Curva

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Uma parábola , uma das curvas mais simples, depois de linhas (retas)

Em matemática , uma curva (também chamada de linha curva em textos mais antigos) é um objeto semelhante a uma linha , mas que não precisa ser reta .

Intuitivamente, uma curva pode ser pensada como o traço deixado por um ponto em movimento . Esta é a definição que apareceu mais de 2000 anos atrás, na de Euclides Elements : "O [curvo] linha [a] é [...] a primeira espécie de quantidade, que tem apenas uma dimensão, ou seja, comprimento, sem qualquer largura nem a profundidade, e nada mais é do que o escoamento ou percurso do ponto que [...] deixará de seu imaginário movendo-se algum vestígio de comprimento, isento de qualquer largura ”. [1]

Esta definição de curva foi formalizada na matemática moderna como: Uma curva é a imagem de um intervalo para um espaço topológico por uma função contínua . Em alguns contextos, a função que define a curva é chamada de parametrização e a curva é uma curva paramétrica . Neste artigo, essas curvas às vezes são chamadas de curvas topológicas para distingui-las de curvas mais restritas, como curvas diferenciáveis . Essa definição abrange a maioria das curvas estudadas em matemática; exceções notáveis ​​são curvas de nível (que são uniõesde curvas e pontos isolados), e curvas algébricas (veja abaixo). As curvas de nível e as curvas algébricas são às vezes chamadas de curvas implícitas , pois geralmente são definidas por equações implícitas .

No entanto, a classe de curvas topológicas é muito ampla e contém algumas curvas que não se parecem com o que se espera de uma curva, ou mesmo não podem ser desenhadas. Este é o caso de curvas de preenchimento de espaço e curvas do fractal . Para garantir mais regularidade, a função que define uma curva é freqüentemente considerada diferenciável , e a curva é então considerada uma curva diferenciável .

Uma curva algébrica plana é o conjunto zero de um polinômio em dois indeterminados . Mais geralmente, uma curva algébrica é o conjunto zero de um conjunto finito de polinômios, que satisfaz a condição adicional de ser uma variedade algébrica de dimensão um. Se os coeficientes dos polinômios pertencem a um campo k , diz-se que a curva é definida sobre k . No caso comum de uma curva algébrica real , onde k é o campo dos números reais , uma curva algébrica é uma união finita de curvas topológicas. Quando complexozeros são considerados, tem-se uma curva algébrica complexa , que, do ponto de vista topológico , não é uma curva, mas uma superfície , e muitas vezes é chamada de superfície de Riemann . Embora não sejam curvas no senso comum, as curvas algébricas definidas sobre outros campos têm sido amplamente estudadas. Em particular, as curvas algébricas sobre um campo finito são amplamente utilizadas na criptografia moderna .

História [ editar ]

Arte megalítica de Newgrange mostrando um interesse precoce por curvas

O interesse por curvas começou muito antes de elas serem objeto de estudo matemático. Isso pode ser visto em vários exemplos de seu uso decorativo na arte e em objetos do cotidiano que datam dos tempos pré-históricos. [2] As curvas, ou pelo menos suas representações gráficas, são simples de criar, por exemplo, com um pedaço de pau na areia de uma praia.

Historicamente, o termo linha foi usado no lugar do termo mais moderno curva . Conseqüentemente, os termos linha reta e linha direita foram usados ​​para distinguir o que hoje é chamado de linhas de linhas curvas. Por exemplo, no Livro I dos Elementos de Euclides , uma linha é definida como um "comprimento sem largura" (Def. 2), enquanto uma linha reta é definida como "uma linha que se encontra uniformemente com os pontos sobre si mesma" (Def. 4) . A ideia de Euclides de uma linha talvez seja esclarecida pela afirmação "As extremidades de uma linha são pontos" (Def. 3). [3] Comentaristas posteriores classificaram as linhas de acordo com vários esquemas. Por exemplo: [4]

  • Linhas compostas (linhas formando um ângulo)
  • Linhas Incompostas
    • Determinar (linhas que não se estendem indefinidamente, como o círculo)
    • Indeterminado (linhas que se estendem indefinidamente, como a linha reta e a parábola)
As curvas criadas pelo corte de um cone ( seções cônicas ) estavam entre as curvas estudadas na Grécia antiga.

Os geômetras gregos haviam estudado muitos outros tipos de curvas. Um dos motivos era seu interesse em resolver problemas geométricos que não podiam ser resolvidos com o uso de bússola e construção de régua padrão . Essas curvas incluem:

  • As seções cônicas, estudadas em profundidade por Apolônio de Perga
  • A cissoide de Diocles , estudada por Diocles e usada como método para dobrar o cubo . [5]
  • O conóide de Nicomedes , estudado por Nicomedes como um método para dobrar o cubo e para trissecionar um ângulo . [6]
  • A espiral de Arquimedes , estudada por Arquimedes como um método para trissecionar um ângulo e quadrar o círculo . [7]
  • As seções espirais , seções de toros estudadas por Perseu como seções de cones, foram estudadas por Apolônio.
A geometria analítica permitiu que curvas, como o Folium de Descartes , fossem definidas por meio de equações em vez de construção geométrica.

Um avanço fundamental na teoria das curvas foi a introdução da geometria analítica por René Descartes no século XVII. Isso permitiu que uma curva fosse descrita usando uma equação em vez de uma construção geométrica elaborada. Isso não apenas permitiu que novas curvas fossem definidas e estudadas, mas também permitiu uma distinção formal entre curvas algébricas que podem ser definidas usando equações polinomiais e curvas transcendentais que não podem. Anteriormente, as curvas eram descritas como "geométricas" ou "mecânicas" de acordo com a forma como eram, ou supostamente poderiam ser, geradas. [2]

As seções cônicas foram aplicadas em astronomia por Kepler . Newton também trabalhou em um dos primeiros exemplos de cálculo de variações . Soluções para problemas variacionais, como as questões da braquistócrona e da tautócrona , introduziram as propriedades das curvas de novas maneiras (neste caso, a ciclóide ). A catenária recebe esse nome como a solução para o problema de uma corrente suspensa, o tipo de questão que se torna rotineiramente acessível por meio do cálculo diferencial .

No século XVIII, surgiu a teoria das curvas algébricas planas em geral. Newton havia estudado as curvas cúbicas , na descrição geral dos pontos reais em "ovais". O enunciado do teorema de Bézout mostrou uma série de aspectos que não eram diretamente acessíveis à geometria da época, a ver com pontos singulares e soluções complexas.

Desde o século XIX, a teoria da curva é vista como o caso especial da dimensão um da teoria das variedades e variedades algébricas . No entanto, muitas questões permanecem específicas para curvas, como curvas de preenchimento de espaço , teorema da curva de Jordan e décimo sexto problema de Hilbert .

Curva topológica [ editar ]

Uma curva topológica pode ser especificado por uma função contínua a partir de um intervalo de I dos números reais em um espaço topológico X . Falando propriamente, a curva é a imagem de No entanto, em alguns contextos, ela mesma é chamada de curva, especialmente quando a imagem não se parece com o que geralmente é chamado de curva e não se caracteriza suficientemente

Por exemplo, a imagem da curva de Peano ou, mais geralmente, uma curva de preenchimento de espaço preenche completamente um quadrado e, portanto, não dá nenhuma informação sobre como é definida.

Uma curva é fechada [8] ou é um loop se e . Uma curva fechada é, portanto, a imagem de um mapeamento contínuo de um círculo .

Se o domínio de uma curva topológica é um intervalo fechado e limitado , ele é chamado de caminho , também conhecido como arco topológico (ou apenas arco ).

Uma curva é simples se for a imagem de um intervalo ou de um círculo por uma função injetiva contínua. Em outras palavras, se uma curva é definida por uma função contínua com um intervalo como domínio, a curva é simples se e somente se dois pontos diferentes do intervalo tiverem imagens diferentes, exceto, possivelmente, se os pontos forem os pontos finais de o intervalo. Intuitivamente, uma curva simples é uma curva que "não se cruza e não tem pontos ausentes". [9]

Uma curva de dragão com uma área positiva

Uma curva fechada simples também é chamada de curva de Jordan . O teorema da curva de Jordan afirma que o conjunto de complemento em um plano de uma curva de Jordan consiste em dois componentes conectados (ou seja, a curva divide o plano em duas regiões sem interseção , ambas conectadas).

Uma curva plana é uma curva para a qual é o plano euclidiano - esses são os primeiros exemplos encontrados - ou, em alguns casos, o plano projetivo .Uma curva de espaço é uma curva para a qual é pelo menos tridimensional; uma curva inclinada é uma curva de espaço que não está em nenhum plano. Essas definições de curvas de plano, espaço e inclinação também se aplicam a curvas algébricas reais , embora a definição acima de uma curva não se aplique (uma curva algébrica real pode ser desconectada ).

A definição de uma curva inclui figuras que dificilmente podem ser chamadas de curvas no uso comum. Por exemplo, a imagem de uma curva simples pode cobrir um quadrado no plano ( curva de preenchimento de espaço ) e, portanto, ter uma área positiva. [10] As curvas fractais podem ter propriedades que são estranhas para o senso comum. Por exemplo, uma curva fractal pode ter uma dimensão de Hausdorff maior que um (veja o floco de neve de Koch ) e até mesmo uma área positiva. Um exemplo é a curva do dragão , que possui muitas outras propriedades incomuns.

Curva diferenciável [ editar ]

Grosso modo, uma curva diferenciável é uma curva que é definida como sendo localmente a imagem de uma função diferenciável injetiva de um intervalo I dos números reais em uma variedade X diferenciável , muitas vezes

Mais precisamente, uma curva diferenciável é um subconjunto C de X onde cada ponto de C tem uma vizinhança U tal que é difeomórfica a um intervalo dos números reais. [ esclarecimento necessário ] Em outras palavras, uma curva diferenciável é uma variedade diferenciável de dimensão um.

Arc diferenciável [ editar ]

Na geometria euclidiana , um arco (símbolo: ) é um subconjunto conectado de uma curva diferenciável .

Os arcos de linhas são chamados de segmentos ou raios , dependendo se são limitados ou não.

Um exemplo comum de curva é um arco de círculo , denominado arco circular .

Em uma esfera (ou esferóide ), um arco de um grande círculo (ou uma grande elipse ) é chamado de grande arco .

Comprimento de uma curva [ editar ]

Se for o espaço euclidiano dimensional, e se for uma função injetiva e continuamente diferenciável, então o comprimento de é definido como a quantidade

O comprimento de uma curva é independente da parametrização .

Em particular, o comprimento do gráfico de uma função continuamente diferenciável definida em um intervalo fechado é

De forma mais geral, se for um espaço métrico com métrica , podemos definir o comprimento de uma curva por

onde o supremo é assumido por todas e todas as partições de .

Uma curva retificável é uma curva com comprimento finito . Uma curva é chamada de natural (ou velocidade unitária ou parametrizada pelo comprimento do arco) se para qualquer uma dessas , temos

Se for uma função contínua de Lipschitz , é automaticamente retificável. Além disso, neste caso, pode-se definir a velocidade (ou derivado métrica ) de pelo como

e então mostrar isso

Geometria diferencial [ editar ]

Enquanto os primeiros exemplos de curvas encontradas são principalmente curvas planas (isto é, em palavras do dia-a-dia, linhas curvas no espaço bidimensional ), existem exemplos óbvios como a hélice que existe naturalmente em três dimensões. As necessidades da geometria, e também, por exemplo, da mecânica clássica, devem ter uma noção de curva no espaço de qualquer número de dimensões. Na relatividade geral , uma linha mundial é uma curva no espaço-tempo .

Se for uma variedade diferenciável , podemos definir a noção de curva diferenciável em . Essa ideia geral é suficiente para cobrir muitas das aplicações das curvas na matemática. Do ponto de vista local, pode-se considerar o espaço euclidiano. Por outro lado, é útil para ser mais geral, em que (por exemplo) é possível definir os vectores tangentes a por meio desta noção de curva.

Se for uma variedade suave , uma curva suave em é um mapa suave

.

Esta é uma noção básica. Existem ideias cada vez mais restritas também. Se for uma variedade (isto é, uma variedade cujos gráficos são tempos continuamente diferenciáveis ), então uma curva em é uma curva que é apenas assumida como (isto é, tempos continuamente diferenciáveis). Se for uma variedade analítica (isto é, infinitamente diferenciável e os gráficos podem ser expressos como séries de potências ) e for um mapa analítico, então é dito que é uma curva analítica .

Uma curva diferenciável é considerada regular se sua derivada nunca desaparecer. (Em palavras, uma curva regular nunca desacelera até parar ou retrocede sobre si mesma.) Duas curvas diferenciáveis

e

são considerados equivalentes se houver um mapa bijetivo

de modo que o mapa inverso

é também , e

para todos . O mapa é denominado reparametrização de ; e isso cria uma relação de equivalência no conjunto de todas as curvas diferenciáveis ​​em . Um arco é uma classe de equivalência de curvas sob a relação de reparametrização.

Curva algébrica [ editar ]

As curvas algébricas são as curvas consideradas na geometria algébrica . Uma curva algébrica avião é o conjunto dos pontos de coordenadas x , y tais que f ( x , y ) = 0 , onde f é um polinómio em duas variáveis definidas sobre algum campo F . Diz-se que a curva é definida sobre F . Geometria algébrica normalmente considera não apenas os pontos com coordenadas em F , mas todos os pontos com coordenadas em um corpo algebricamente fechado K .

Se C é uma curva definida por um polinomial f com coeficientes em F , a curva é dito para ser definido através F .

No caso de uma curva definida sobre os números reais , normalmente se consideram pontos com coordenadas complexas . Nesse caso, um ponto com coordenadas reais é um ponto real e o conjunto de todos os pontos reais é a parte real da curva. Portanto, é apenas a parte real de uma curva algébrica que pode ser uma curva topológica (nem sempre é o caso, pois a parte real de uma curva algébrica pode estar desconectada e conter pontos isolados). Toda a curva, isto é, o conjunto de seu ponto complexo, é, do ponto de vista topológico, uma superfície. Em particular, as curvas algébricas projetivas complexas não singulares são chamadas de superfícies de Riemann .

Os pontos de uma curva C com coordenadas em um campo G são considerados racionais sobre G e podem ser denotados como C ( G ) . Quando G é o campo dos números racionais , fala-se simplesmente de pontos racionais . Por exemplo, o Último Teorema de Fermat pode ser reformulado como: Para n > 2 , todo ponto racional da curva de Fermat de grau n tem uma coordenada zero .

As curvas algébricas também podem ser curvas de espaço ou curvas em um espaço de dimensão superior, digamos n . Eles são definidos como variedades algébricas de dimensão um. Eles podem ser obtidos como as soluções comuns de pelo menos n –1 equações polinomiais em n variáveis. Se n –1 polinômios são suficientes para definir uma curva em um espaço de dimensão n , a curva é considerada uma interseção completa . Ao eliminar variáveis ​​(por qualquer ferramenta da teoria de eliminação ), uma curva algébrica pode ser projetada em uma curva algébrica plana , que, no entanto, pode introduzir novas singularidades, comocúspides ou pontos duplos .

Uma curva plana também pode ser completada em uma curva no plano projetivo : se uma curva é definida por um polinômio f de grau total d , então w d f ( u / w , v / w ) simplifica para um polinômio homogêneo g ( u , v , w ) de grau d . Os valores de u , v , w tais que g ( u , v , w ) = 0são as coordenadas homogêneas dos pontos de completamento da curva no plano projetivo e os pontos da curva inicial são aqueles tais que w não é zero. Um exemplo é a curva de Fermat u n + v n = w n , que tem uma forma afim x n + y n = 1 . Um processo semelhante de homogeneização pode ser definido para curvas em espaços dimensionais superiores.

Exceto para retas , os exemplos mais simples de curvas algébricas são as cônicas , que são curvas não singulares de grau dois e gênero zero. As curvas elípticas , que são curvas não singulares do gênero um, são estudadas na teoria dos números e têm importantes aplicações na criptografia .

Veja também [ editar ]

  • Curva coordenada
  • Orientação da curva
  • Desenho de curva
  • Geometria diferencial de curvas
  • Galeria de curvas
  • Lista de tópicos de curvas
  • Lista de curvas
  • Círculo osculante
  • Superfície paramétrica
  • Caminho (topologia)
  • Vetor de posição
  • Função com valor vetorial
  • Ajuste de curva
  • Número do enrolamento

Notas [ editar ]

  1. ^ No uso matemático atual, uma linha é reta. Anteriormente, as linhas podiam ser curvas ou retas.

Referências [ editar ]

  1. ^ Em francês (bastante antigo): "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre escolheu que le flux ou coulement du poinct, lequel [ …] Laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude. " Páginas 7 e 8 de Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figuras e demonstrações, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions , de Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645) .
  2. ^ a b Lockwood p. ix
  3. ^ Heath p. 153
  4. ^ Heath p. 160
  5. ^ Lockwood p. 132
  6. ^ Lockwood p. 129
  7. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Spiral of Archimedes" , arquivo MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews.
  8. ^ Este termo pode ser ambíguo, pois uma curva não fechada pode ser um conjunto fechado , como é uma linha em um plano
  9. ^ "Definição de arco de Jordan em Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc" . Dictionary.reference.com . Página visitada em 2012-03-14 .
  10. ^ Osgood, William F. (janeiro de 1903). "Uma curva de Jordan de área positiva" . Transactions of the American Mathematical Society . American Mathematical Society . 4 (1): 107-112. doi : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .  
  • AS Parkhomenko (2001) [1994], "Line (curve)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  • BI Golubov (2001) [1994], "Rectifiable curve" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  • Euclides , comentário e tradução. por TL Heath Elements Vol. 1 (Cambridge 1908) Google Books
  • EH Lockwood, A Book of Curves (1961 Cambridge)

Ligações externas [ editar ]

  • Índice de Curvas Famosas , Escola de Matemática e Estatística, Universidade de St Andrews, Escócia
  • Curvas matemáticas Uma coleção de 874 curvas matemáticas bidimensionais
  • Galeria de curvas espaciais feitas de círculos, inclui animações de Peter Moses
  • Galeria das curvas do bispo e outras curvas esféricas, inclui animações de Peter Moses
  • Artigo da Enciclopédia de Matemática sobre linhas .
  • A página Manifold Atlas em 1-manifolds .