbolos e eram considerados infinitesimais, e a derivada era simplesmente sua proporção.${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle dy}$${\displaystyle dy/dx}$

A abordagem infinitesimal caiu em desuso no século 19 porque era difícil tornar a noção de um infinitesimal precisa. No entanto, o conceito foi revivido no século 20 com a introdução da análise não padronizada e da análise infinitesimal suave , que forneceu bases sólidas para a manipulação de infinitesimais.

No final do século 19, os infinitesimais foram substituídos dentro da academia pelo épsilon, a abordagem delta dos limites . Os limites descrevem o valor de uma função em uma determinada entrada em termos de seus valores nas entradas próximas. Eles capturam o comportamento em pequena escala no contexto do sistema de números reais . Nesse tratamento, cálculo é uma coleção de técnicas para manipular certos limites. Os infinitesimais são substituídos por números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é encontrado tomando o comportamento limitante para números cada vez menores. Acreditava-se que os limites proporcionassem uma base mais rigorosa para o cálculo e, por esse motivo, eles se tornaram a abordagem padrão durante o século XX.

Cálculo diferencial

O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedades e aplicações da derivada de uma função. O processo de encontrar a derivada é chamado de diferenciação . Dada uma função e um ponto no domínio, a derivada nesse ponto é uma forma de codificar o comportamento em pequena escala da função próxima a esse ponto. Ao encontrar a derivada de uma função em cada ponto de seu domínio, é possível produzir uma nova função, chamada de função derivada ou apenas a derivada da função original. Em termos formais, a derivada é um operador linearque recebe uma função como entrada e produz uma segunda função como saída. Isso é mais abstrato do que muitos dos processos estudados em álgebra elementar, onde as funções geralmente inserem um número e geram outro. Por exemplo, se a função de duplicação receber a entrada três, ela dará a saída seis, e se a função de quadratura receber a entrada três, ela dará a saída nove. A derivada, entretanto, pode assumir a função de quadratura como uma entrada. Isso significa que a derivada pega todas as informações da função de quadratura - como dois é enviado para quatro, três é enviado para nove, quatro é enviado para dezesseis e assim por diante - e usa essas informações para produzir outra função. A função produzida pela derivação da função de quadratura acaba sendo a função de duplicação.

Em termos mais explícitos, a "função de duplicação" pode ser denotada por g ( x ) = 2 x e a "função de quadratura" por f ( x ) = x ² . A "derivada" agora assume a função f ( x ) , definida pela expressão " x ² ", como uma entrada, ou seja, todas as informações - como que dois são enviados para quatro, três são enviados para nove, quatro são enviados a dezesseis e assim por diante - e usa essa informação para produzir outra função, a função g ( x ) = 2 x , como se verá.

O símbolo mais comum para uma derivada é uma marca semelhante a apóstrofo chamada primo . Assim, a derivada de uma função chamada f é denotada por f ′ , pronunciada "f linha". Por exemplo, se f ( x ) = x ² é a função de quadratura, então f ′ ( x ) = 2 x é sua derivada (a função de duplicação g de cima). Esta notação é conhecida como notação de Lagrange .

Se a entrada da função representa o tempo, a derivada representa a mudança em relação ao tempo. Por exemplo, se f é uma função que leva um tempo como entrada e dá a posição de uma bola naquele momento como saída, então a derivada de f é como a posição está mudando no tempo, ou seja, é a velocidade do bola.

Se uma função é linear (ou seja, se o gráfico da função é uma linha reta), então a função pode ser escrita como y = mx + b , onde x é a variável independente, y é a variável dependente, b é o y -intercept, e:

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

Isso fornece um valor exato para a inclinação de uma linha reta. Se o gráfico da função não for uma linha reta, entretanto, a mudança em y dividida pela mudança em x varia. Os derivados fornecem um significado exato para a noção de mudança na produção em relação à mudança na entrada. Para ser concreto, seja f uma função e fixe um ponto a no domínio de f . ( a , f ( a )) é um ponto no gráfico da função. Se h é um número próximo a zero, então a + h é um número próximo a a . Portanto, (a + h , f ( a + h )) está próximo de ( a , f ( a )) . A inclinação entre esses dois pontos é

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Essa expressão é chamada de quociente de diferença . Uma linha que passa por dois pontos em uma curva é chamada de linha secante , então m é a inclinação da linha secante entre ( a , f ( a )) e ( a + h , f ( a + h )) . A linha secante é apenas uma aproximação do comportamento da função no ponto a porque não leva em conta o que acontece entre a e a + h . Não é possível descobrir o comportamento em umdefinindo h como zero porque isso exigiria a divisão por zero , que é indefinido. A derivada é definida tomando o limite conforme h tende a zero, o que significa que considera o comportamento de f para todos os pequenos valores de he extrai um valor consistente para o caso em que h é igual a zero:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

Geometricamente, a derivada é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em a . A reta tangente é um limite de retas secantes, assim como a derivada é um limite de quocientes de diferença. Por esse motivo, a derivada às vezes é chamada de inclinação da função f .

Aqui está um exemplo particular, a derivada da função de quadratura na entrada 3. Seja f ( x ) = x ² a função de quadratura.

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}$

A inclinação da reta tangente à função quadrática no ponto (3, 9) é 6, ou seja, está subindo seis vezes mais rápido do que para a direita. O processo de limite que acabamos de descrever pode ser executado para qualquer ponto no domínio da função de quadratura. Isso define a função derivada da função de quadratura ou apenas a derivada da função de quadratura para breve. Um cálculo semelhante ao anterior mostra que a derivada da função de quadratura é a função de duplicação.

Notação de Leibniz

Uma notação comum, introduzida por Leibniz, para a derivada no exemplo acima é

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

Em uma abordagem baseada em limites, o símbolo tingir/dxdeve ser interpretado não como o quociente de dois números, mas como uma abreviatura para o limite calculado acima. Leibniz, entretanto, pretendia que representasse o quociente de dois números infinitesimalmente pequenos, dy sendo a mudança infinitesimalmente pequena em y causada por uma mudança infinitesimalmente pequena dx aplicada a x . Também podemos pensar emd/dxcomo um operador de diferenciação, que assume uma função como entrada e fornece outra função, a derivada, como saída. Por exemplo:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

Nesse uso, o dx no denominador é lido como "em relação a x ". Outro exemplo de notação correta poderia ser:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)=t^{2}+2t+4\\\\{d \over dt}g(t)=2t+2\end{aligned}}}$

Mesmo quando o cálculo é desenvolvido usando limites em vez de infinitesimais, é comum manipular símbolos como dx e dy como se fossem números reais; embora seja possível evitar tais manipulações, às vezes são notacionalmente convenientes para expressar operações como a derivada total .

Cálculo integral

O cálculo integral é o estudo das definições, propriedades e aplicações de dois conceitos relacionados, a integral indefinida e a integral definida . O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado de integração . Em linguagem técnica, o cálculo integral estuda dois operadores lineares relacionados .

A integral indefinida , também conhecida como antiderivada , é a operação inversa da derivada. F é um integral indefinida de f quando f é um derivado de F . (Este uso de letras minúsculas e maiúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum no cálculo.)

A integral definida introduz uma função e produz um número, que dá a soma algébrica das áreas entre o gráfico da entrada e o eixo x . A definição técnica da integral definida envolve o limite de uma soma de áreas de retângulos, chamada de soma de Riemann .

Um exemplo motivador são as distâncias percorridas em um determinado momento.

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }$

Se a velocidade for constante, apenas a multiplicação é necessária, mas se a velocidade mudar, um método mais poderoso de encontrar a distância é necessário. Um desses métodos é aproximar a distância percorrida dividindo o tempo em muitos intervalos curtos de tempo, então multiplicando o tempo decorrido em cada intervalo por uma das velocidades nesse intervalo e, em seguida, obtendo a soma (uma soma de Riemann ) do distância aproximada percorrida em cada intervalo. A ideia básica é que, se passar apenas um curto período de tempo, a velocidade permanecerá mais ou menos a mesma. No entanto, uma soma de Riemann dá apenas uma aproximação da distância percorrida. Devemos tomar o limite de todas essas somas de Riemann para encontrar a distância exata percorrida.

Quando a velocidade é constante, a distância total percorrida no intervalo de tempo determinado pode ser calculada multiplicando-se a velocidade pelo tempo. Por exemplo, viajar a 80 km / h constantes por 3 horas resulta em uma distância total de 150 milhas. No diagrama à esquerda, quando a velocidade e o tempo constantes são representados graficamente, esses dois valores formam um retângulo com altura igual à velocidade e largura igual ao tempo decorrido. Portanto, o produto da velocidade e do tempo também calcula a área retangular sob a curva de velocidade (constante). Esta conexão entre a área sob uma curva e a distância percorrida pode ser estendida a qualquer região de formato irregular que exiba uma velocidade flutuante ao longo de um determinado período de tempo. Se f ( x )no diagrama da direita representa a velocidade, uma vez que varia com o tempo, a distância percorrida (entre os tempos representados por um e b ) é a área da região sombreada  s .

Para aproximar-se da área, um método seria intuitivo para dividir-se a distância entre um e b num número de segmentos iguais, o comprimento de cada segmento representado pelo símbolo Δ x . Para cada pequeno segmento, podemos escolher um valor da função f ( x ) . Chame esse valor de h . Então, a área do retângulo com base Δ x e altura h fornece a distância (tempo Δ x multiplicado pela velocidade h ) percorrida naquele segmento. Associado a cada segmento está o valor médio da função acima dele, f ( x) = h . A soma de todos esses retângulos dá uma aproximação da área entre o eixo e a curva, que é uma aproximação da distância total percorrida. Um valor menor para Δ x fornecerá mais retângulos e, na maioria dos casos, uma aproximação melhor, mas para uma resposta exata, precisamos tomar um limite quando Δ x se aproxima de zero.

O símbolo da integração é um S alongado (o S significa "soma"). A integral definida é escrita como:${\displaystyle \int }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

e é lido "a integral de a a b de f -of- x em relação a x ." A notação de Leibniz dx tem como objetivo sugerir a divisão da área sob a curva em um número infinito de retângulos, de modo que sua largura Δ x se torne o dx infinitesimalmente pequeno . Em uma formulação do cálculo com base em limites, a notação

${\displaystyle \int _{a}^{b}\cdots \,dx}$

deve ser entendido como um operador que assume uma função como entrada e fornece um número, a área, como saída. O diferencial de terminação, dx , não é um número e não está sendo multiplicado por f ( x ) , embora, servindo como um lembrete da definição do limite Δ x , possa ser tratado como tal nas manipulações simbólicas da integral. Formalmente, o diferencial indica a variável sobre a qual a função está integrada e serve de chave de fechamento para o operador de integração.

A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita:

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

Funções que diferem apenas por uma constante têm a mesma derivada, e pode ser mostrado que a antiderivada de uma dada função é na verdade uma família de funções que diferem apenas por uma constante. Uma vez que a derivada da função y = x ² + C , onde C é qualquer constante, é y ′ = 2 x , a antiderivada desta última é dada por:

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

A constante não especificada C presente na integral indefinida ou na antiderivada é conhecida como a constante de integração .

Teorema fundamental

O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e a integração são operações inversas. Mais precisamente, relaciona os valores das antiderivadas às integrais definidas. Como geralmente é mais fácil calcular uma antiderivada do que aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamental do cálculo fornece uma maneira prática de calcular integrais definidas. Também pode ser interpretado como uma afirmação precisa do fato de que a diferenciação é o inverso da integração.

O teorema fundamental do cálculo afirma: Se uma função f é contínua no intervalo [ a , b ] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo ( a , b ) , então

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Além disso, para cada x no intervalo ( a , b ) ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

Essa constatação, feita por Newton e Leibniz , que basearam seus resultados em trabalhos anteriores de Isaac Barrow , foi a chave para a proliferação de resultados analíticos depois que seu trabalho se tornou conhecido. O teorema fundamental fornece um método algébrico de calcular muitas integrais definidas - sem realizar processos de limite - encontrando fórmulas para antiderivadas . É também uma solução de protótipo de uma equação diferencial . As equações diferenciais relacionam uma função desconhecida a seus derivados e são onipresentes nas ciências.

Formulários

Cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, ciências atuariais , ciência da computação , estatística , engenharia , economia , negócios , medicina , demografia , e em outros campos onde quer que um problema pode ser matematicamente modelados e uma óptima solução é desejado. Permite ir de taxas de variação (não constantes) para a variação total ou vice-versa, e muitas vezes, ao estudar um problema, conhecemos um e estamos tentando encontrar o outro.

A física faz uso particular do cálculo; todos os conceitos da mecânica clássica e do eletromagnetismo são relacionados por meio do cálculo. A massa de um objeto de densidade conhecida , o momento de inércia dos objetos, bem como a energia total de um objeto dentro de um campo conservador podem ser encontrados pelo uso do cálculo. Um exemplo do uso do cálculo em mecânica é a segunda lei do movimento de Newton : historicamente afirmada, ela usa expressamente o termo "mudança de movimento", que implica o ditado derivado: A mudança de momento de um corpo é igual à força resultante atuando sobre o corpo e está na mesma direção.Comumente expresso hoje como Força = Massa × aceleração, implica cálculo diferencial porque a aceleração é a derivada do tempo da velocidade ou derivada do segundo tempo da trajetória ou posição espacial. Começando por saber como um objeto está acelerando, usamos cálculo para derivar seu caminho.

Teoria de Maxwell do eletromagnetismo e Einstein teoria da 's relatividade geral também são expressos na linguagem do cálculo diferencial. A química também usa cálculos para determinar as taxas de reação e decaimento radioativo. Em biologia, a dinâmica populacional começa com as taxas de reprodução e mortalidade para modelar as mudanças populacionais.

O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por exemplo, pode ser usado com álgebra linear para encontrar a aproximação linear de "melhor ajuste" para um conjunto de pontos em um domínio. Ou pode ser usado na teoria da probabilidade para determinar a probabilidade de uma variável aleatória contínua de uma função de densidade assumida. Na geometria analítica , o estudo de gráficos de funções, o cálculo é usado para encontrar pontos altos e pontos baixos (máximos e mínimos), declividade, concavidade e pontos de inflexão .

O Teorema de Green , que fornece a relação entre uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D limitada por C, é aplicado em um instrumento conhecido como planímetro , que é usado para calcular a área de uma superfície plana superfície em um desenho. Por exemplo, ele pode ser usado para calcular a quantidade de área ocupada por um canteiro de flores ou piscina de formato irregular ao projetar o layout de uma propriedade.

O Teorema de Green Discreto , que fornece a relação entre uma integral dupla de uma função em torno de uma curva retangular fechada simples C e uma combinação linear dos valores da antiderivada em pontos de canto ao longo da borda da curva, permite o cálculo rápido de somas de valores em domínios retangulares . Por exemplo, ele pode ser usado para calcular eficientemente somas de domínios retangulares em imagens, a fim de extrair rapidamente características e detectar objetos; outro algoritmo que pode ser usado é a tabela de áreas somadas .

No reino da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o ângulo de ramificação ideal de um vaso sanguíneo para maximizar o fluxo. A partir das leis de decadência para a eliminação de uma droga específica do corpo, ela é usada para derivar as leis de dosagem. Na medicina nuclear, é usado para construir modelos de transporte de radiação em terapias tumorais direcionadas.

Em economia, o cálculo permite a determinação do lucro máximo ao fornecer uma maneira de calcular facilmente o custo marginal e a receita marginal .

O cálculo também é usado para encontrar soluções aproximadas para equações; na prática, é a maneira padrão de resolver equações diferenciais e encontrar raízes na maioria das aplicações. Os exemplos são métodos como o método de Newton , iteração de ponto fixo e aproximação linear . Por exemplo, as espaçonaves usam uma variação do método de Euler para aproximar cursos curvos em ambientes de gravidade zero.

Variedades

Ao longo dos anos, muitas reformulações de cálculo foram investigadas para diferentes fins.

Cálculo fora do padrão

Cálculos imprecisos com infinitesimais foram amplamente substituídos pela definição rigorosa (ε, δ) de limite a partir da década de 1870. Enquanto isso, os cálculos com infinitesimais persistiam e muitas vezes levavam a resultados corretos. Isso levou Abraham Robinson a investigar se seria possível desenvolver um sistema numérico com quantidades infinitesimais sobre as quais os teoremas de cálculo ainda fossem válidos. Em 1960, com base no trabalho de Edwin Hewitt e Jerzy Łoś , ele teve sucesso no desenvolvimento de análises não padronizadas . A teoria da análise não padronizada é rica o suficiente para ser aplicada em muitos ramos da matemática. Como tal, livros e artigos dedicados exclusivamente aos teoremas tradicionais do cálculo, muitas vezes recebem o títulocálculo não padrão .

Análise infinitesimal suave

Esta é outra reformulação do cálculo em termos de infinitesimais . Com base nas idéias de FW Lawvere e empregando os métodos da teoria das categorias , ele vê todas as funções como contínuas e incapazes de serem expressas em termos de entidades discretas . Um aspecto dessa formulação é que a lei do terceiro excluído não se aplica a essa formulação.

Análise construtiva

A matemática construtiva é um ramo da matemática que insiste que as provas da existência de um número, função ou outro objeto matemático devem fornecer uma construção do objeto. Como tal, a matemática construtiva também rejeita a lei do terceiro excluído . Reformulações de cálculo em uma estrutura construtiva geralmente fazem parte do assunto da análise construtiva .

Veja também

Listas

• Glossário de cálculo
• Lista de tópicos de cálculo
• Lista de derivadas e integrais em cálculos alternativos
• Lista de identidades de diferenciação
• Publicações em cálculo
• Tabela de integrais

Outros tópicos relacionados

• Cálculo de diferenças finitas
• Cálculo com polinômios
• Análise complexa
• Equação diferencial
• Geometria diferencial
• Cálculo Elementar: Uma Abordagem Infinitesimal
• Cálculo discreto
• Séries de Fourier
• Equação integral
• Analise matemática
• Cálculo multivariável
• Análise não clássica
• Análise fora do padrão
• Cálculo fora do padrão
• Pré-cálculo ( educação matemática )
• Integral do produto
• Cálculo estocástico
• Série Taylor

Referências

Leitura adicional

Livros

Livros online

links externos

• "Calculus" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Calculus" . MathWorld .
• Tópicos sobre cálculo no PlanetMath .
• Calculus Made Easy (1914) por Silvanus P. Thompson Texto completo em PDF
• Cálculo em In Our Time na BBC
• Calculus.org: A página Calculus na University of California, Davis - contém recursos e links para outros sites
• COW: Cálculo na Web na Temple University - contém recursos que vão desde pré-cálculo e álgebra associada
• Usos conhecidos mais antigos de algumas palavras da matemática: cálculo e análise
• Integrador online (WebMathematica) da Wolfram Research
• O papel do cálculo na matemática da faculdade de ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus do Massachusetts Institute of Technology
• Infinitesimal Calculus  - um artigo sobre seu desenvolvimento histórico, em Encyclopedia of Mathematics , ed. Michiel Hazewinkel .
• Daniel Kleitman, MIT. "Cálculo para iniciantes e artistas" .
• Problemas de cálculo e soluções por DA Kouba
• Notas de Donald Allen sobre cálculo
• Materiais de treinamento de cálculo em imomath.com
• (em inglês e árabe) The Excursion of Calculus , 1772